2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷

第16頁(yè)（共16頁(yè)）2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．（3分）實(shí)數(shù)9的相反數(shù)等于（A）A．﹣9 B．+9 C． D．﹣2．（3分）下列計(jì)算正確的是（D）A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b3．（3分）孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營(yíng)建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌．下面四個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（D）A． B． C． D．4．（3分）如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（A）A． B． C． D．5．（3分）如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)C、A分別在l1、l2上，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交l1于點(diǎn)B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（B）A．10° B．15° C．20° D．30°6．（3分）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來(lái)表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請(qǐng)你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（C）A．8 B．6 C．4 D．27．（3分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時(shí)，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（A）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞18．（3分）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件槽，其兩個(gè)底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的A、B、E三個(gè)接觸點(diǎn)，該球的大小就符合要求．圖（2）是過(guò)球心及A、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點(diǎn)E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（C）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【解析】如圖，連接OE，交AB于點(diǎn)F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于點(diǎn)E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴這種鐵球的直徑為20cm，故選：C．9．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（1，m），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時(shí)，y隨x的增大而減??；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（C）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解析】①由拋物線的開(kāi)口方向向下，則a＜0，故①正確；②∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故②錯(cuò)誤；③∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），∴1＝a?22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；④∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m），且開(kāi)口方向向下，∴x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，即④正確；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at2﹣2at﹣a+2a＝at2﹣2at+a＝a（t2﹣2t+1）＝a（t﹣1）2≤0，∴at2+bt≤a+b，則⑤正確.綜上，正確的共有4個(gè)．故選：C．10．（3分）如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC＝12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ＝60°．點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（C）A．24 B．24 C．12 D．12【解析】如圖，作DL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)A作PQ的垂線，過(guò)點(diǎn)D作PQ的平行線，它們交于點(diǎn)R，延長(zhǎng)DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，則當(dāng)BC在B′C′時(shí)，AB+CD最小，最小值為AT的長(zhǎng)，可得AK＝AE?sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案為：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）11．（3分）計(jì)算：＝2．12．（3分）為了落實(shí)“雙減”，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，陽(yáng)光學(xué)?；@球興趣小組開(kāi)展投籃比賽活動(dòng)．6名選手投中籃圈的個(gè)數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3．13．（3分）若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則+的值為．14．（3分）中國(guó)象棋文化歷史久遠(yuǎn)．某校開(kāi)展了以“縱橫之間有智慧攻防轉(zhuǎn)換有樂(lè)趣”為主題的中國(guó)象棋文化節(jié)．如圖所示是某次對(duì)弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標(biāo)系，使“帥”位于點(diǎn)（﹣1，﹣2），“馬”位于點(diǎn)（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（﹣3，1）．15．（3分）如圖，已知直線y＝2x與雙曲線y＝（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點(diǎn)A，若OA＝，則k的值為2．16．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長(zhǎng)為．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點(diǎn)F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長(zhǎng)線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周長(zhǎng)為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：﹣，其中a＝3．解：﹣＝＝＝a﹣1，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝3﹣1＝2．18．（8分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強(qiáng)國(guó)有我”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．李老師賽后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（單位：分，均為整數(shù)），按成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，并制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表（部分信息未給出）：（1）表中a＝20，C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為108°；（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競(jìng)賽，成績(jī)A等級(jí)的為優(yōu)秀，則估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有多少人？（3）若A等級(jí)15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機(jī)抽取2人參加市級(jí)決賽，請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．等級(jí)成績(jī)x/分人數(shù)A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018Dx＜707解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：15÷＝60（人），∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×＝108°，故答案為：20，108°；（2）600×＝150（人），答：估計(jì)該校成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的學(xué)生共有150人；（3）畫樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到T1，T2的結(jié)果有2種，∴恰好抽到T1，T2的概率為＝．19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求證：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）解：由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC＝＝＝6，∴S矩形ABCD＝BC?CD＝6×6＝36．20．（8分）亞洲第一、中國(guó)唯一的航空貨運(yùn)樞紐——鄂州花湖機(jī)場(chǎng)，于2022年3月19日完成首次全貨運(yùn)試飛，很多市民共同見(jiàn)證了這一歷史時(shí)刻．如圖，市民甲在C處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為45°，同時(shí)另一市民乙在斜坡CF上的D處看見(jiàn)飛機(jī)A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點(diǎn)E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時(shí)飛機(jī)的高度AB．（結(jié)果保留根號(hào)）解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，∴＝，∴GC＝3DG＝90（米），在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），∴兩位市民甲、乙之間的距離CD為30米；（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，則DG＝BH＝30米，DH＝BG，設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC?tan45°＝x（米），∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝60+30，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60+90是原方程的根，∴AB＝（60+90）米，∴此時(shí)飛機(jī)的高度AB為（60+90）米．21．（8分）在“看圖說(shuō)故事”活動(dòng)中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題情境：小明從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖所示：（1）小明家離體育場(chǎng)的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當(dāng)15≤x≤45時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)小明離家2km時(shí)，求他離開(kāi)家所用的時(shí)間．解：（1）小明家離體育場(chǎng)的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為＝km/min；故答案為：2.5，；（2）如圖，B（30，2.5），C（45，1.5），設(shè)BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴BC的解析式為：y＝﹣x+4.5，∴當(dāng)15≤x≤45時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y＝；（3）當(dāng)y＝2時(shí)，﹣x+4.5＝2，∴x＝，2＝12，∴當(dāng)小明離家2km時(shí)，他離開(kāi)家所用的時(shí)間為12min或min．22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠PCB＝∠OAC，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．解：（1）PC是⊙O的切線，理由：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCB＝∠OAC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）在Rt△ACB中，tanA＝，∵tanA＝，∴＝，∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC，∴＝＝＝，∵PC＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，∴OC＝OB＝OA＝3，∵BC∥OD，∴，即，∴CD＝6，∵OC⊥CD，∴＝×3×6＝9．23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2OF＝．例如：拋物線y＝x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣．其中MF＝MN，F(xiàn)H＝2OH＝1．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：（0，），y＝﹣．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3所示，已知過(guò)拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升華】（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出△HME的面積值．解：（1）∵a＝2，∴＝，故答案為：（0，），y＝﹣；（2）∵a＝，∴﹣＝﹣4，∴準(zhǔn)線為：y＝﹣4，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：2，∴＝2，∴x＝±4，∴P（4，2）或（﹣4，2）；（3）如圖，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG＝AF＝4，BK＝BF，F(xiàn)H＝，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴，，∴＝＝，，∴a＝；（4）設(shè)點(diǎn)M（m，m2），∵＝，∴＝2，∴＝2，∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴M（﹣2，1），∵E為線段HF的黃金分割點(diǎn)，∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，當(dāng)EH＝﹣1時(shí)，S△HME＝＝＝﹣1，當(dāng)EH＝3﹣時(shí)，S△HME＝3﹣，∴△HME的面積是﹣1或3﹣．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P滿足∠POB＝45°，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，當(dāng)PA′⊥OB時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出OG的最小值和此時(shí)線段FP掃過(guò)的面積．解：（1）如圖1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，∴AB＝＝＝8，∴B（8，6）；（2）如圖1中，過(guò)