《平面與平面垂直》同步作業(yè)

《平面與平面垂直》同步作業(yè)一、選擇題1．下列不能確定兩個平面垂直的是()A．兩個平面相交，所成二面角是直二面角B．一個平面垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線C．一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線D．平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線bD解析：[如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD內(nèi)的直線A1B1垂直于平面ABCD內(nèi)的一條直線BC，但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直．]2．在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點，下列判斷正確的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BEDD解析：由已知條件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC?平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．3.已知l⊥平面α,直線m?平面β.有下面四個命題:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個命題是()A.①② B.③④ C.②④ D.①③D解析：∵l⊥α,α∥β,∴l(xiāng)⊥β.又m?β,∴l(xiāng)⊥m,故①正確.由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l?β,再由m?β內(nèi)得不到l∥m,故②錯.∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,m?β.∴α⊥β,故③正確.若α∩β=m,也可滿足l⊥α,l⊥m,故④錯.4．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P-BC-A的大小為()A．60° B．30°C．45° D．15°C解析：[由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C.]5.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖),圖中互相垂直的平面有()對對對對D解析：∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,∴DA⊥平面PAB,同樣BC⊥平面PAB,又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.二、填空題6．已知α，β是兩個不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個論斷：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：.(用序號表示)①②?③解析：[由l∥β可在平面β內(nèi)作l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.]7．如圖，四面體P-ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.7解析：取AB的中點E，連接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.連接CE，∴PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.8．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是．45°解析：[如圖，過A作AO⊥BD于O點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答題9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分別是AP,AD的中點.求證:(1)直線EF∥平面PCD;(2)平面BEF⊥平面PAD.證明(1)如圖,在△PAD中,因為E,F分別為AP,AD的中點,所以EF∥PD.又EF?平面PCD,PD?平面PCD,所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因為AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因為F是AD的中點,所以BF⊥AD.因為平面PAD⊥平面ABCD,BF?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.又因為BF?平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.10.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)求證:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.(1)證明：如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解：由(1)知,BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.[等級過關練]1.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC的內(nèi)部A解析：因為BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,所以AC⊥平面ABC1.因為AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1=AB,所以過點C1再作C1H⊥平面ABC,則H∈AB,即點C1在平面ABC上的射影H在直線AB上.2．如圖所示，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABCC解析：由題意知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵P-ABC為正四面體，∴BC⊥PA，AE⊥PC.∴BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE.∵DF?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC.3．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F(xiàn)分別在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，則BF＝.1解析：[由題意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC為二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]4．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊長都相等，M為PC上一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要寫出一個你認為是正確的條件即可)BM⊥PC(或DM⊥PC)解析：由題意易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.因此只要BM⊥PC或DM⊥PC，就可推得平面MBD⊥平面PCD.5圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.(1)證明：由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因為AB