二次函數(shù)中存在性問(wèn)題

二次函數(shù)中存在性問(wèn)題典例分析例1.已知，如圖，已知拋物線(xiàn)歹=ax2+bx<3與x軸交于A(3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與歹軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，若點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，MN工AC于點(diǎn)N,連接CM.(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)當(dāng)MN=1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)是否存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.否用餐例2.如圖，已知拋物線(xiàn)歹=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，且與歹軸交于點(diǎn)。，若OA=。。，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為1和3,點(diǎn)P是該拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線(xiàn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與A不重合)，過(guò)點(diǎn)P作PD〃歹軸，交AC于點(diǎn)D.(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)4ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.同步練習(xí)：1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax24ax+1與x軸正半軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)。，且OB=3。。，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC,APBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.(1)求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式；(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以C、A、B為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).，一，… … 32、如圖1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的拋物線(xiàn)y=ax2+bx(aW0)與x軸交于另一點(diǎn)A(—,0),在第一象限內(nèi)與直線(xiàn)y=x交于點(diǎn)B(2,t).(1)求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)在第四象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)。，滿(mǎn)足以B，O,C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線(xiàn)上，且NMBO=ZABO,在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)尸，使得△POC-△MOB?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案例1、答案：(1)：拋物線(xiàn)ya=ax2+bx<3與x軸交于A(3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，0=9a+3b-下得0=a—b—V3,亙解得:2v3

x解得:2v3

x32<3― 3(2)???嚴(yán)史X2—空X—v33 3?,.當(dāng)x=0時(shí)，y=―、3,AC(0,—、；3)，???OC=<3,VA(3,0),AOA=3,AZOAC=30°,?「MN=1,ZMNA=90°,在Rt△AMN中，AN=<3,過(guò)點(diǎn)N過(guò)點(diǎn)N作NH±x軸于點(diǎn)H,ANHANH=雪3AH=-,23 、3、當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（7,—）,22當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（/，一）,綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3,力）或（1,方3）(3)設(shè)M點(diǎn)為(x,0),

則由(2)可得AB=4,BC=、:'12+43/=2,AC={32+\3/=2X5,?「BC2+AC2=AB2,AAABC是直角三角形，NBCA=90°,又由2S =AMXOC=ACXMN/c^ma得：MN2V3\Kx-3)2<3_v;(x-3)2得：MN2V3???若以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與^ABC相似，即6x=6,所以x=1,此時(shí)M為(1,0)；的典—史即^32—…②：c.處,即f ,即x2+3x=0,解之可得：x=0或x=3,???M為(0,0)或(3,0),綜上所述，存在以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，且M的坐標(biāo)為(1,0)或(0,0)或(3,0).分析：(1)把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a、b后可以得解；(2)過(guò)點(diǎn)N作NH±x軸于點(diǎn)H,則根據(jù)題意可以得到NH及AH的值，再分點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)兩種情況分別寫(xiě)出點(diǎn)N坐標(biāo)即可；(3)由題意可得4ABC為直角三角形，所以若以點(diǎn)C,M,N為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相MNCMMNCM似，則=或二 ，由這兩種情況分別求出M的坐標(biāo)即可.CBABCAAB例2、答案：(1)二?一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為1和3,AOA=OC=3,OB=1,?..點(diǎn)C(0,3),設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式歹=a(x1)(x3),Aa(01)(03)=3,.Aa=1,Ay=(x1)(x3),.,.拋物線(xiàn)解析式為：y=x24x+3；(2)分兩種情況：①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合，則P1(1,0),②如圖2,當(dāng)點(diǎn)A為^APD2的直角頂點(diǎn)，'：OA=OC,ZAOC=90°,：.ZOAD2=45°,當(dāng)/尸2=9°。時(shí)，N。/尸2=45。，.??4。平分尸2。又\?尸2。2〃》軸，???尸2。2，/。，???點(diǎn)尸2,2關(guān)于1軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)直線(xiàn)4。的函數(shù)關(guān)系式為歹=區(qū)+4（3k+b=Q由題意得：〈7 ° ,[b=3%=—1???Lo，，直線(xiàn)/C的解析式為：歹=x+3,[b—5,二。2在歹=X+3上，尸2在V=X24x+3上，.?.設(shè)。2（X，X+3）,尸2（X，X24x+3）,（x+3）+（x24x+3）=0,.*.X25x+6=0,.*.x1=2,x2=3（舍）,.,.當(dāng)x=2時(shí)，歹=X24x+3=224X2+3=1,???尸2的坐標(biāo)為尸2（2^1），綜上所得尸點(diǎn)坐標(biāo)為尸[（1，0）,p2（2,1）；（3）分兩種情況考慮:①以/尸為邊構(gòu)造平行四邊形，平移直線(xiàn)/尸交x軸于點(diǎn)￡,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)方,??設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x,1）,二x24x+3=1,解得：x尸222,x2=2+q2,??點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2<2,1）和（2+、2,1）；②以AP為對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行構(gòu)造平行四邊形，??點(diǎn)A,E的縱坐標(biāo)為0,??點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為1,此時(shí)點(diǎn)P,F重合，?.不存在這種情況，舍去.綜上所述，符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，即（222,1）和（2+%.：2,1）.分析：（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解.同步練習(xí)：1、解：（1）二?拋物線(xiàn)>=以2—4以+1.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,1）1「OB=3OC.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.，.9a—12a+1=0/.a=3（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PMLy軸，PN±x軸，垂足分別為點(diǎn)M,N.VZMPC=90°ZCPN,ZNPB=90°ZCPN,?，./MPC=ZNPB在^PCM和^PBN中，'/PMC=ZPNB/MPC=/NPBPC=PB??△PCM^APBN,：.PM=PN.設(shè)點(diǎn)P(a,a)./PC2=PB2,:.a2+(a一1)2=(a-3)2+a2,解得a-2, p(2,2).該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x-2,B(3,0),.A(1,0).P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),,PO-2<2,AC=2、；2,AB-2.OC1/CAB-135。，/POB-45。，在RtABOC中，tan/OBC= --,' ' OB3/OBC牛45。,/OCB<90。,在RtAOAC中，OC-OA,/OCA=45。,/ACB<45。,當(dāng)AOPQ與AABC相似時(shí)，點(diǎn)。只有在點(diǎn)O左側(cè)時(shí):(1)當(dāng)ACOP2(1)當(dāng)ACOP22*2——二——時(shí)，. ABOQ2OQ，?二OQ-4,.Q(-4,0)當(dāng)ACOQ時(shí).v2_OQ.(2)當(dāng)AB=O時(shí)，…T- -2…Q(-2,0)當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（一4,0）或（一2,0）2、解:（1）VB（2，力在直線(xiàn)歹=x上，???/=2，???B（2，2），把AB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得]9a+3b=0，[4 2???拋物線(xiàn)解析式為歹=2x23x；,,??點(diǎn)C是拋物線(xiàn)上第四象限的點(diǎn)，??可設(shè)C(t,2123t),則E(t,0),D(t,t),??OE=t,BF=2t,CD=t(2123t)=212+41,1 1二Sn?=Sc+SSr=CD-OE+-CD?BF△OBC △CDO△CDBn n=—(212+41)(t+2t)=212+41,「△OBC的面積為2,??.212+41=2,解得11=12=1,AC(1,1)；「B(2,2),AZAOB=ZNOB=45在^AOB和^NOB中

/AOB=/NOBOB=OBNABO=NNBO3??△AOB/△NOB(ASA),??.ON=OA=-,233??N(0,5),??.可設(shè)直線(xiàn)BN解析式為歹=kx+-,3 1 1 3把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得2=2k+-，解得k=1,??.直線(xiàn)BN的解析式為歹=-x+-,3x———聯(lián)立直線(xiàn)BN聯(lián)立直線(xiàn)BN和拋物線(xiàn)解析式可得45y― 3245前）VC(1,1),,NCOA=NAOB=45°,且B(2,2),,OB=2%2,OC=J2,「△POCs^MOB,?OOM=OC=2,NPOC=NBOM,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖3,過(guò)M作MG±歹軸于點(diǎn)G，過(guò)P作PH±x軸于點(diǎn)H,VNCOA=NBOG=45°,,NMOG=NPOH，且NPHO=NMGO,,△MOGs△POH,OMMGOG— — =2OPPHOH45—),45323245323,MG=-,81 3 1 45,PH=—MG=—,OH=—OG=—,2 16 2 6445 3；?P( ,――).6416根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，作點(diǎn)P