八年級一次函數(shù)分段函數(shù)經(jīng)典講解

..認清分段函數(shù),解決收費問題k1x+b1x≤a1y=k2x+b2a1≤x≤a2①的函數(shù)解析式,則稱該函數(shù)解析式為X的分段函數(shù)。K3x+b3a2≤x≤a3應該指出:<一>,函數(shù)解析式①這個整體只是一個函數(shù),并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2函數(shù)的簡單組合,而k1x+b1,k2x+b2函數(shù)YY=｛這個整體只是一個函數(shù),不能認為它是兩個不同的函函數(shù)Y在X的某個范圍內的特殊函數(shù),如正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。<三>,由于問題的不同,當然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù),在這里我們不予討論。<四>,一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內,其關系式〔或圖象也不同的函數(shù),分段函數(shù)的應用題多設計成兩種情況以上,解答時需分段討論。在現(xiàn)實生活中存在著很多需分段計費的實際問題,因此,分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型。收費問題與我們的生活息息相關,如水費問題、電費問題、話費問題等,這些收費問題往往根據(jù)不同的用量,采用不同的收費方式.以收費為題材的數(shù)學問題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中,下面請看幾例.一、話費中的分段函數(shù)例1〔XXXX某移動公司采用分段計費的方法來計算話費,月通話時間〔分鐘與相應話費〔元之間的函數(shù)圖象如圖1所示：〔１月通話為100分鐘時,應交話費元；〔２當x100時,求與之間的函數(shù)關系式；〔3月通話為280分鐘時,應交話費多少元？圖1分析：本題是一道和話費有關的分段函數(shù)問題,通過圖象可觀察到,在0到100分鐘之間月話費y<元>是月通話時間x<分鐘>的正比例函數(shù),當x100時,月話費y<元>是月通話時間x<分鐘>的一次函數(shù).解：〔1觀察圖象可知月通話為100分鐘時,應交話費40元；〔2設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b由圖上知：x=100時,y=40；x=200時,時,y=60則有,解之得所求函數(shù)關系式為..〔3把x=280代入關系式,得即月通話為280分鐘時,應交話費76元．二、水費中的分段函數(shù)例2〔XX某自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水,采取了按月用水量分段收費辦法,某戶居民應交水費y<元>與用水量x<噸>的函數(shù)關系如圖2.分別寫出當0x15和x15時,y與x的函數(shù)關系式;<2>若某戶該月用水21噸,則應交水費多少元?分析:本題是一道與收水費有關的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0x15時y是x的正比例函數(shù);x≥15時,y是x的一次函數(shù).解:<1>當0x15時,設y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;當x15時,設y=ax+b,將x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5圖2當該用戶該月用21噸水時,三、電費中分段函數(shù)例3<XX>今年以來,XX大部分地區(qū)的電力緊缺,電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電,采取按月用電量分段收費辦法,若某戶居民每月應交電費y〔元與用電量x〔度的函數(shù)圖象是一條折線〔如圖3所示,根據(jù)圖象解下列問題：〔1分別寫出當0x100和x100時,y與x的函數(shù)關系式；〔2利用函數(shù)關系式,說明電力公司采取的收費標準；〔3若該用戶某月用電62度,則應繳費多少元？若該用戶某月繳費105元時,則該用戶該月用了多少度電？圖3分析:從函數(shù)圖象上看圖象分為兩段,當0x100時,電費y是電量x的正比例函數(shù),當x100時,y是x的一次函數(shù),且函數(shù)圖象經(jīng)過點<100,65>和<130,89>,設出相應的函數(shù)關系式,將點的坐標代入即可確定函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)關系式可解決問題.解:<1>設當0x100時,函數(shù)關系式為y=kx,將x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x;設當x100時,函數(shù)關系式為y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入,得解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15綜上可得<2>用戶月用電量在0度到100度之間時,每度電的收費的標準是0.65元;超出100度時,每度電的收費標準是0.80元.<3>用戶月用電62度時,用戶應繳費40.3元,若用戶月繳費105元時,該戶該月用了150度電.談談中考中的分段函數(shù)分段函數(shù),是近幾年中考數(shù)學中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想,讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構成。下面我們歸納分析如下,供學習時參考。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。例1某家庭裝修房屋,由甲、乙兩個裝修公司合作完成,選由甲裝修公司單獨裝修3天,剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成．工程進度滿足如圖1所示的函數(shù)關系,該家庭共支付工資8000元．〔1完成此房屋裝修共需多少天？〔2若按完成工作量的多少支付工資,甲裝修公司應得多少元？解析：設正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x,因為圖象經(jīng)過點〔3,,所以,=k1×3,所以k1=,所以y=x,0＜x＜3設一次函數(shù)的解析式〔合作部分是y=k2x+b,〔是常數(shù)因為圖象經(jīng)過點〔3,,〔5,,所以,由待定系數(shù)法得：,解得：．一次函數(shù)的表達式為,所以,當時,,解得完成此房屋裝修共需9天。方法2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是,乙工作的效率：乙合作的天數(shù)：〔天甲先工作了3天,完成此房屋裝修共需9天〔2由正比例函數(shù)的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是,所以,甲9天完成的工作量是：,甲得到的工資是：〔元評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場,10分鐘走了總路程的,估計步行不能準時到達,于是他改乘出租車趕往考場,他的行程與時間關系如圖2所示〔假定總路程為1,則他到達考場所花的時間比一直步行提前了〔A．20分鐘Ｂ．22分鐘Ｃ．24分鐘D．26分鐘解析：步行前往考場,是滿足正比例函數(shù)關系,設正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x,因為圖象經(jīng)過點〔10,,所以,=k1×10,所以k1=,所以y=x,0＜x＜10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是,所以,步行前往考場需要的時間是：1÷=40〔分鐘,乘出租車趕往考場,是滿足一次函數(shù)關系,所以,設一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b,〔是常數(shù),因為圖象經(jīng)過點〔10,,〔12,,所以,由待定系數(shù)法得：,解得：解得：,一次函數(shù)的表達式為：,所以,乘出租車趕往考場用的時間是：x=÷,解得：x=6分鐘,所以,先步行前往考場,后乘出租車趕往考場共用時間為：10+6=16分鐘,所以,他到達考場所花的時間比一直步行提前了：40-16=24〔分鐘,故選C。評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產品A,第一批產品A上市40天內全部售完．該公司對第一批產品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調查,調查結果如圖所示,其中圖<3>中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系；圖<4>中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系．〔1試寫出第一批產品A的市場日銷售量y與上市時間t的關系式；〔2第一批產品A上市后,哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？解析：<1>由圖3可得,當0≤t≤30時,市場日銷售量y與上市時間t的關系是正比例函數(shù),所以設市場的日銷售量：y=kt,∵點〔30,60在圖象上,∴60=30k．∴k=2．即y=2t,當30≤t≤40時,市場日銷售量y與上市時間t的關系是一次函數(shù)關系,所以設市場的日銷售量：y=k1t+b,因為點〔30,60和〔40,0在圖象上,所以,解得k1=－6,b=240．∴y=－6t+240．綜上可知,當0≤t≤30時,市場的日銷售量：y=2t,當30≤t≤40時,市場的日銷售量：y=-6t+240。<2>由圖4可得,當0≤t≤20時,市場銷售利潤w與上市時間t的關系是正比例函數(shù),所以設市場的日銷售量：w=kt,∵點〔20,60在圖象上,∴60=20k．∴k=3．即w=3t,當20≤t≤40時,市場銷售利潤w與上市時間t的關系是常數(shù)函數(shù),所以,w=60,∴當0≤t≤20時,產品的日銷售利潤：m=3t×2t=6t2；∵k=6＞0,所以,m隨t的增大而增大,∴當t=20時,產品的日銷售利潤m最大值為：2400萬元。當20≤t≤30時,產品的日銷售利潤：m=60×2t=120t,∵k=120＞0,所以,m隨t的增大而增大,∴當t=30時,產品的日銷售利潤m最大值為：3600萬元；當30≤t≤40時,產品的日銷售利潤：m＝60×<-6t+240>=-360t+14400；∵k=-360＜0,所以,m隨t的增大而減小,∴當t＝30時,產品的日銷售利潤mm最大值為：3600萬元,綜上可知,當t＝30天時,這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元．評析：本題不僅考查同學們對分段函數(shù)意義的理解,而且同時還考查了同學們對分類思想的掌握情況,和對一次函數(shù)性質的理解和應用。1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵小強做家務,小強每月的費用都是根據(jù)上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的．若設小強每月的家務勞動時間為x小時,該月可得〔即下月他可獲得的總費用為y元,則y〔元和x〔小時之間的函數(shù)圖像如圖5所示．〔1根據(jù)圖像,請你寫出小強每月的基本生活費；父母是如何獎勵小強家務勞動的？〔2若小強5月份希望有250元費用,則小強4月份需做家務多少時間？解：〔1從圖象上可知道,小強父母給小強的每月基本生活費為150元；當0≤x≤20時,y〔元是x〔小時的一次函數(shù),不妨設y=k1x+150,同時,圖象過點〔20,200,所以,200=k1×20+150,解得：k1=2.5,所以,y=2.5x+150,當20＜x時,y〔元是x〔小時的一次函數(shù),不妨設y=k2x+b,同時,圖象過點〔20,200,〔30,240,所以,,解得：k2=4,b=120,所以,y=4x+120,所以,如果小強每月家務勞動時間不超過20小時,每小時獲獎勵2.5元；如果小強每月家務勞動時間超過20小時,那么20小時按每小時2.5元獎勵,超過部分按每小時4元獎勵〔2從圖象上可知道,小強工作20小時最多收入為200元,而5月份得到的費用為250元,大于200元,所以說明4月小強的工作時間一定超過20小時,所以應選擇分段函數(shù)中當20＜x時的一段,所以,由題意得,,解得：x=32.5答：當小強4月份家務勞動32.5小時,5月份得到的費用為250元．評析：本題不僅考查同學們對分段函數(shù)意義的理解,而且同時還考查了同學們對分類思想的掌握情況,和對分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司,甲公司每月通話的收費標準如圖6所示；乙公司每月通話收費標準如表1所示．〔1觀察圖6,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是元；甲公司用戶通話100分鐘以后,每分鐘的通話費為元；〔2李女士買了一部手機,如果她的月通話時間不超過100分鐘,她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘,又將如何選擇？解析：1從圖6,可以看出,這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構成的分段函數(shù),當0≤t≤100時,話費金額y=20；當t＞100時,話費金額y是通話時間t的一次函數(shù),不妨設y=kt+b,且函數(shù)經(jīng)過點〔100,20和〔200,40,所以,,解得：k=0.2,b=0,所以,y=0.2t,所以,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是20元；當甲公司用戶通話100分鐘以后,每分鐘的通話費為0.2元；2>仔細觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費y=0.15t+2.5,當0≤t≤100時,甲公司的話費金額y=20；乙公司通話收費y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通話時間不超過100分鐘,她選擇乙通迅公司更合算；因為,0.15t+2.5=0.2t,所以,t=500,所以,當通話時間t=500分鐘時,選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因為,0.15t+2.5＞0.2t,所以,t＜500,所以,當通話時間100＜t＜500分鐘時,選擇甲公司；因為,0.15t+2.5＜0.2t,所以,t＞500,所以,當通話時間t＞500分鐘時,選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6如圖7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M是CD的中點,點P在矩形的邊上沿A→B→C→M運動,則△APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是下圖中的〔解析：1、當0≤x≤1,y=×x×2=x；如圖8所示；2、當1＜x≤3,y=1×2-××2-×〔x-1×1-××〔3-x=；如圖9所示；3當3＜x≤3.5,y=×〔-x×2=-x；如圖10所示；所以C、D兩個選項是錯誤的,又因為函數(shù)y=中的k=-＜0,所以直線整體應該是分布在二、一、四象限,所以選項B也是錯誤的,所以選A。評析：對于運動型問題,關鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時,要注意整體思想的運用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天,小強騎自行車到郊外與同學一起游玩,從家出發(fā)2小時到達目的地,游玩3小時后按原路以原速返回,小強離家4小時40分鐘后,媽媽駕車沿相同路線迎接小強,如圖11,是他們離家的路程y<千米>與時間x<時>的函數(shù)圖像。已知小強騎車的速度為15千米/時,媽媽駕車的速度為60千米/時。<1>小強家與游玩地的距離是多少？<2>媽媽出發(fā)多長時間與小強相遇？解析：1當0≤x≤2,路程y<千米>是時間x<時>的正比例函數(shù),且k=15,所以y=15x；所以,當x=2時,y=2×15=30,所以,小強家與游玩地的距離是30千米。2當2＜x≤5,路程y<千米>