2022年江西省吉安市永豐中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．3．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．4．已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點，則的最小值為（）A． B． C． D．5．設(shè)為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若，則()A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．88．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．9．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．710．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．12．體育教師指導(dǎo)4個學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動作，預(yù)備時，4個學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時，每次都讓3個學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_____________.14．設(shè)，則______.15．曲線在點處的切線方程是__________.16．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，點分別為橢圓的左、右頂點，直線交于另一點為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.19．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.21．（12分）如圖，⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點，為⊙上一點，，交于點．求證：~．22．（10分）已知函數(shù)．（1）解不等式：；（2）求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.2．D【解析】

先計算，然后將進(jìn)行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。3．C【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個，另一組3個，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.4．A【解析】

設(shè)直線為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：設(shè)直線為，則，，而滿足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．5．D【解析】

利用與的關(guān)系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．7．A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.8．C【解析】因為，所以的虛部是，故選C.9．B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題10．C【解析】所對應(yīng)的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.11．C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．12．B【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結(jié)合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔題.14．121【解析】

在所給的等式中令，,令，可得2個等式，再根據(jù)所得的2個等式即可解得所求.【詳解】令，得，令，得，兩式相加，得，所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題,難度較易.15．【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.16．【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由題意可知：由，求得點坐標(biāo)，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，由，由為銳角，則，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，即可求得直線斜率的取值范圍．【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)題意是等腰直角三角形，，設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，直線的斜率存在，可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，韋達(dá)定理，考查計算能力，屬于中檔題．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因為，所以.（Ⅱ）當(dāng)時，的周長有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因為，所以，所以當(dāng)即時，取到最大值2，所以的周長有最大值，最大值為3.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進(jìn)而證得平面.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中位線，∴，又為的中點，∴為梯形的中位線，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.另解：（法二）∵在長方體中，，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，，，，，.（1）設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，.∴，又，∵，，又平面，平面.（2）設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，.∴.同理可算得平面的一個法向量為∴，又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角，故二面角的余弦值為.【點睛】本小題考查線面的位置關(guān)系，空間向量與線面角，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.20．（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.將上面四式相加，可得，即.【點睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..21．證明見解析【解析】

根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明：∵，所以，又因為，所以．在與中，，，故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、