山東省淄博市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山東省淄博市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若向區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)落在由直線y=x與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為A. B. C. D.參考答案：B 由直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，從而所求概率為.故選B.2.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．

其中假命題的個(gè)數(shù)是

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B．本題考查換元法及方程根的討論，要求考生具有較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力；據(jù)題意可令①，則方程化為②，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：（1）當(dāng)t=0或t>1時(shí)方程①有2個(gè)不等的根；（2）當(dāng)0<t<1時(shí)方程①有4個(gè)根；（3）當(dāng)t=1時(shí)，方程①有3個(gè)根．故當(dāng)t=0時(shí)，代入方程②，解得k=0此時(shí)方程②有兩個(gè)不等根t=0或t=1,故此時(shí)原方程有5個(gè)根；當(dāng)方程②有兩個(gè)不等正根時(shí)，即此時(shí)方程②有兩根且均小于1大于0，故相應(yīng)的滿足方程的解有8個(gè)，即原方程的解有8個(gè)；當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)相等正根t＝，相應(yīng)的原方程的解有4個(gè)；故選B．3.在中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．若．則角C等于A． B． C． D．參考答案：A4.參考答案：A5.已知一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，則該三棱柱的表面積為（

）A．

B．C．D．參考答案：D6.已知是定義在上的奇函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時(shí)，則的值為(

)

A.

B.

C．

D．參考答案：B7.已知函數(shù)在[0，2）上的最大值為a，在（2，4]上的最小值為b，則a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】由函數(shù)g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）單調(diào)遞減，函數(shù)h（x）=cos在[0，4]單調(diào)遞減，可得函數(shù)在[0，2），（2，4]上單調(diào)性，即可求得a，b即可．【解答】解：函數(shù)g（x）=，函數(shù)g（x）是函數(shù)y=向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，故函數(shù)g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）單調(diào)遞減；對(duì)于函數(shù)h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函數(shù)h（x）在[0，4]單調(diào)遞減．∴函數(shù)在[0，2）上單調(diào)遞減，故其最大值為f（0）=a，∴a=1，函數(shù)在（2，4]上單調(diào)遞減，其最小值為f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故選D．8.在等差數(shù)列{an}中，a1=﹣2011，其前n項(xiàng)的和為Sn．若﹣=2，則S2011=（）A．﹣2010 B．2010 C．2011 D．﹣2011參考答案：D【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，可得數(shù)列是首項(xiàng)為a1的等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：∵Sn是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列是首項(xiàng)為a1的等差數(shù)列；由﹣=2，則該數(shù)列公差為1，∴=﹣2011+=﹣1，∴S2011=﹣2011．故選：D．9.如圖，已知=，=，=3，用，表示，則等于（）A．+B．+C．+D．+參考答案：B10.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）參考答案：D【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求出極值，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣x2﹣x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣2x﹣1，當(dāng)x＞1或x＜﹣時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)﹣＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有f（1）為極小值，f（﹣）為極大值．∵f（x）在（﹣∞，﹣）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，∴當(dāng)f（x）極大值＜0或f（x）極小值＞0時(shí)，曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．即a+＜0或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，，面積為,則=________.參考答案：略12.在中，角所對(duì)的邊分別為且，則的外接圓的半徑

參考答案：13.右表給出一個(gè)“三角形數(shù)陣”.已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第行第列的數(shù)為（），則等于

，.參考答案：

由題意可知第一列首項(xiàng)為，公差，第二列的首項(xiàng)為，公差，所以，，所以第5行的公比為，所以。由題意知，，所以第行的公比為，所以14.（文）若是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角的大小為_______

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)參考答案：因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量，即直線的斜率，所以，所以，即直線的傾斜角為。15.若lga＋lgb＝0(a≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝－bx的圖象關(guān)于________對(duì)稱．參考答案：原點(diǎn)由lga＋lgb＝0?ab＝1?b＝，所以g(x)＝－a－x，故f(x)與g(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．16.若的垂心恰好為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B在此拋物線上，則此拋物線的方程是_______，面積是________。參考答案：、因?yàn)榻裹c(diǎn)為，所以拋物線的方程是。設(shè)，由拋物線的對(duì)稱性可知，。又因?yàn)椋?，解得（不妨取正值），從而可得?/p>

17.定義在上的函數(shù)滿足：(1)；（2）當(dāng)時(shí)，，則集合中的最小元素是

.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)作直線AB交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值；（Ⅲ）是否存在直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，使點(diǎn)F為的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，可得，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）由構(gòu)成三角形，所以不垂直軸.設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，的橫坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元可得，首先，有.同時(shí)，所以，

令，則，，令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）。又面積，所以面積的最大值為.

（Ⅲ）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且使點(diǎn)為的垂心，設(shè)，因?yàn)?，，所以?/p>

于是設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消元可得．由，得，同時(shí)，且,由題意應(yīng)有,其中，所以，,．解得或．

當(dāng)時(shí)，不存在，故舍去．當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程.

19.某省2016年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制.各等制劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等；分?jǐn)?shù)在內(nèi)，記為B等，分?jǐn)?shù)在內(nèi)，記為C等；60分以上，記為D等.同時(shí)認(rèn)定A，B，C為合格，D為不合格.已知甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績(jī)均分布在內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績(jī)，分別抽取50名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級(jí)為C，D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.（1）求圖1中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；（2）在選取的樣本中，從甲，乙兩校C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）由題意，可知，∴.∴甲學(xué)校的合格率為，而乙學(xué)校的合格率為，∴甲、乙兩校的合格率均為.（2）樣本中甲校等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為，而乙校等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為.∴隨機(jī)抽取人中，甲校學(xué)生人數(shù)的可能取值為，，，，∴，，，，∴的分布列為數(shù)學(xué)期望.20.

已知函數(shù)“的定義域?yàn)镽”；命題q：“的值域?yàn)镽”

（I）若命題p為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（I）若命題q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（I）的什么條件？請(qǐng)說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）命題為真，即的定義域是，等價(jià)于恒成立，

…2分等價(jià)于或

…3分解得或．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．……………5分（Ⅱ）命題為真，即的值域是，等價(jià)于的值域，……………6分等價(jià)于或………………8分解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，．…10分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，：；：．而，∴是的必要而不充分的條件．……13分21.（12分）設(shè)函數(shù).

(1)判斷函數(shù)奇偶性；（2）證明：的導(dǎo)數(shù)；

(3)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值(結(jié)果用分式表示).參考答案：解析:（1）∵,,∴函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)R.

……1分又∵∴函數(shù)為奇函數(shù).

……4分（2）的導(dǎo)數(shù)．

……6分由于，故．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．

……8分(3)由（2）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上也單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最大值，最大值為……10分在處取得最大值，最大值為

……12分

22.已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)r（x）=f（x）+g（）對(duì)任意a∈（1，2），總存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）a∈（1，2）時(shí)，求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)在（，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，于是問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立，再利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0F′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣1，△=a2+8＞0，解h（x）=0得：x1=＜0（舍），x2=＞0，∴F（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）r（x）=f（x）+g（）=x2﹣ax+ln，∴r′（x）=，∵a∈（1，2），∴＜，∴x∈（，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，∴x∈[，1]，F(xiàn)（x）max=F（1）=1﹣a+ln，a∈（1，2），∵對(duì)任意的a∈（1，2），總存在x∈[，1]，使不等式F（x）＞k（1﹣a2）成立，∴對(duì)任意的a∈（1，2），不等式1﹣a+ln＞k（1﹣a2）成立．于是問題等價(jià)于：對(duì)任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立．記g（a）=ln+1﹣a+k（a2﹣1），（1＜a＜2）則g′（a）=（2ka﹣1+2k），當(dāng)k=0時(shí)，g′（a）=＜0，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞