2020年《高校自主招生考試》數(shù)學(xué)真題分類解析8平面幾何

高考精選專題之8、平面幾何一、選擇題。1．(2009

年復(fù)旦大學(xué)

)一個菱形邊長與其內(nèi)切圓的直徑之比為

k∶1(k>1),則這個菱形的一個等于A.arctan(k)

B.arctan

C.arctan

D.arctan2．(2009

年復(fù)旦大學(xué)

)用相同大小的一種正多邊形平鋪整個平面

(沒有重疊

),有幾種正多邊形能夠鋪滿整個平面而不留空隙

?A.2

種

B.3

種

C.4種

D.5

種3．(2012

年復(fù)旦大學(xué)

)設(shè)

S是平面上的一個六邊形

,不是凸的

,且它的隨意

3個極點都不共線

,稱一個以

S的某些極點為極點的多邊形為一個

S多邊形

,則下邊的結(jié)果必定不對的是A.每個

S四邊形都是凸四邊形

B.存在

S五邊形為凸五邊形C.每個S五邊形都不是凸五邊形D.起碼有兩個S四邊形是凸四邊形4．(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,過BC中點D作平行于AC的直線l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A點處的切線于P,若PE=3,ED=2,EF=3,則PA的長為5．(2010年清華大學(xué)等五校聯(lián)考)如圖,△ABC的兩條高線AD,BE交于H,其外接圓圓心為O,過O作OF垂直BC于F,OH與AF訂交于G,則△OFG與△GHA面積之比為高考精選A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26．(2012年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)已知銳角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,連結(jié)DE,以DE為直徑畫圓,與AC交于另一點F,則AF的長為A.8B.9C.10D.11二、解答題。7．(2009年光中科技大學(xué))由圖1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.則由圖2,高考精選可得一個近似于①的等式:.進(jìn)而推得一個重要的三角公式:.8．(2009年中國科技大學(xué))如下圖,已知D、E、F分別為BC、AC、AB的三平分點,而且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,試求S△PQR.9．(2012年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)如圖,AB是圓O的直徑,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圓的切線,BF交HD于G.高考精選求GH;連結(jié)FD,判斷FD與AB的關(guān)系,并加以證明.10．(2009年北京大學(xué))如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圓的半徑.11．(2010年北京大學(xué)等三校聯(lián)考)A,B為邊長為1的正五邊形邊上的點.證明:AB最長為.12．(2011年北京大學(xué)等十三校聯(lián)考)在△ABC中,a+b≥2c,求證:∠C≤60°.13．(2011年北京大學(xué)等十三校聯(lián)考)已知平行四邊形的此中兩條邊長分別是3和5,一條對角線長是6,求另一條對角線長.14．(2012年北京大學(xué)等十一校聯(lián)考)求證:若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相等,則它為正五邊形.高考精選A1A4A5A6都是凸四邊形,應(yīng)選項D正確;如圖③,選項C正確.4.B【分析】因為

AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又

PA

是☉O

的切線

,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因為∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因為

PE=3,ED=2,BE=AE,

所以高考精選BE=AE=,再由訂交弦定理可得GE·EF=BE2,故GE=2,得PG=1,最后由切割線定理可得PA2=PG·PF,知

PA=.應(yīng)選

B.5.A【分析】察看到△OFG

與△GHA

相像,只需找到這兩個三角形的邊長之比

,就能夠求出其面積之比

.因為

O點為△ABC

的外心,OF⊥BC,所以

F是

BC

邊的中點

,故

AF是

BC

邊上的中線

,由歐拉定理可知

OH和

AF的交點

G為△ABC

的重心,所以

FG∶GA=1∶2,又△OFG∽△

HAG,故兩三角形面積之比為

1∶4.選A.6.B【分析】方法一如圖,高考精選7.用面積切割的方法考慮各部分面積之和等于整個圖形的面積.四個三角形的面積的和為2×[(nsinβ)(ncosβ)]+2×[(msinα)(mcosα)],中間平行四邊形的面積為mnsin[π-(α+β)]=mnsin(α而+β整),個圖形的面積為(nsinβ+msin)(ncosβ+mcosα),2×[(nsinβ)(ncosβ)]+2×[(msinα)(mcosα)]+mnsin(α+β)=(nsinβ+msinα)(ncosβ+mcosα),整理上式有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.8.過E作BC的平行線,交AD于S.高考精選10.11.以正五邊形一條邊上的中點為原點,此邊所在的直線為x軸,成立如下圖的平面直角坐標(biāo)高考精選系.如圖1,當(dāng)A,B中有一點位于P點時,知另一點位于R1或許R2時有最大值|PR1|;當(dāng)有一點位于O點時,|AB|max=|OP|<|PR1|.(2)如圖2,當(dāng)A,B均不在y軸上時,知A,B必在y軸的異側(cè)方可能取到最大值(不然取A點關(guān)于y軸的對稱點A',有|A'B|>|AB|).不如設(shè)A位于線段OR2上(由正五邊形的中心對稱性,知這樣的假定是合理的),則使|AB|最大的B點必位于線段PQ上,且當(dāng)B從P向Q挪動時,|AB|先減小后增大,于是|AB|max=|AP|或|AQ|.關(guān)于線段PQ上隨意一點B,都有|BR2|≥|BA|于.是|AB|max=|R2P|=|R2Q|.由(1)(2)知|AB|max=|R2P|.下邊研究正五邊形對角線的長.如圖3,高考精選12.【分析】論證角的范圍常常是經(jīng)過先論證該角的某個三角函數(shù)值的范圍后,再聯(lián)合相應(yīng)函數(shù)的單一性進(jìn)行的.此題是在三角形中解決問題,而且已知了三角形的三條邊之間的關(guān)系,所以可考慮利用余弦定理先確立cosC的范圍,再依據(jù)余弦函數(shù)的單一性證得結(jié)論.13.因為平行四邊形中的各邊長度是已知的,所以可考慮利用三角形的余弦定理進(jìn)行求解.如圖,不如設(shè)AB=5,AD=3,BD=6.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD;在△ABC,AC222-2BA·BCcos∠ABC,因為AD=BC,AB=BA,中由余弦定理得=BA+BCABC+∠DAB=π,故兩式相加得AC2+BD2=2(AB2+AD2),于是62+AC2=2×(52+32),解得AC=4,即另一條對角線長為4.14.方法一如圖1所示,高考精選五邊形ABCDE為☉O內(nèi)接五邊形,延伸AE,CD,DC,AB,有兩交點G,H,連結(jié)AC.因為∠AED=∠EDC,所以∠GED=∠GDE,所以GE=GD.因為A,C,D,E在☉O上,所以∠CAG=∠