機(jī)器人技術(shù)-運(yùn)動(dòng)分析

第三章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析

KinematicsofIndustrialRobot

§3—1概述

運(yùn)動(dòng)分析可以確定各關(guān)節(jié)、部位、機(jī)器人末端的位姿具體坐標(biāo)值、速度、加速度。關(guān)節(jié)較多，桿件較多，如只在一個(gè)固定坐標(biāo)系中分析困難。多坐標(biāo)系，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

§3—2機(jī)器人末端位姿描述位置position姿態(tài)pose一、

坐標(biāo)系末端坐標(biāo)系Onxnynzn—末端夾持器固聯(lián)

固定坐標(biāo)系（基礎(chǔ)坐標(biāo)系）()—底座固聯(lián)二、

位姿描述1.位置描述矢量—機(jī)器人手端位置P=[Px,Py,Pz]T,

2。姿態(tài)描述（方位）手端姿態(tài):xnynzn坐標(biāo)軸在固定坐標(biāo)系中的投影關(guān)系奇異點(diǎn)：敵機(jī)在正上方，方位自由度退化，難以瞄準(zhǔn)，一旦出現(xiàn)仰俯角（而此時(shí)仰俯角位置所在方位是此前位置），而新的方位是敵機(jī)任意的，無法瞬時(shí)調(diào)節(jié)方位。

一列：xn對(duì)XYZ的方向余弦二列：

yn對(duì)XYZ的方向余弦三列：zn對(duì)XYZ的方向余弦機(jī)器人位姿矩陣：

positionandposematrix

矩陣A

與各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，A?

§3—3坐標(biāo)變換一個(gè)桿件--------一個(gè)坐標(biāo)系桿件相對(duì)運(yùn)動(dòng)（關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)）坐標(biāo)系相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換一、

平移變換1、二維坐標(biāo)平移變換

abyxy1x1P(x1,y1)oo1上式成立條件：當(dāng)前坐標(biāo)系O1從參考坐標(biāo)系O重合位置向右上方移動(dòng)(a,b)為了便于矩陣運(yùn)算，改寫上式T—平移矩陣,左乘齊次坐標(biāo)—n坐標(biāo)增加一維。abyxy1x1P(x1,y1)oo12、三維坐標(biāo)平移變換O1坐標(biāo)以O(shè)坐標(biāo)為參考,從O重合位置移開(a,b,c)T—平移矩陣,左乘二、旋轉(zhuǎn)變換1、二維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換

P(x1,y1)y1yx1xααR—旋轉(zhuǎn)變換矩陣，方向余弦矩陣.R－當(dāng)前坐標(biāo)O1以參考坐標(biāo)O為參考旋轉(zhuǎn)，左乘R左式成立條件：O1坐標(biāo)系按右手定則從O坐標(biāo)系重合位置旋轉(zhuǎn)α2、三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)(相當(dāng)二維旋轉(zhuǎn))：P(x1,y1)y1x1xθθyR－當(dāng)前坐標(biāo)O1以參考坐標(biāo)O為參考旋轉(zhuǎn)，左乘Rz1x1y1zyxR－當(dāng)前坐標(biāo)O1以參考坐標(biāo)O為參考旋轉(zhuǎn)，左乘Rz1x1y1zyxR－當(dāng)前坐標(biāo)O1以參考坐標(biāo)O為參考旋轉(zhuǎn)，左乘R例題：已知x1=7,y1=3,z1=2,①

求繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°后x,y,z坐標(biāo)值②

繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°后，再繞Y軸轉(zhuǎn)90.解

(1)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°.sinθ=1,cosθ=0z1x1y1zyxP(7,3,2)解

(1)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°.sinθ=1,cosθ=0zyxx1y1z1P(-3,7,2)zyxx1y1z1P(-3,7,2)

2)

繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°后再繞Y軸轉(zhuǎn)90.yx1y1zP(2,7,3)xz1P1(7,3,2)P(2,7,3)yx1y1P(2,7,3)xz1z注意：①②動(dòng)作順序的結(jié)果是前(左)乘矩陣三、

平移與旋轉(zhuǎn)組合變換1、當(dāng)前坐標(biāo)系O1相對(duì)參考坐標(biāo)系O變換P(x1,y1)y1x1xθθy

平移矩陣：旋轉(zhuǎn)變換矩陣：例；先繞Z軸旋轉(zhuǎn)再平移總變換矩陣：P(x1,y1)y1x1xyab動(dòng)作順序的結(jié)果是左乘矩陣

平移變換矩陣：P(x1,y1)y1x1xyab例：先以O(shè)為參考平移a,b，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣：總變換矩陣：xyP(x1,y1)y1x1θ兩種動(dòng)作順序比較：兩種動(dòng)作順序結(jié)果相同比較：先旋轉(zhuǎn)，后平移先平移，后繞Z1旋轉(zhuǎn)結(jié)論：繞自身軸線旋轉(zhuǎn)→右乘旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)}：已知點(diǎn)P（x1=7,y1=3,z1=2）,①

繞z1軸旋轉(zhuǎn)90°②

沿x1,y1,z1

軸移動(dòng)[4,-3,7]單位③繞y1軸旋轉(zhuǎn)90°解

(1)變換矩陣A2、當(dāng)前坐標(biāo)系O1相對(duì)當(dāng)前坐標(biāo)系O1變換x1y1Z1x1y1Z1x1y1Z1x1y1Z1動(dòng)作順序的結(jié)果是右乘矩陣

P（x1=7,y1=3,z1=2）,x1y1Z1平移變換矩陣：P(x1,y1)y1x1xyab例：先以O(shè)為參考平移a,b，再以當(dāng)前坐標(biāo)系O1為參考系繞Z1軸旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣：3、當(dāng)前坐標(biāo)系O1相對(duì)當(dāng)前參考坐標(biāo)系O及當(dāng)前坐標(biāo)系O1混合變換總變換矩陣：P(x1,y1)y1x1xyab動(dòng)作順序的結(jié)果是右乘矩陣

總結(jié)：（1）O1坐標(biāo)系以O(shè)坐標(biāo)系為參考變換，左乘矩陣（2）O1坐標(biāo)系以O(shè)1坐標(biāo)系為參考變換，右乘矩陣P(x1,y1)y1x1xyab例題：已知n1=1,o1=5,a1=4,①

繞x軸旋轉(zhuǎn)90°②

沿z1

軸移動(dòng)3單位③繞z軸旋轉(zhuǎn)90°④沿y1

軸移動(dòng)5單位解變換矩陣Ax1y1Z1§3—4機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)forwardsolution正向-已知各關(guān)節(jié)角度，求末端執(zhí)行器位姿。

----很少反向-已知末端執(zhí)行器位姿，求各關(guān)節(jié)角度。

-----常見

一、

機(jī)器人關(guān)節(jié)與連桿二、

機(jī)器人坐標(biāo)系的建立方法坐標(biāo)系數(shù)=關(guān)節(jié)數(shù)＋10坐標(biāo)系(前），n手部（后）坐標(biāo)系編號(hào)方法：左邊、基礎(chǔ)－前右邊、手部－后1、后置法—連桿i的坐標(biāo)系xiyizi

建立在后一個(gè)關(guān)節(jié)（右邊）i+1處－常用Z軸：關(guān)節(jié)軸線2、前置法—連桿i的坐標(biāo)系xiyizi

建立在前邊（左邊）關(guān)節(jié)i處。

三、廣義連桿廣義連桿—相鄰兩個(gè)關(guān)節(jié)軸線處于空間任意位置。桿件長(zhǎng)度ai—相鄰兩關(guān)節(jié)最短距離，X軸方向桿件扭角（關(guān)節(jié)軸線夾角）αi—相鄰兩關(guān)節(jié)軸線平移相交后的夾角。正負(fù)繞Xi軸旋轉(zhuǎn)右手定則。ai偏置量di—相鄰桿件長(zhǎng)度線ai-1與ai在關(guān)節(jié)軸線上的距離，相鄰x軸間距。關(guān)節(jié)變量角θi—相鄰桿件長(zhǎng)度ai-1與ai平移相交后的夾角，正負(fù)繞Zi軸右手定則三、

相鄰桿件運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系—坐標(biāo)變換目的：將桿件i的位姿坐標(biāo)xiyizI表現(xiàn)在xi-1yi-1zi-1坐標(biāo)中。原理：將位姿坐標(biāo)xiyizI進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到xi-1yi-1zi-1坐標(biāo)中。方法：兩次平移，兩次旋轉(zhuǎn)。注意：旋轉(zhuǎn)角度θiαi正負(fù)符合右手定則。變換依據(jù)：設(shè)定Oi,Oi-1、最初重合－按當(dāng)前坐標(biāo)矩陣變換－右乘矩陣1、后置法（常用此法）變換矩陣Ai=R(zi,θi)T(0,0,di)T(αi,0,0)R(xi,α

i)設(shè)定Oi-1,Oi、最初重合－按當(dāng)前坐標(biāo)矩陣變換－右乘矩陣

變換矩陣Ai=R(xi,α

i-1)T(ai-1,0,0)T(0,0,di)R(zi,θi)2、前置法（略）四、

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立設(shè)用關(guān)節(jié)后置法

n個(gè)關(guān)節(jié)，n+1個(gè)坐標(biāo)系。n+1個(gè)桿件（含機(jī)架）A—總變換矩陣－n向n-1轉(zhuǎn)換－1向0轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下五、

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程正向求解已知機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)：桿件長(zhǎng)度ai，桿件扭角αi，偏置量di關(guān)節(jié)變量角θi求：機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿具體數(shù)值求解：【1】建立各坐標(biāo)系【2】相鄰桿件坐標(biāo)轉(zhuǎn)換→確定總變換矩陣A確定建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程【3】求解A,確定x0y0z0坐標(biāo)下的機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿具體數(shù)值例題：PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析—美國(guó)Unimation公司產(chǎn)品求解：末端執(zhí)行器位姿

解：1、自由度、關(guān)節(jié)分析F=6六個(gè)關(guān)節(jié)

2、坐標(biāo)數(shù)=6+1=7O1→O6放大桿件長(zhǎng)度ai—相鄰兩Z軸距離，i桿件代號(hào)偏置量di—相鄰x軸間距已知：a2、a3、d2、d3、d6a1=0、a4=0、a5=0、a6=0、d1=0、d4=0、d5=0放大解：【1】建立各坐標(biāo)系

x0y0z0x1y1z1…xnynzn—后置法【2】相鄰桿件坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

將已知數(shù)據(jù)帶入得：總變換矩陣

px,py,pz

－θ1,θ2,θ3,影響位置（末端夾持器坐標(biāo)原點(diǎn)O6）n,o,a,－θ1,θ2,θ3

θ4,θ5,θ6,影響姿態(tài)確定建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程【3】求解A,得x0y0z0例如：圖示位置θ1=0°，θ2=0°,θ3=0°θ4=θ5=θ6=0°可見與圖完全一致。逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)命題：已知xnynzn,x0y0z0已知A方陣數(shù)據(jù)未知A方陣中關(guān)節(jié)變量θ求解方陣A得各θ§3—5機(jī)器人逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)inverse（converse)solution機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題是逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題,軌跡控制一、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)可解性

F≤6，轉(zhuǎn)動(dòng)及移動(dòng)關(guān)節(jié)開式鏈機(jī)器人，有數(shù)值通解。A中包含各關(guān)節(jié)變量θ關(guān)系。1、數(shù)值通解—方陣A左右對(duì)應(yīng)元素相等，得多變量三角函數(shù)方程組－非線性超越方程組－無顯式解迭代計(jì)算量相當(dāng)大，無法滿足機(jī)器人實(shí)時(shí)控制要求。2、解析法（代數(shù)法）—特殊情況，有解析解。利用矩陣對(duì)應(yīng)元素存在零或常數(shù)項(xiàng)。3、作圖法。二、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)解析法（代數(shù)法）

已知數(shù)據(jù)待求的各變量θ例題：PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析—美國(guó)Unimation公司產(chǎn)品（1）解θ1，θ3方程左乘：找常數(shù)項(xiàng)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)兩邊相等，解出θ1，θ3方程右邊方程左邊展開矩陣最后一列左右兩側(cè)分別：解θ1[＊]第三行式子:令:θ1具有兩個(gè)解解θ3[*][*]化簡(jiǎn)θ3具有兩個(gè)解[＊][＊]（2）解θ2,θ4找常數(shù)項(xiàng)，兩邊相等，解出θ2.θ4方程右邊：方程左邊：方程左乘：四列前三行：θ2一個(gè)解可行，另一個(gè)偽根[*][*]解θ2解θ4解θ2式的三列前三行：[*][*]θ2一個(gè)解可行，另一個(gè)偽根（3）解θ5找常數(shù)項(xiàng)，兩邊相等，解出θ5.

方程右邊：方程左邊：方程左乘：三列前三行：θ5具有兩個(gè)解（4）解θ6找常數(shù)項(xiàng)，兩邊相等，解出θ6.

右邊：左邊：方程左乘：其中某行某列：θ2一個(gè)解可行，另一個(gè)偽根（5）討論θ1,θ2,θ3,－由px,py,pz,構(gòu)成θ4,θ5,θ6,－由n,o,a,θ1,θ2,θ3等構(gòu)成。代數(shù)法總結(jié)：（1）左乘逆陣，列方程，左右對(duì)應(yīng)元素相等，可解方程，依次遞推。（2）遞推一次，可解一個(gè)或多個(gè)變量。不需全推，方程可能已經(jīng)全部解出。（3）由實(shí)際判斷偽根三、逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)多解問題同一位置：兩個(gè)解。原因：機(jī)構(gòu)幾何關(guān)系多解。解反三角函數(shù)方程同樣證明多解性PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)多解RRPR機(jī)器人去除多解方法：A)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間限制：如解θ=40°（或40+180=220°）而關(guān)節(jié)角度范圍：±100°。應(yīng)選40.B)連續(xù)性：最接近上一時(shí)刻的解C)逐級(jí)剔除多余解。避免出現(xiàn)樹狀解結(jié)構(gòu)。多解用途：實(shí)現(xiàn)避障要求§3—6機(jī)器人的速度分析及速度控制前面－位移問題現(xiàn)在－速度問題末端夾持器速度：位置速度—線速度Vx,Vy,Vz（相對(duì)固定坐標(biāo)系度量）.

姿態(tài)速度—夾持器繞三個(gè)固定坐標(biāo)系軸角速度ωx,ωy,ωz.一、速度分析（正向運(yùn)動(dòng)學(xué)）廣義坐標(biāo)：移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)位置：Px,Py,Pz.姿態(tài)：可用方向余弦?；蛴美@三個(gè)固定坐標(biāo)軸角度度量表示通過運(yùn)算可以求出與方向余弦之間的關(guān)系。用廣義坐標(biāo)表示機(jī)器人末端夾持器運(yùn)動(dòng)方程:廣義坐標(biāo)矩陣通式：

P-操作空間。q-關(guān)節(jié)空間。正向運(yùn)動(dòng)學(xué)逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)

P(P1,P2,P3,P4,P5,P6)

P(P1,P2,P3,P4,P5,P6)

答案唯一多解性求導(dǎo):平移速度求導(dǎo):旋轉(zhuǎn)速度廣義坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)矩陣:雅可比矩陣廣義坐標(biāo)速度矩陣通式：例題