專題講座《高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》

專題講座《高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》

“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”——高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究（2020年6月12日）數(shù)學(xué)教學(xué)中的“取勢、明道、優(yōu)術(shù)”，意指教師要順應(yīng)數(shù)學(xué)教改的潮流；懂得數(shù)學(xué)育人的原則，掌握提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的規(guī)律；提高教育教學(xué)能力，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法。只有這樣，才能使自己的教師專業(yè)化發(fā)展不斷取得進步。一年一度的高考過后的熱門話題是成績，社會關(guān)注，媒體最愛，學(xué)校和教師心中總是百般滋味、愛恨交織?！耙钥紴殓R，可以明得失”，高考可以反饋、診斷和評價高三復(fù)習(xí)的成效與得失，作為一線教師更多地會從教學(xué)實踐中反思自己的教學(xué)行為和復(fù)習(xí)得失。一、“成也基礎(chǔ)，敗也基礎(chǔ)”是高考成敗的不二定律“成也基礎(chǔ)，敗也基礎(chǔ)”是每年高考過后最常聽到的一句話，雖然每年高考數(shù)學(xué)的主基調(diào)基本穩(wěn)定，不少考題類型見過、講過、做過，可是考試結(jié)果還是傷痕累累，花了大工夫但收效不盡如人意。以圓錐曲線綜合題為例，教學(xué)成效總是長期徘徊在較低水平上，成為高考數(shù)學(xué)丟分的大戶，其中的酸甜苦辣只有親歷者才深有體會。解析幾何涉及的基礎(chǔ)面大、技巧多、運算繁、交匯多，一個問題的理解與解決，往往生發(fā)于簡單，卻紛繁于變化，“一千個觀眾就有一千個哈姆雷特”，作圖、設(shè)點、列式求值、檢驗、作答，每一步看似都是“規(guī)定動作”，演變卻各有巧妙，得分也是天差地別。

例如（2018年高考全國卷理19）設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程。分析：第（1）問第（2）問，在拋物線中以焦點弦為直徑的圓與準線相切。該題第(1)問考查了直線與拋物線的位置關(guān)系和拋物線定義，第(2)問重點考查圓的幾何性質(zhì)和方程的思想。就試題難度而言，只能屬中低檔題，但是考后調(diào)查發(fā)現(xiàn)，考生普遍得分在5分到7分之間，可見得分并不高。失分原因何在?一是求直線斜率用的是弦長公式而不是拋物線定義，運算量增大導(dǎo)致結(jié)果錯誤，二是缺乏整體消元意識，導(dǎo)致二元二次方程組不會解或錯解。本質(zhì)上，失分的主要原因是拋物線的定義沒用上，以及運算能力不強。當下“基礎(chǔ)”問題常見的有以下病癥和糾結(jié):(1)任務(wù)焦慮癥(2)盲目追高癥(3)低質(zhì)重復(fù)癥（4）目標窄化癥(5)教學(xué)淺表化，等等。抓好基礎(chǔ)難就難在教學(xué)中各種因素和關(guān)系的平衡與理順?；A(chǔ)與提高、講評與練習(xí)、時間與空間、教材與教輔、培優(yōu)與補差等要素之間相互均衡與辯證轉(zhuǎn)化。二、“考什么，學(xué)什么，怎么學(xué)”是備考的關(guān)鍵命題“考什么，學(xué)什么，怎么學(xué)”是高考備考的最大命題，高三教學(xué)成效如何的一個重要因素在于是否能夠做到靶向考點、精準復(fù)習(xí)、科學(xué)備考。2020年1月，教育部考試中心發(fā)布《中國高考評價體系》和《中國高考評價體系說明》。如果不了解“一核四層四翼”的高考評價體系(一核:立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué);四層:核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識;四翼:基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性)，教學(xué)便難以立于高處，高瞻遠矚;如果沒有仔細閱讀課程標準、考綱等微小變化，便難以精準定位復(fù)習(xí)要求;如果沒有仔細研究近年的全國卷，便難以了解全國卷較之往年對閱讀能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力考査有新的視角，難以發(fā)現(xiàn)全國卷在解析幾何中很重視考査幾何作圖和幾何知識應(yīng)用的能力，很重視圓在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的“搭臺”作用，等等。3、“停下來，等一等靈魂”是治療教學(xué)病癥的良方益藥應(yīng)試教學(xué)拼的是經(jīng)驗的多寡和解法的“花拳繡腿”，解題雖是考試王道，但思想才是數(shù)學(xué)正道。沒有思想的深刻錘煉，缺乏數(shù)學(xué)理解，難有考試時的自如應(yīng)用和隨機應(yīng)變?！敖逃且豢脴鋼u動著一棵樹，一朵云推動著一朵云，一個靈魂喚起一個靈魂”，數(shù)學(xué)教學(xué)理當要用理性精神和獨立思考的品質(zhì)去滋養(yǎng)和推動學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，要用數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵和扎實的基礎(chǔ)知識為學(xué)生的未來發(fā)展做堅實的準備。2017年8月至2018年8月本人主持泉州市小課題《高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》，課題經(jīng)過一年多時間的研究與實踐，獲得初步成效。實踐成果方面有：（1）提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性。學(xué)生在這道圓錐曲線綜合題得分有所提高，重點提升了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)。（2）促進了課題組教師的專業(yè)成長。泉州市小課題《高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題解題障礙及策略研究》主持人：毓英中學(xué)曾慶國研究時間：2017年8月至2018年8月成果形式（17年至今）具體成果教學(xué)論文（8篇）論文《解析幾何點的坐標問題的處理策略》榮獲泉州市高中數(shù)學(xué)高效教學(xué)微策略論文評選三等獎。論文《常見臨界值問題歸類》發(fā)表于福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《橢圓中一類最大角問題的剖析》發(fā)表于福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《例談圓錐曲線中直線過定點問題的處理策略》福建中學(xué)數(shù)學(xué)；《圓錐曲線綜合題中“三角形面積問題”的破解策略》發(fā)表于考試周刊；《運用對稱思想破解圓錐曲線綜合題》發(fā)表于教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）；《巧用一元二次方程破解圓錐曲線綜合題》發(fā)表于教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）；《2014年高考福建卷理科第19題的改編與推廣》教學(xué)研究與探索（金井片區(qū)論文匯編）優(yōu)課《圓錐曲線中的三角形面積問題》獲2019年晉江市級優(yōu)課微課微課《圓錐曲線中的三角形面積問題》獲2018年晉江市高中畢業(yè)班教學(xué)關(guān)鍵問題“微課”評選二等獎作業(yè)設(shè)計評選《圓錐曲線與方程》獲2020年晉江市中學(xué)作業(yè)設(shè)計評選高中作品一等獎命題比賽獲2019—2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)學(xué)科命題、析題競賽評選三等獎（3）高三數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合題的解題障礙及策略研究解題策略就是解題過程的優(yōu)化，即策略優(yōu)化。1.策略優(yōu)化，意義何在所謂解題策略，就是解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，是為了實現(xiàn)解題目標而采取的方針，同時也是增強效果、提高效率的藝術(shù)。首先，解題策略的層次比較高，適用面比較廣，它以其全局性的指導(dǎo)意義而區(qū)別于具體的解題技巧;它是解題思想轉(zhuǎn)化為解題操作的橋梁，是求解具體問題的方針、策略。其次，良好的解題策略可優(yōu)化解題過程、節(jié)省探索時間、減少失敗次數(shù)，體現(xiàn)了選擇的機智和組合的藝術(shù)。再次，從學(xué)生解答高考圓錐曲線綜合題的情況看，相當多的毛病出現(xiàn)在運算上，究其原因，往往由于或方法選擇不當或運算不合理(策略意識差)，造成中途擱淺或結(jié)果出錯。老師在教學(xué)中也有這樣的感覺，學(xué)生解題很少講究策略，拿到題目就瞎撞亂碰，而運算時也是毫無目標意識，不講究運算是否合理，盲目性較大。因此，研究如何增強圓錐曲線綜合題的解題策略意識，提高運算的速度和準確度，就顯得很有必要和非常迫切。第四，對解題策略的掌握和運用，直接影響著一個人能力的提高與素質(zhì)的發(fā)展。所以這些年高考數(shù)學(xué)明確指出重點考查數(shù)學(xué)思想與方法(即解題策略)，這也是素質(zhì)教育的必然走向。2.解幾學(xué)習(xí)，障礙分析解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它涉及的知識深廣，方法靈活多變，是學(xué)習(xí)的重點和難點，也是歷年高考的熱點。學(xué)生普遍認為，解析幾何難，難在方法多樣，運算復(fù)雜，見了生畏。原因何在?(1)缺乏對向量語言的翻譯能力和應(yīng)用能力平面向量具有代數(shù)與幾何形式的“雙重身份”，并融數(shù)、形于一體，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，而以向量為背景的解析幾何題自然貼切，在近幾年高考中成為一個重要熱點。常見的命題形式有兩種，其一，解析幾何題題設(shè)條件通過向量的語言來描述，體現(xiàn)出向量知識在解析幾何中的滲透，在知識交匯點處命題;其二，向量作為一種工具，可以用向量方法來解決解析幾何問題，從高考答題情況來看，一部分學(xué)生不能從眾多的數(shù)學(xué)符號和式子中理出個頭緒來，無力解答問題。還有一部分學(xué)生過早地把向量符號坐標化，由于設(shè)“元”太多，而陷入復(fù)雜的運算，從而迷失了方向。如果解析幾何題的敘述方式以向量語言為主，這就要求解答者首先要把向量語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，再對幾何圖形作出整體的分析，然后通過坐標思想求解。(2)沒有掌握基本的運算方法，沒有形成基本的運算能力由于解析幾何題綜合性強、運算繁雜，學(xué)生極易產(chǎn)生畏懼心理，考試時采取放棄的策略，從而平時也不重視解析幾何的復(fù)習(xí)，導(dǎo)致放棄了一些在能力范圍內(nèi)的題，實在可惜。做不下去的關(guān)鍵原因是沒有抓住要領(lǐng)，死記硬背公式，不能靈活應(yīng)用知識解決實際問題。運算煩瑣也是因為不知道每個公式的適用場合，亂用公式人為導(dǎo)致運算復(fù)雜，最終不得不放棄。其實解析幾何中的公式并不多，只是必須記住該記的。主要公式如兩點之間的距離公式，弦長公式等等。(3)不會選擇合理的運算途徑，走不出運算量大的魔圈平幾滲透，數(shù)形結(jié)合。解析幾何首先是幾何問題，一味強調(diào)解析幾何中的代數(shù)運算有時會導(dǎo)致煩瑣的運算過程，必要時要綜合考慮幾何因素，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，?？傻玫胶喗荻鴥?yōu)美的解法。注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法。解析幾何中有一些基本問題，如兩直線垂直的證明（向量、斜率）、求弦的中點（點差法）、弦長的計算等等，這些問題的處理方法是熟知的。但有不少題目，所給的條件無法直接使用，或者使用起來比較困難，此時，可考慮對條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過程納入到已經(jīng)熟悉的軌道。巧設(shè)方程，方便計算。方程形式對運算也起著很重要的作用，如在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，過定點(b，0)的直線可設(shè)為x=my+b，這樣不僅可回避對直線斜率是否存在的分類討論，而且可以簡化運算、優(yōu)化解題過程、提高解題速度。另外，當遇到多條直線時，應(yīng)抓住具有共同特征的直線，根據(jù)其共同特征設(shè)直線方程，才能使運算簡單，問題得以解決?？朔季S定勢，提高解題能力。思維的定勢在運算中有積極的一面，也有消極的影響，當學(xué)生掌握了某一種知識(方法)往往習(xí)慣用這種知識(方法)去思考問題，可以使思維容易集中，使思維很快進入到問題的關(guān)鍵，但是，思維的定勢也會出現(xiàn)思維的情性和失去靈活性，會影響運算的速度，使運算過程繁冗不堪，并且更容易進入思維的死胡同。3.解除障礙，樹立信心為切實解除學(xué)習(xí)解析幾何的障礙。（1）狠抓審題能力的培養(yǎng)在遇到新穎的題型或條件時，學(xué)生往往被表象所迷惑，感到無從下手或不能找到恰當?shù)那腥朦c，導(dǎo)致思維短路、運算錯誤，而不能正確解答。在講解例題時教師不應(yīng)在例題出示以后急于給學(xué)生提示或點撥，應(yīng)給出充分的時間讓學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在充分思考、互動交流的基礎(chǔ)上自我發(fā)現(xiàn)恰當?shù)慕忸}思路。（2）培養(yǎng)解析幾何運算的信心，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣。解析幾何的運算量大，有的學(xué)生對提高運算能力缺乏足夠的重視，他們總是覺得懂就行，只要我考試時認真算就行;也有老師只著重解題方法和思路的引導(dǎo)，而忽視對運算過程的合理性、簡捷性的必要指導(dǎo)。這樣不僅影響了學(xué)生思維能力的發(fā)展，也必然影響教學(xué)質(zhì)量的提高。所以教學(xué)時要狠抓運算功，確立以解題訓(xùn)練為中心的課堂教學(xué)模式。引導(dǎo)學(xué)生在確立解題思路后踏踏實實地按步驟把題做出來。只有做出來才能發(fā)現(xiàn)自己的問題，也只有做出來才能樹立解題信心。（3）理性認識解題過程，讓教學(xué)賦有邏輯普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）第45頁指出：[學(xué)業(yè)要求]能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程:根據(jù)具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路;運用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋，解決幾何問題。平面解析幾何研究的對象是幾何圖形，研究方法是在平面直角坐標系的平臺上，用代數(shù)的知識和方法。例設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且橢圓上的點到右焦點距離的最小值為（1）

求橢圓的方程；（2）設(shè)為直線上不同于點的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明：點在以為直徑的圓內(nèi)。解：（1）依題意可得，且到

右焦點距離的最小值為可解得：橢圓方程為解：由（1）可得，設(shè)直線的斜率分別為，，則聯(lián)立與橢圓方程可得：

，消去可得：，即設(shè)，因為在直線上，所以，即為銳角，

為鈍角

在以為直徑的圓內(nèi)對幾何對象的幾何特征的分析可以結(jié)合它們的圖形，對幾何圖形研究的深度決定了代數(shù)化過程中運算量的大小。在圓錐曲線綜合性問題的教學(xué)中，要突出解析幾何的研究問題的一般方法，要能夠明確用代數(shù)方法解決幾何問題的幾個關(guān)鍵的步驟:要能夠根據(jù)問題的條件，讀出幾何對象的幾何特征。從兩個方面去分析:對于單個的幾何對象，要研究它的幾何性質(zhì)，對于不同的幾何對象，要關(guān)注它們之間的位置關(guān)系。在此基礎(chǔ)上作出圖形，直觀地表達出所分析出來的幾何對象的幾何特征。在明確了幾何對象的幾何特征的基礎(chǔ)上，要進行有效的、合理的代數(shù)化。包括幾何元素的代數(shù)化、位置關(guān)系的代數(shù)化、所要研究問題的目標的代數(shù)化等。進行代數(shù)運算。包括解所聯(lián)立的方程組、消去所引進的參數(shù)、運用函數(shù)的研究方法解決有關(guān)的最值問題，等等。根據(jù)經(jīng)過代數(shù)運算得到的代數(shù)結(jié)果，分析得出幾何的結(jié)論。例已知橢圓的離心率為，短軸長為。過點的直線與橢圓交于兩點，當直線的斜率為時，求的面積。當面積取得最大值時，求直線的方程。解：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。本問題中，由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線與橢圓相交相交于。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為。位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：由直線與橢圓相交于兩點。問題目標代數(shù)化：第三步，代數(shù)運算。由韋達定理得

原點到直線的距離解法一：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。本問題中，由橢圓的幾何特征，先求出橢圓方程。直線與橢圓相交相交于。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：。由直線與橢圓相交于兩點，解得問題目標代數(shù)化：第三步，代數(shù)運算。由韋達定理得

原點到直線的距離設(shè)，則當且僅當即時，此時所以，所求直線方程為解法二：第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。本問題中，直線與橢圓相交相交于。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：由已知得解得所以橢圓的方程為由題意知直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的方程為，則直線與軸的交點位置關(guān)系代數(shù)化：由，消去得關(guān)于的方程：.由直線與橢圓相交于兩點，解得問題目標代數(shù)化：方法方法第三步，代數(shù)運算。設(shè)，則當且僅當即時，此時所以，所求直線方程為如圖，已知直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，若拋物線上一動點從到運動時，求面積的最大值．解：方法一第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。直線與拋物線相交于兩點，拋物線上動點從到運動。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：設(shè)位置關(guān)系代數(shù)化：由，得問題目標代數(shù)化：第三步，代數(shù)運算。為定值。當點到直線的距離最大時，的面積最大．而又∴當時，當點坐標為時，面積的最大值為方法二第一步，作圖，根據(jù)條件，讀出幾何對象的幾何特征。

直線與拋物線相交于兩點，拋物線上動點從到運動。第二步，進行代數(shù)化。元素代數(shù)化：設(shè)依題意，知當拋物線在點處的切線與平行時，的面積最大。位置代數(shù)化：由，得問題目標代數(shù)化：第三步，代數(shù)運算。此時點到直線的距離為，故面積的最大值為小結(jié)：圓錐曲線中三角形面積表示的方法有（弦長公式求，點到直線距離求）；利用共同的底邊，拆分三角形為面積和（或差），?；癁?，“聯(lián)立方程韋達定理”是前提，最值問題?；癁楹瘮?shù)、不等式最值等。（4）通過變式教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)例（2017年高考全國1卷理科20題）已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.考生典型錯誤有以下幾個方面：(1)粗心審題：在第(1)問中，將四點都代入橢圓方程，并正確求出a,b,沒對P1的位置作出說明；(2)運算能力不過關(guān)：第(1)問解方程出錯；第(2)問中，直線與橢圓聯(lián)立方程出錯。(3)邏輯思維不嚴密：在第(2)問中，未討論直線l與x軸垂直的情形缺少分類討論的思想，只考慮用韋達定理，沒有考慮到判別式是否大于0這個前提。探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線，定點定值問題是揭示幾何運動變化中的不變量問題，展示了數(shù)學(xué)的美。下面進行變式探究。變式探究：已知圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知點,若直線不經(jīng)過點且與相交于兩點，以為直徑的圓恒過點，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由。（1）（2）解法一:①當直線斜率不存在時：若直線在軸右側(cè)，，不滿足相乘為-1，不合題意；若直線在軸左側(cè)，，也不滿足相乘為-1，不合題意。

②當直線斜率存在時，可設(shè)（）將代入得由題設(shè)可知，即設(shè)，，則,由于以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，,則，，即，將分別換成展開化簡得：.又將上面韋達定理所得的兩根和，積代入得：，，即將上式化簡整理得，滿足，則直線，所以過定點（2）解法二:①當直線與軸垂直時，不妨設(shè)，此時,則，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，,則，，，即...，又點在橢圓上，可得...，聯(lián)立可得,故.再結(jié)合對稱性可知，如果不經(jīng)過點的直線有過定點，那么定點一定在軸上，即只能是.②當直線不與軸垂直時，可設(shè)將代入得由題設(shè)可知，即,（*）設(shè)，，則,.由于以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，,則，，即，將分別換成展開化簡得：.又將上面韋達定理所得的兩根和，積代入得：，即將上式化簡整理得，所以，代入（*）式檢驗均滿足，其中(不合題意，舍去)，所以直線的方程為，則直線過定點（2）解法三:①當直線與軸垂直時，可知直線關(guān)于軸對稱，有，又由于以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，于是可求出兩斜率為-1和1，不妨設(shè)，此時,讓它和橢圓方程聯(lián)立，求出,故.再結(jié)合對稱性可知，如果不經(jīng)過點的直線有過定點，那么定點一定在軸上，即只能是.②當直線不與軸垂直時，可設(shè)下面同解法二。

例(2014年高考福建卷理19)已知雙曲線的兩條漸近線分別.（1）