球的體積與表面積(優(yōu)質(zhì)課)

1.3.2球的體積與外表積球的體積和表面積OS＝4R2

1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式分別是什么？圓柱、圓錐、圓臺(tái)的外表積公式分別是什么？復(fù)習(xí)回顧

面積體積圓柱S側(cè)＝

圓錐S側(cè)＝圓臺(tái)S側(cè)＝

2πrlπrlπ(r1＋r2)l柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積

面積體積直棱柱S側(cè)＝正棱錐S側(cè)＝正棱臺(tái)S側(cè)＝球S球面＝？V=？

1、球的體積公式半徑是R的球的體積是從球的構(gòu)造特征可知，球的大小是其半徑所確定的。OABCRR

半徑是的球的表面積：球的外表積是大圓面積的4倍R2、球的外表積

例1.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：(1)

球的體積等于圓柱體積的，(2)球的外表積等于圓柱的側(cè)面積。分析：由題可得：球內(nèi)切于圓柱作圓柱的軸截面〔如圖〕證明:(1)

設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R。.4.假設(shè)兩球體積之比是1:8，則其外表積之比是______.1.假設(shè)球的外表積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.2.假設(shè)球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則外表積變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.3.假設(shè)兩球外表積之比為1:2，則其體積之比是______.課堂練習(xí)5.將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的外表積是______.

例2、假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，求：⑴正方體的內(nèi)切球的體積正方體的內(nèi)切球直徑=正方體棱長(zhǎng)`

⑵正方體的外接球的體積對(duì)角面ABCDD1C1B1A1O球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球直徑。

⑶與正方體全部棱都相切的球的體積.⑴正方體的內(nèi)切球直徑＝⑵正方體的外接球直徑＝⑶與正方體全部棱相切的球直徑＝探究假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則a

鞏固練習(xí)1、甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，

丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為()

A.1:2:3 B. C. D.A∵球的外切正方體的棱長(zhǎng)等于球直徑：正方體的面對(duì)角線等于球的直徑∵球內(nèi)切于正方體的棱時(shí)球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線等于球直徑：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a

解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，由于長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。結(jié)論〔1〕長(zhǎng)方體的外接球的球心是體對(duì)角線的交點(diǎn)，半徑是體對(duì)角線的一半（2）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則對(duì)角線長(zhǎng)為2、球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2,求此球體的外表積和體積

思考：三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱相互垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，則該三棱錐的外接球的半徑等于____.

一個(gè)球與它的外切等邊圓錐〔圓錐的軸截面為正三角形〕的體積之比為〔〕(A)2∶5(B)1∶2(C)2∶3(D)4∶9鞏固練習(xí)OBAAB用一個(gè)平面α去截一個(gè)球O，截面是圓面O?球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則截面問(wèn)題截面問(wèn)題例3.一球的球面面積為256πcm2，過(guò)此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.

鞏固練習(xí)1.用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π,則球的體積為()【解析】選C.設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為所以截面圓的面積球的體積應(yīng)選C.C

2.過(guò)球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB=BC=CA=2,求球的外表積.解:設(shè)截面圓心為O”,連結(jié)OA,設(shè)球半徑為R.則:

例4、在球內(nèi)有相距1cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別是5πcm2和8πcm2，球心不在截面之間，求球的外表積.思路點(diǎn)撥：由截面面積可求出截面圓的半徑，兩截面相距1cm，可求出球的半徑，可先畫(huà)出圖形，再把問(wèn)題平面化.

思考題在球內(nèi)有相距2cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別是5πcm2和8πcm2，球心在截面之間，求球的外表積.

COASB例5、求棱長(zhǎng)為1的正四周體外接球的體積

DABC1

解法2：如圖,將正四面體放置在棱長(zhǎng)為的正方體中，則A1、C1、B、D是棱長(zhǎng)為1的正四面體的頂點(diǎn)。所以正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時(shí)球的直徑為求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑

探究我們可以利用正方體解決正四周體的外接球的的問(wèn)題。問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)正四周體的各棱都與一個(gè)球相切，那么是否也可以借助正方體來(lái)解決？即正四周體的外接球即為正方體的外接球。DABC

與正四周體各棱都相切的球即是正方體的內(nèi)切球結(jié)論:(1)正四周體的外接球即為正方體的外接球，(2)與正四周體各棱都相切的球即是正方體的內(nèi)切球，此兩球的球心都在正方體的中心，在正四周體的高的一個(gè)靠近面的四等分點(diǎn)上

例6、假設(shè)正四周體的棱長(zhǎng)都為6，內(nèi)有一球與四個(gè)面都相切，求球的外表積∽由解：作出過(guò)一條側(cè)棱PC和高PO的截面，則截面三角形PDC的邊PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圓與DP、DC相切，連結(jié)EO，設(shè)球半徑為r，

解法2：連結(jié)OA、OB、OC、OP，那么

探究我們可以利用正方體解決正四周體的外接球及和正四周體的各棱都相切的球的問(wèn)題。一個(gè)正四周體的各棱都與一個(gè)球相切，則該球就是正方體的內(nèi)切球即正四周體的外接球即為正方體的外接球。DABC

即正四周體的外接球即為正方體的外接

解題〔1〕正四周體的外接球即正方體的外接球，正四周體的內(nèi)切球，與正四周體各棱都相切的球即是正方體的內(nèi)切球，這三個(gè)球的球心都在正方體的中心，又是正四周體的高的一個(gè)靠近面的四等分點(diǎn)

與正四面體各棱都相切的球的半徑為

鞏固練習(xí)1、正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為,求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的外表積。解：過(guò)側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖),AE切圓O于F在正三棱錐中，BE是正△BCD的高，O1是正△BCD的中心，且AE為斜高設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OA=1－r1O1ABEOCDF

正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上，其該球的體積課外探究DACBSO

C

AS

DB