2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)壓軸題答案詳解及解題技巧(含模擬專練)

年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考I卷）壓軸題解讀7．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【命題意圖】本題考查球的表面積求解，同時還涉及了正弦定理的運用，考查了運算求解能力，對空間想象能力要求較高【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8．已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運用，考查運算求解能力【答案】A【解析】因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．12．若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【命題意圖】本題主要考查了三角代換求最值，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學(xué)生分析問題，轉(zhuǎn)化問題的能力【答案】BC【解析】因為（R），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確；因為變形可得，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．16．已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．【命題意圖】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力.【答案】【解析】令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：21．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【命題意圖】本題考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力【解析】(1)右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；(2)由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點為,則,設(shè),則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；條件③等價于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【命題意圖】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力【解析】(1)當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.(3)取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.壓軸題模擬一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，古代用它作為長方棱臺（上、下底面均為矩形的棱臺）的專用術(shù)語，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之，亦倍下袤，上袤從之，各以其廣乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．現(xiàn)有一外接球的表面積為的“芻童”如圖所示，記為四棱臺，其上、下底面均為正方形，且，則該“芻童”的體積為（

）A．224 B．448 C．或448 D．或224【答案】C【解析】連接，交于點，連接，交于點，連接，則由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心必在直線上，由題意可得，，設(shè)球的半徑為，由，得．連接，，在中，，即，得．在中，，即，得．當(dāng)球心在線段上時，，則該芻童的體積；當(dāng)球心在線段的延長線上時，，則該芻童的體積為．故選：C．2．（2022·江西·上高三中高三模擬）在圓錐中，是母線上靠近點的三等分點，，底面圓的半徑為，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法錯誤的是（

）A．當(dāng)時，從點到點繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為B．當(dāng)時，過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時，圓錐的外接球表面積為D．當(dāng)時，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動【答案】B【解析】依題意可知.對于ACD選項，當(dāng)時，，圓錐的高為.以下分析ACD選項：側(cè)面展開圖的母線長為，圓心角為.此時圓錐側(cè)面展開圖如下圖所示:所以，A選項正確.設(shè)圓錐的外接球的球心為，半徑為，則，表面積為，C選項正確.棱長為的正四面體如下圖所示，正方體的邊長為，體對角線長為，所以棱長為的正四面體的外接球半徑為.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，D選項正確.對于B選項，，為鈍角，所以過頂點和兩母線的截面三角形的最大面積為，B選項錯誤.故選：B3．已知定義在上的函數(shù)，對任意的，都有，且，則下列說法正確的是（

）A．是以2為周期的偶函數(shù) B．是以2為周期的奇函數(shù)C．是以4為周期的偶函數(shù) D．是以4為周期的奇函數(shù)【答案】D【解析】即①，令①中，則，則，又因為，所以，所以②，令②中，所以，所以，所以的周期為.因為，所以，所以為奇函數(shù).故選：D.4．（2021·江蘇·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．二、多選題5．（2022·海南·?？谝恢懈咭黄谥校┮阎?，則（

）A． B．C．≤0 D．【答案】ACD【解析】A選項，∵，∴，∴，A正確B選項，當(dāng)時，，B錯誤；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：ACD6．（2022·湖北十堰·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【解析】由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，解得：或，因為，所以舍去，故的最大值為2，A錯誤；由得：，因為，所以，所以，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，解得：或，因為，所以舍去，故的最小值為4，B正確；由變形為，則，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，令，則由，解得：或（舍去）所以的最小值為，C正確；由可得：，從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，等號成立，故最小值為16.故選：BCD，三、填空題7．（2022·河北·石家莊市第二十二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的方程為__．【答案】【解析】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則橢圓的焦點在軸上，且，可以設(shè)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，①設(shè)點坐標(biāo)為，，點坐標(biāo)為，，有②，③，②③可得：④，又由直線的斜率為，則，的中點的坐標(biāo)為，則、，代入④中，可得，又由，則，，故要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；故答案為：．8．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校高三期末（理））以原點為對稱中心的橢圓C1，C2焦點分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點分別為，若，則直線l的斜率為__________．【答案】±1．【解析】設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故答案為：.四、解答題9．（2022重慶市育才中學(xué)高三模擬）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓方程；(2)已知為坐標(biāo)原點，為橢圓上非頂點的不同兩點，且直線不過原點，不垂直于坐標(biāo)軸.在下面兩個條件中任選一個作為已知：①直線與直線斜率之積為定值；②的面積為定值，證明：存在常數(shù)，使得，且點在橢圓上，并求出的值.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】(1)依題意,解得，.橢圓方程為.(2)設(shè)直線，由得，，，，若選①：，.整理得.由得，，因為點在橢圓上，所以，.若選②：，整理得，，，.由得，因為點在橢圓上，所以，.10．（2020·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知橢圓的左?右頂點分別為，點該橢圓上，且該橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率，求證：_____________.在以下三個結(jié)論中選擇一個填在橫線處進行證明.①直線與的交點在定直線上；②；③.【解析】⑴因為拋物線的焦點為.所以橢圓的右焦點用又點在該橢圓上，所以又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）選①設(shè)聯(lián)立得：法一：直線的交點的橫坐標(biāo)為所以直線AM與BN的交點在定直線上法二：要證直線與的交點在定直線上，即，即證即證，即證，即證即證因為所以直線與的交點在定直線上.選②設(shè)，聯(lián)立得：所以法一：法二：所以因為也同號，所以法三：要證，即證，即證即證，即證因為所以法四：由得得同理因為為三點共線，所以即因為同號，所以選③設(shè)，聯(lián)立得：所以所以.11．（2022·四川省成都市新都一中高三模擬）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值，并求函數(shù)的極值；(2)①若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時，．【解析】(1)，又在處取得極值，，解得：，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，的極大值為；極小值為；綜上所述：；極大值為，極小值為.(2)①，令，則；（i）.當(dāng)，即時，恒成立，，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；（ii）.當(dāng)，即或時，令，解得：，；當(dāng)時，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，，又，，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.②由①知：當(dāng)時，在上恒成立，