葉盛標(biāo)高數(shù)上

PAGEPAGE21前言只要兩秒強行帶入定型定法以洛為主單夾積導(dǎo)極限是微積分的基石；導(dǎo)數(shù)是微積分的關(guān)鍵；初等函數(shù)——公式搞定；分段函數(shù)——分段搞定；上限函數(shù)——導(dǎo)數(shù)搞定。第一章函數(shù)、極限與連續(xù)§0內(nèi)容提要0、極限的定義（科學(xué)的語言——五句話）i)函數(shù)極限的定義（科學(xué)的語言——五句話）①的極限定義為：①（任給）；②（存在）；③當(dāng)時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價的左極限定義為：①；②；③當(dāng)時；④總有成立；⑤則有。結(jié)論：存在，即左極限與右極限存在且相等②的極限定義為：①；②；③當(dāng)時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價的左極限定義為：①；②；③當(dāng)時；④總有成立；⑤則有。ii)數(shù)列極限的定義（科學(xué)的語言——五句話）數(shù)列的極限定義為：①；②；③當(dāng)時；④總有成立；⑤則有。前4句話與第5句話等價1、兩個重要極限，這兩個極限之所以重要，是因為幾乎全部的基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式都是由這兩個重要極限推出的。2、極限存在的兩個準(zhǔn)則：i)夾逼定理;ii)單調(diào)有界數(shù)列有極限.3、連續(xù)與間斷設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，且，則稱在點連續(xù)。破壞“設(shè)”、“如果”、“且”三條件之一者謂之間斷，為間斷點。若左極限及右極限都存在，那么稱為的第一類間斷點，否則為第二類間斷點。保號定理，保命定理。保號定理，保命定理。保函數(shù)號定理證明：時，即，于是取，即保極限號定理中值定理，邊值搞定，證明：反正即可。中值定理，邊值搞定7、介值定理8、零點定理零點定理，邊值搞定零點定理，邊值搞定注意：。§1思維定勢思維定勢1洛必達前，要用三處（高等數(shù)學(xué)、初等數(shù)學(xué)、特例法）在春天就必須掌握的五個常用的麥克勞林公式生產(chǎn)出系列等價無窮小I)時,Iv)時,v)時,§2?？碱}型常考題型1強行帶入，定頂星定法例2求極限洛必達前，要用三處。（初處）解：洛必達前，要用三處。（初處）超越函數(shù)，不再超越。超越函數(shù)，不再超越。超越函數(shù)：不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算，得到函數(shù)值的函數(shù)，謂之超越函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為超越函數(shù)。例3求極限洛必達前，極限搞定。解：洛必達前，極限搞定。補充（全國2010，數(shù)一）極限A、1B、C、D、解：冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。例4冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。零與非零，涇渭分明。解：零與非零，涇渭分明。（）補充（全國2008數(shù)一、數(shù)二）高處求極限高處解：零與非零，涇渭分明。零與非零，涇渭分明。另解：解法三：拉氏弧形，不拉不行。拉氏弧形，不拉不行。補充（全國2009數(shù)二、數(shù)三）求極限解：零與非零，零與非零，涇渭分明。評注：求極限的最好辦法：洛必達前，極限搞定。冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。補充：求極限冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。解：零與非零，涇渭分明。零與非零，涇渭分明。注意：此處不能直接利用等價無窮小（），應(yīng)作如下處理。此處不能直接利用等價無窮?。ǎ瑧?yīng)作如下處理。補充處理：，而，剛才省略了這個步驟。補充（全國2011，數(shù)一，10分）求極限解：由于補充（全國1997，數(shù)二）求極限解：另解：補充（全國2011年，數(shù)三，10分）超越函數(shù)，不再超越。求極限超越函數(shù)，不再超越。解：看到根號，想到共軛。看到根號，想到共軛。補充（全國2011，數(shù)一）（答案：）補充（全國2005，數(shù)二）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且分析：解：分子，分母，在此處如果繼續(xù)這樣處理：在此處如果繼續(xù)這樣處理：就是錯誤的，因為①在不可導(dǎo)；②導(dǎo)數(shù)不連續(xù)?？佳袛?shù)學(xué)的四個標(biāo)準(zhǔn)化：上限函數(shù)要標(biāo)準(zhǔn)化；微分方程要標(biāo)準(zhǔn)化；線性方程要標(biāo)準(zhǔn)化；隨機變量要標(biāo)準(zhǔn)化。例6解：，練習(xí)：求下列極限①；②；（答案均為0）例8解：定理：（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）例10求極限。分析：有理分式真分式部分分式（假的變真的，真的再分解）解：例13解：上述極限的左極限為上述極限的右極限為?？碱}型2導(dǎo)數(shù)、積分，可求極限例14.若的二階導(dǎo)數(shù)存在，則錯解：錯因分析：的二階導(dǎo)數(shù)存在，但在附近并不連續(xù)。補充：設(shè)處可微，一點可導(dǎo)，定義搞定。冪指函數(shù)，一點可導(dǎo)，定義搞定。冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。例15求極限解法一：此種解法錯誤。解法二：令；則且有又有，；根據(jù)遞推公式；有，故本題無法由本解法解出。解法三（采用定積分定義進行求解）：詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。定積分是一種特殊的和式極限：i)ii）決定積分區(qū)間：；Iii)決定微分：；在本題中取例17求極限解：，而，，冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。冪指函數(shù)，對數(shù)恒等。注意：，又。由本題可得結(jié)論：。由于數(shù)列由于數(shù)列離散，致使本題無法采用導(dǎo)數(shù)與積分定義的方法求該極限。?？碱}型3夾逼定理，誰來夾逼例18求極限解法一：則則有，；根據(jù)數(shù)列的遞推公式，有，故本題無法由本解法解出。解法二（夾逼定理）：詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。夾逼定理：i）（夾得?。籭i)（夾得緊）；則。夾逼定理是沒有辦法的辦法，一般不要輕易使用。?？碱}型4遞推極限，要看兩頭補充（全國1996，數(shù)學(xué)一）設(shè)分析：，逆向思維即逆向思維解：i）先證,;由數(shù)學(xué)歸納法，則數(shù)列。Ii)再證數(shù)列例19設(shè)由下式定義?？碱}型8漸近線里三種類補充（全國2010，數(shù)二）曲線的漸近線方程為_______解：i)，沒有水平漸近線；ii)無垂直漸近線；iii），；故曲線僅有斜漸近線。導(dǎo)數(shù)與微分§0內(nèi)容提要導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)如果內(nèi)可導(dǎo)，如果內(nèi)可導(dǎo)，在處有右導(dǎo)數(shù)，在處有左導(dǎo)數(shù)；可導(dǎo)可微，其中與無關(guān)，這時稱在點處可微，記作；可以證明。一般記作函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系在點處可導(dǎo)在點處連續(xù)；反之不成立?！?思維定勢1、同名函數(shù)的三大用途：①求不定積分；②做證明題；③求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。原函導(dǎo)函，拉式定理。原函導(dǎo)函，拉式定理?！?常考題型?？碱}型9導(dǎo)數(shù)定義，永恒考題補充（全國1997，數(shù)一、數(shù)二）設(shè)連續(xù)，，且（為常數(shù)），求在處的連續(xù)性解：，，i)ii)初等函數(shù)——初等函數(shù)——公式搞定；分段函數(shù)——分段搞定；上限函數(shù)——導(dǎo)數(shù)搞定。i)ii)又，在處連續(xù)。在春天就要掌握的五個考研真題1（全國2001，數(shù)三、數(shù)四）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，又，則是的極小值點是的極大值點是曲線的拐點不是的極值點，也不是曲線的拐點2（全國2005，數(shù)二）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且。3（全國1997，數(shù)一、數(shù)二）設(shè)連續(xù)，，且（為常數(shù)），求在處的連續(xù)性。（）4已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解，i）證明方程組系數(shù)矩陣的秩，ii）求、的值及方程組的通解。例34設(shè)，則不存在補充（全國1998，數(shù)一、數(shù)二）函數(shù)不可導(dǎo)點的個數(shù)是定理：若在可導(dǎo)，在處連續(xù)但不可導(dǎo)，則函數(shù)在可導(dǎo)。證明：“”已知，證明函數(shù)在可導(dǎo)。“”函數(shù)在可導(dǎo)，證明，證畢。?？碱}型10函數(shù)求導(dǎo)，年年要考例43設(shè)，且，求解：，，補充，求解：，補充（全國2009，數(shù)二）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則-3初始條件，要抓出來。解：，初始條件，要抓出來。，當(dāng)時，當(dāng)時，。補充（全國2010，數(shù)三）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程確定，則解：，；當(dāng)時，常考題型11階導(dǎo)數(shù)，形式優(yōu)美例46求的階導(dǎo)數(shù)。（要求直接寫出結(jié)果）解：詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。例47，求分析：有理分式真分式部分分式（假的變真的，真的再分解）解：詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。補充（全國2010，數(shù)二）函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)，。解：?？碱}型12切線法線，倒數(shù)搞定i)過曲線上一點，求過該點的切線：；ii)過曲線外一點，求過該點且與曲線相切的直線：補充（全國2011，數(shù)三）曲線在點處的切線方程為。解：當(dāng)時，。第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用§0內(nèi)容提要1、對羅爾定理的證明在上連續(xù)，由最值定理有i)如果，則，，在內(nèi)任取一點，總有；ii)如果，那么或中至少有一點在內(nèi)取得，不妨假設(shè)，一點可導(dǎo)，定義搞定。一點可導(dǎo)，定義搞定。（保極限號定理）問題證明，結(jié)論開始。，證畢。問題證明，結(jié)論開始。2、對拉格朗日中值定理的證明欲證：——撇了再，即證：（某一函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)）——撇了再，高等數(shù)學(xué)，升階降階。，高等數(shù)學(xué)，升階降階。，中值定理，邊值搞定。中值定理，邊值搞定。，由羅爾定理，存在，使得，即有，證畢。3對柯西中值定理的證明欲證：，即證：，，，，，由羅爾定理，存在，使得，即有，證畢。4泰勒公式（略）對定積分中值定理的證明證法一：在上連續(xù)，由最值定理有，則最值介值，狼狽為奸。由介值定理，存在，使，最值介值，狼狽為奸。即有，證畢。證法二：在上連續(xù)，存在原函數(shù)，使得，牛萊拉氏，狼狽為奸。，其中。牛萊拉氏，狼狽為奸。評注：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，連續(xù)，則存在，使得，此即為微積分基本定理?！?思維定勢——詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》?！??？碱}型?？碱}型13函數(shù)性態(tài)，導(dǎo)數(shù)搞定補充（全國2010，數(shù)一、數(shù)二）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：函數(shù)的定義域為，，，令得駐點，——極小值極大值極小值函數(shù)的極小值為，極大值為。補充（全國2000，數(shù)二）設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，且，則（）是的極小值點是的極大值點是曲線的拐點不是的極值點，也不是曲線的拐點分析：這是一個可降解的二階微分方程，令（缺）則有（一階微分方程），無法求解！且，則（由此可知存在），由此可知存在，從而可知連續(xù)，且拐點補充（全國2011，數(shù)一、數(shù)二）曲線的拐點是（）解：對于可導(dǎo)函數(shù)，若存在拐點，使，必有在區(qū)間與上異號。對有：令，其中，則，，且則有，，不是曲線的拐點對有：令，其中，則，，且，不是曲線的拐點。對有：令，其中，則，，，則在的左右領(lǐng)域內(nèi)異號，且，是曲線的拐點對有：令，其中，則，，，則在的左右領(lǐng)域內(nèi)均大于0，且，不是曲線的拐點?？碱}型14證明不等，導(dǎo)數(shù)搞定補充（全國1999，數(shù)一）試證：當(dāng)時，欲證：，即證：，，，，令，得。極小值，證畢。（一定要有用導(dǎo)數(shù)窮追猛打的革命精神?。┭a充：證明對自然數(shù)，有證明：先證，即證，即證，令則恒成立，在定義區(qū)間上單調(diào)遞增，又，在定義區(qū)間單調(diào)遞增，且，證畢。證明不等，導(dǎo)數(shù)搞定。問題證明，結(jié)論開始。再證，即證，即證，證明不等，導(dǎo)數(shù)搞定。問題證明，結(jié)論開始。即證，即證，，恒成立，單調(diào)遞增，又，單調(diào)遞增，且。?？碱}型15中值定理，邊值搞定中值定理，函數(shù)搞定。中值定理，函數(shù)搞定。有了函數(shù)，利用函數(shù)。沒有函數(shù)，制造函數(shù)。中值定理，邊值搞定。有了邊值，利用邊值。沒有邊值，制造邊值。例55原函導(dǎo)函，拉式定理。詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。例56三值相等，兩撇為零。詳見《葉盛標(biāo)考研數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)班講義》。補充（全國2010，數(shù)二）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：問題證明，結(jié)論開始。存在，，使得問題證明，結(jié)論開始。中值定理，邊值搞定。欲證：，即證中值定理，邊值搞定。即證：，，兩個中值，兩次搞定。，其中兩個中值，兩次搞定。，其中；，，證畢。補充（全國2010，數(shù)三）三值相等，兩撇為零。最值介值，狼狽為奸。設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且，三值相等，兩撇為零。最值介值，狼狽為奸。證明：i)存在，使；ii)存在，使。證明：，其中，則有；由于在閉區(qū)間上連續(xù)，由最值定理，則有，，，，由介值定理，存在，使，綜上即有第四章不定積分§0內(nèi)容提要求與求互為反問題?！?思維定勢思維定勢1不定積分，換元分部。思維定勢2換元積分，同三倒萬（同：化同名；三：三“正”代換；倒：倒代換；萬：萬能置換公式）。同：化同名（湊微分）；三：三“正”代換①正弦代換，令；②正切代換，令；③正割代換，令；倒：倒代換，令（注意倒回來）；萬：萬能置換公式，令，對于三角有理函數(shù)，萬能置換公式是萬能的。補充（全國2009，數(shù)二、數(shù)三，10分）求不定積分解：令，，則有。補充（全國2011，數(shù)三，10分）計算不定積分解：令，則§0內(nèi)容提要定積分的性質(zhì)可復(fù)制到二重積分. §1思維定勢1.二重積分并不巧,五字方針就是好.被積函數(shù)要考慮,區(qū)域形狀最重要!2.你說完了五個嗎?如果是型積分區(qū)域,就要先對積分,用平行于軸的射線穿過積分區(qū)域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)3.你說完了五個嗎?如果是型積分區(qū)域,就要先對積分,用平行于軸的射線穿過積分區(qū)域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)4.你說完了五個嗎?如果是型積分區(qū)域,就要先對積分,用“閃金光”的穿過積分區(qū)域,穿進去,等于什么?(下限)穿出來,等于什么?(上限)§2?？碱}型?？碱}型1.積分換序，五字方針例1.（全國1990數(shù)一）積分例2．（南京氣象學(xué)院1984，蘭州大學(xué)1985，全國1988數(shù)二，天津大學(xué)1998）計算.例3．（全國2001數(shù)一）交換二次積分的積分次序：.?？碱}型2.二重積分,五字方針例4．（全國2011數(shù)一，數(shù)二）已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)