傳染病傳播地數(shù)學模型

..傳染病傳播的數(shù)學模型很多醫(yī)學工作者試圖從醫(yī)學的不同角度來解釋傳染病傳播時的一種現(xiàn)象,這種現(xiàn)象就是在某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時,每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)。結(jié)果都不能令人滿意,后來由于數(shù)學工作者的參與,用建立數(shù)學模型來對這一現(xiàn)象進行模擬和論證,得到了較滿意的解答。一種疾病的傳播過程是一種非常復雜的過程,它受很多社會因素的制約和影響,如傳染病人的多少,易受傳染者的多少,傳染率的大小,排除率的大小,人口的出生和死亡,還有人員的遷入和遷出,潛伏期的長短,預防疾病的宣傳以及人的個體差異等。如何建立一個與實際比較吻合的數(shù)學模型,開始顯然不能將所有因素都考慮進去。為此,必須從諸多因素中,抓住主要因素,去掉次要因素。先把問題簡化,建立相應的數(shù)學模型。將所得結(jié)果與實際比較,找出問題,修改原有假設(shè),再建立一個與實際比較吻合的模型。從而使模型逐步完善。下面是一個由簡單到復雜的建模過程,很有代表性,讀者應從中體會這一建模過程的方法和思路。一.最簡單的模型假設(shè)：<1>每個病人在單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)k；<2>一個人得病后經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會死亡。以i<t>表示t時刻的病人數(shù),表示每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù),i<0>=表示最初時有個傳染病人,則在時間內(nèi)增加的病人數(shù)為兩邊除以,并令→0得微分方程…………〔2.1其解為這表明傳染病的轉(zhuǎn)播是按指數(shù)函數(shù)增加的。這結(jié)果與傳染病傳播初期比較吻合,傳染病傳播初期,傳播很快,被傳染人數(shù)按指數(shù)函數(shù)增長。但由<2.1>的解可知,當t→∞時,i<t>→∞,這顯然不符合實際情況。最多所有的人都傳染上就是了。那么問題在那里呢？問題是就出在于兩條假設(shè)對時間較長時不合理。特別是假設(shè)<1>,每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)是常數(shù)與實際情況不符。因為隨著時間的推移,病人越來越多,而未被傳染的人數(shù)卻越來越少,因而不同時期的傳播情況是不同的。為了與實際情況較吻合,我們在原有的基礎(chǔ)上修改假設(shè)建立新的模型。二.模型的修改將人群分成兩類：一類為傳染病人,另一類為未被傳染的人,分別用i<t>和s<t>表示t時刻這兩類人的人數(shù)。i<0>=。假設(shè)：<1>每個病人單位時間內(nèi)傳染的人數(shù)與這時未被傳染的人數(shù)成正比。即；<2>一人得病后,經(jīng)久不愈,并在傳染期內(nèi)不會死亡。由以上假設(shè)可得微分方程…………<2.2>這是變量分離方程,用分離變量法可求得其解為…………<2.3>其圖形如下圖2-1所示模型<2.2>可以用來預報傳染較快的疾病前期傳染病高峰到來的時詢。醫(yī)學上稱為傳染病曲線,它表示傳染病人的增加率與時間的關(guān)系,如圖2-2所示。由<2.3>式可得…………〔2.4>再求二階導數(shù),并令,可解得極大點為…………<2.5>從<2.5>式可以看出,當傳染病強度k或人口總數(shù)n增加時,都將變小,即傳染病高峰來得快。這與實際情況吻合。同時,如果知道了傳染率k<k由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到>,即可預報傳染病高峰到來的時間,這對于預防傳染病是有益處的。模型<2.2>的缺點是：當t→∞時,由<2.3>式可知i<t>→n,即最后人人都要得病。這顯然與實襪情況不符。造成這個結(jié)果的原因是假設(shè)<2>中假設(shè)一人得病后經(jīng)久不愈,也不會死亡。為了得到與實際情況更吻合的模型,必須修改假設(shè)<2>。實際上不是每個人得病后都會傳染別人,因為其中一部份會被隔離,還有由于醫(yī)治和人的身抵抗力會痊愈,有的人會死亡從而也就不再會傳染給別人了。因此必須對模型作進一步的修改,建立新的模型。三.模型的進一步完善從上面的分析我們看到模型<2.2>的假設(shè)<2>是不合理的。即不可能一人得病后會經(jīng)久不愈,必有一部份人因醫(yī)治或自身的免疫力,或是被隔離,或是死去而成為不會再繼續(xù)傳染給別人的第三類人。因此我們把人群分成三類：第一類由能夠把疾病傳染給別人的那些傳染者組成的。用I<t>表示t時刻第一類人數(shù)。第二類是由并非傳染者但能夠得病而成為傳染者的那些人組成的,用S<t>表示t時刻第二類人數(shù)。第三類包括患病后死去的人,病愈后具有長期免疫力的人,以及在得病后被隔離起來的人。用R<t>表示t時刻第三類人數(shù)。假設(shè)疾病傳染服從下列法則：<1>在所考慮的時期內(nèi)人口總數(shù)保持在固定水平N,即不考慮出生及其他原因引起的死亡,以及人口的遷入遷出的情況。<2>易受傳染者人數(shù)S<t>的變化率正比于第一類的人數(shù)I<t>與第二類人粉S<t>的乘積。<3>由第一類向第三類轉(zhuǎn)變的速度與第一類的人數(shù)成正比。在這三條假設(shè)情況下可得如下微分方程：…………<2.6>其中r、λ為比例常數(shù),r為傳染率,λ為排除率。由方程<2.6>的三個方程相加得則故因此只要求出S<t>、I<t>即可求出R<t>。方程組<2.6>的第一個和第二個方程與R<t>無關(guān)。因此,由…………<2.7>得…………<2.8>積分得由初始條件：當并記代入上式可確定常數(shù)最后得…………<2.9>下面我們討論積分曲線<2.9>的性質(zhì),由<2.8>知所以當S＜ρ時,I<S>是S的增函數(shù),S＞ρ時,I<S>是S的減函數(shù)。又有I<0>=－∞,由連續(xù)函數(shù)的中間值定理及單調(diào)性知,存在唯一點,,使得,而當時,I<S>＞0。由<2.7>知I=0時,,所以為方程組<2.7>的平衡點。當時,方程<2.9>的的圖形如圖2-3。當t由變到∞時,點<S<t>,I<t>>沿曲線<2.9>移動,并沿S減少的方向移動,因為S<t>隨時間的增加而單調(diào)減少。因此,如果小于ρ,則I<t>單調(diào)減少到零,S<t>單調(diào)減少到。所以,如果為數(shù)不多的一群傳染者分散在居民中,且,則這種病會很快被消滅。如果,則隨著S<t>減少到ρ時,I<t>增加,且當S=ρ時,I<t>達到最大值。當S<t>＜ρ時I<t>才開始減少。由上分析可以得出如不結(jié)論：只有當居民中的易受傳染者的人數(shù)超過閾值時傳染病才會蔓延。用一般常識來檢驗上面的結(jié)論也是符合的。當人口擁擠,密度高,缺少應有的科學文化知識,缺乏必要的醫(yī)療條件,隔離不良而排除率低時,傳染病會很快蔓延；反之,人口密度低,社會條件好,有良好的醫(yī)療條件和較好的管理而排除率高時,則傳染病在有限范圍內(nèi)出現(xiàn)會很快被消滅。傳染病學中的閾值定理設(shè),且假設(shè)同1相比是小量。并設(shè)最初傳染者人數(shù)很小,則最終患病人數(shù)為2r。即是易受傳染者的人數(shù)最初比閾值高多少,那么最終就會比閾值低多少。這就是有名的傳染病閾值定理。生物數(shù)學家Kermack和Mekendrick在1927年首先證明了這個定理<證明從略>根據(jù)閾值定理就可以由起初易受傳染者的人數(shù)來估計最終患病的人數(shù)。這定理解釋了研究人員長期以來難以解釋的為什么對于某一民族或地區(qū),某種傳染病傳播時,每次所涉及的人數(shù)大體上是一常數(shù)的現(xiàn)象。在傳染病發(fā)生的過程中,不可能準確地調(diào)查每一天或每一星期的得病人數(shù)。因為只有那些來醫(yī)院就醫(yī)者才能被人知道他們得了病,并把他們隔離起來防止傳染。因此,統(tǒng)計的記錄是每一天或星期新排除者的人數(shù),而不是新得病的人數(shù)。所以,為了把數(shù)學模型所預示的結(jié)果同疾病的實際情況進行比較,必須解出<2.6>中的第三個方程。因為所以從而有…………<2.10>方程<2.10>雖是可分離變量的方程,但是不能用顯式求解,如果傳染病不嚴重,則R/ρ是小量,取泰勒級數(shù)前三項有從而其解其中因此…………<2.11>方程<2.11>在平面上定義了一條對稱鐘形曲線,稱為疾病傳染曲線。疾病傳染曲線很好地說明了實際發(fā)生的傳染病的情況：每天報告的新病案的數(shù)目逐漸上升到峰值,然后又減少下來。Kermak和Mekendrick把<2.11>得到的值,同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟買發(fā)生的瘟疫資料進行比較,他們假設(shè)其中t按星期計,在圖2-4中的實際數(shù)字<圖中用"."表示>同理論曲線非常一致。這就表明模型