圓環(huán)形電流的磁場分布

圓環(huán)形電流的磁場分布福建省石獅市石光中學(xué)陳龍法摘要本文詳細(xì)推算出圓環(huán)形電流的磁場分布（包括磁標(biāo)勢、磁感應(yīng)強(qiáng)度），證明了圓電流平面上圓內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為r的單調(diào)增函數(shù)，且在圓心處磁感應(yīng)強(qiáng)度有極小值。設(shè)圓環(huán)形電流強(qiáng)度為I，圓半徑為R0，以圓心為原點(diǎn)，過圓心垂直于圓面的軸為極軸，建立球坐標(biāo)系。如圖所示。用半徑為R0的球面把整個(gè)空間分成兩個(gè)區(qū)域，在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，磁場的標(biāo)勢分別滿足拉普拉斯方程V2。mi=0 （r<RV2。mi=0 （r<R0）， V2。m2=0 （r>R0）由于具有軸對(duì)稱性，磁標(biāo)勢與方位角祖無關(guān)，所以滿足邊界條件。_10^有限，ml的通解可取為：。=ZmlnarnP(cos0)^n~P(cos6)rn+1nr>8，有限（r<R0）（r>R0）r=Rr=R0的球面上，。和。滿足邊值關(guān)系:ml m2ex?。2-V。1）=e?(V^-V。)=0解上列⑴⑵⑶⑷式得:bdP(cos0)a一 f￡bdP(cos0)a一 fn0 d6nZEPn(cos0)+￡naRn-1n0Rn-1PGos6)=0其中，面電流密度afn56—-l2)，I是圓環(huán)中的電流強(qiáng)度—。56—-l2)可按連帶勒讓德函數(shù)展開:雨*卜￡fP(cos耽￡曰I2)nn 2

又P(cosO)=—當(dāng)g, P，(0)=0, P,(0)=(-1>J2^n d。 2k 2E (k!力22k于是⑸⑹式可化為:aRn-in0nkP<(cos0)=-—￡naRn-iaRn-in0nk―—Rn+20 /(n+―—Rn+20 /(n+1》■R+rPn(cos0)+￡naRn-iP(cos。)=0于是得到系數(shù)a”和氣滿足的方程:aRn-aRn-1———n—=0---2n+\p，g)R2n(n+1/n0aR2n+1=0解⑻⑼式，當(dāng)n=2k時(shí)，有:—aR4k+1=0+———aR4k+1=02k+12k0這是關(guān)于。2k和?k的齊次方程組，其系數(shù)行列式—R4k+12kR4k+1*02k+10所以方程組只有零解，即a=b=0 (10)當(dāng)n=2k+1時(shí)，有：aR2k-—=(-1)k+號(hào)4^±^寒2k+10R2k+3 R(2k+2龍2k+1(k!/2b2k+1+竺±1a R4kb2k+12k+22k+10解得:a2k+1=(-1)k+1I <2k)R2k+1SI22k+10(IDb =("2k+2,Gk+出)(12)2k+1 0(2k+2)22k+1(k\)2(12)由(10)(11)(12)及⑴⑵式，得到球內(nèi)外的磁標(biāo)勢：0二￡(-1*1二J^kLr2k+1P (cos6)R2k+1(k\)222k+1 2k+1k0ml(r<R0)(13)(r>R0)(14)=￡(—1)k+1IR2k+2 P((r>R0)(14)0 (2k+2)k!力22k+1r2k+22k+1k于是球內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:B=wV0=Z(-1口『畢)仁TlGk+1)P(cos6\+dP.k,1(cos6)eTOC\o"1-5"\h\z1 0m1 0k R0磚31用L 2k+1 r d6 6(r<R0) (15)B=_^VOgE1)L %；? [RTkk+2)P《。小-dP2k+1(cos6)e2 0 m2 0R(2k+2貝\力22k+1(rJ 2k+1 r d6 'k 0(r>R0) (16)根據(jù)(15)(16)式，當(dāng)6=；時(shí)，利用P (0)=0,吧k+1%s6)=(-1)kGk+1)2k+1 d(cos6) (k!)222k便得到圓電流平面上圓內(nèi)和圓外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:其中B1(r)=虹其中B1(r)=虹X0kB2(r)=RX0a_ [(2k+1)Lk_(2k+1)24k(k\)42ke62k+3e6(r<R0)(r>R0)g= [(2k+1)1k_(2k+2)24k(k\)4(17)(18)從7式知，當(dāng)Q>0,故圓