數(shù)字信號處理-第3章

數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換1第三章離散傅立葉變換 由于數(shù)字信號處理器只能處理離散信號，所以還需要將離散時間序列進行頻域離散化即：要找到依賴于離散時間變量到依賴于離散頻率變量之間的一種映射關系。 這就是DFT的作用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換2連續(xù)非周期－非周期連續(xù)連續(xù)周期－非周期離散離散非周期－周期連續(xù)離散周期－周期離散適合數(shù)字信號處理器時域頻域結論 總之，一個域的離散就必然造成另一個域的周期延拓，而一個域的非周期與另一個域的連續(xù)是相對應的。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換33.1離散傅里葉變換的定義1、DFT的定義設x（n）是一個長度為M的有限長序列，則定義x（n）的N點傅立葉變換式中，，N稱為DFT變換區(qū)間長度，說明：（1）x(n)是有限長序列，且長度為M。與傅立葉變換和z變換不同，n僅定義在[0,M-1]的整數(shù)區(qū)間上；（2）x(n)的離散傅立葉變換的結果與變換區(qū)間長度有關。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換4DFT的矩陣方程表示3.1離散傅里葉變換的定義數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換5傅立葉逆變換為

3.1離散傅里葉變換的定義數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換62、DFT和Z變換的關系3.1離散傅里葉變換的定義結論：序列x（n）的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣；或者說，X(k)為x(n)的傅立葉變換在區(qū)間[0，2]上的N點等間隔采樣。這就是DFT的物理意義。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換73.1離散傅里葉變換的定義由此可見，DFT的變換區(qū)間長度N不同，表示對在[0，2]區(qū)間上的采樣間隔和采樣點數(shù)不同，所以DFT的變換結果不同。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換83.1離散傅里葉變換的定義3、DFT的隱含周期性由于所以X(k)滿足：同理可證明，x(n+mN)=x(n)數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換93.1離散傅里葉變換的定義例：是周期為N=8的序列，求n=11和n=-2對N的余數(shù)。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換104、DFT與ZT、FT、DFS的關系DFT與ZT和FT之間的關系:DFT與DFS之間的關系:3.1離散傅里葉變換的定義數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換11結論

采樣定律告訴我們，一個頻帶有限的信號，可以對它進行時域采樣而不丟失任何信息；DFT變換進一步告訴我們，對于時間有限的信號（有限長序列），也可以對其進行頻域采樣，而不丟失任何信息。由于時域上的采樣，使我們能夠采用數(shù)字技術來處理這些時域上的信號（序列），而DFT的理論不僅在時域，而且在頻域也離散化，因此使得在頻域采用數(shù)字技術處理成為可能。DFT就是頻域數(shù)字處理中最有成效的一例。3.1離散傅里葉變換的定義數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換12性質1

線性

DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k)

其中，a,b為任意常數(shù)3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換13性質

對稱定理

1N3.2離散傅里葉變換的基本性質X(n)x(-k) 時間序列具有頻譜序列形狀，則DFT是原時間序列的倒置形狀數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換14性質

反轉定理

x(n)X(k)

x(-n)X(-k)

3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換15性質

序列總和

序列初始值3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換16性質2

循環(huán)（圓周）移位

有限長序列x(n)的循環(huán)移位定義為：

f(n)=x((n+m))NRN(n)其中

x((n+m))NRN(n)表示對移位的周期序列x((n+m))N取主值序列所以f(n)仍然是一個長度為N的有限長序列。f(n)實際上可看作序列x(n)排列在一個N等分圓周上，并向左旋轉m位。3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換17

3.2離散傅里葉變換的基本性質序列循環(huán)移位后的DFT為

F(k)=DFT[f(n)]=x(k)頻域有限長序列X(k)的循環(huán)移位，有如下反變換特性

IDFT[X((k+l))NRN(k)]=x(n)數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換18性質3

循環(huán)（圓周）卷積 若F(k)=X(k)Y(k) 則：記做頻域循環(huán)卷積F(K)3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換19注意

循環(huán)卷積與線性卷積關系（1）離散頻域的有限長序列卷積（循環(huán)卷積）與連續(xù)頻域的卷積（線性卷積）有很大的區(qū)別，這是由于FT在-∞到∞討論問題，而DFT僅能在[0,N-1]區(qū)間上討論問題，更重要的是有限長序列的卷積本質上是周期序列的線性卷積；（2）手工計算圓周卷積的法則依然是”翻、移、乘、加”，只是序列的翻轉是在圓周上進行的；（3）有限長序列的圓周卷積與線性卷積相等的條件是L≥N+M-1

3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換20

復共軛序列的DFT設x*(n)為x(n)的復共軛序列，則DFT[x*(n)]=X*(N-k)證：DFT[x*(n)]0≤k≤N-1

性質4由于因此，DFT[x*(n)]數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換213.2離散傅里葉變換的基本性質性質4DFT[x*((-n))NRN(n)]=X*(k)請自行證明數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換223.2離散傅里葉變換的基本性質性質5DFT的共軛對稱性數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換233.2離散傅里葉變換的基本性質有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換24對于任何有限長序列x(n)，均可表示為3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換253.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換263.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換273.2離散傅里葉變換的基本性質設x(n)為長度為N的實序列，且X(k)=DFT[x(n)]，則（1）X(k)共軛對稱，即（2）（3）若x(n)=－x(N-n),則X(K)純虛奇對稱，即X(K)＝－X(N-K)數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換28根據(jù)DFT的共軛對稱性，通過計算一個N點DFT，可以得到兩個不同實序列的N點DFT。例：設x1(n)和x2(n)均為實序列，求其N點DFTX1(k)和X2(k),要求只用一次N點DFT。注意3.2離散傅里葉變換的基本性質數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換293.3頻率域采樣時域頻域時域采樣定理頻域采樣定理？數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換303.3頻率域采樣x(n)?數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換313.3頻率域采樣數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換323.3頻率域采樣X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的IDFT，為原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。頻率采樣時域周期延拓結論數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換333.3頻率域采樣頻域采樣定理若序列x(n)的長度為M，則只有當頻域采樣點數(shù)時，才有即可由頻域采樣X(k)恢復原序列x(n)，否則會產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換34例：解：3.3頻率域采樣數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換35例：解：是x(n)以6為周期的周期延拓序列后的主值序列3.3頻率域采樣數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換363.3頻率域采樣頻域內(nèi)插公式內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換373.3頻率域采樣數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換383.4.1用DFT計算線性卷積1、用DFT計算循環(huán)卷積3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換39由此可見，循環(huán)卷積既可以直接在時域計算，也可按照下圖在頻域計算。鑒于DFT具有快速算法FFT，當N很大時，在頻域的計算速度要快得多，因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換402、有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積實際問題的大多數(shù)是求解線性卷積，如信號x（n）通過系統(tǒng)h（n），其輸出就是線性卷積y（n）=x（n）*h（n）。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運算速度上有很大的優(yōu)越性。有限長序列x（n）與h（n）的線性卷積，在什么條件下能用循環(huán)卷積代替而不產(chǎn)生失真？

3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換41有限長序列的線性卷積：假定x（n）y（n）為有限長序列，長度為N，M，它們的線性卷積f（n）=x（n）*y（n）也應是有限長序列因x（m）的非零區(qū)間：0≤m≤N-1，y(n-m)的非零區(qū)間：0≤n-m≤M-1，這兩個不等式相加，得：0≤n≤N+M-2，f（n）是一個長度為N+M-1的有限長序列3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換42循環(huán)卷積：

重新構造兩個有限長序列x（n）、y（n），長度均為L>max{N,M}，序列x（n）只有前N個是非零值，后L-N個為補充的零值；序列y（n）只有前M個是非零值，后L-M個為補充的零值。

線性卷積記為：循環(huán)卷積為：3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換43又有所以可得：3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換44其中就是線性卷積，也就是說，x（n）、y（n）的循環(huán)卷積，是x（n）、y（n）線性卷積的周期延拓的主值序列，周期為L。根據(jù)前面的分析，具有N+M-1個非零序列值，因此，如果循環(huán)卷積的長度L<N+M-1，那么周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象。只有L≥N+M-1時，才不會產(chǎn)生交疊，這時的周期延拓中每一個周期L內(nèi)，前N+M-1個序列值是的全部非零序列值，而剩下的L—（N+M-1）點的序列則是補充的零值。循環(huán)卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是：

L≥N+M-1

3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換45用DFT計算線性卷積3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換463、長序列的DFT實際上，經(jīng)常遇到兩個序列的長度相差很大的情況，例如M>>N若選取L=N+M-1，以L為運算區(qū)間，并用上述循環(huán)卷積計算線性卷積，則必須對短序列補充很多零點，長序列必須全部輸入后才能進行快速計算。因此要求存儲容量，運算時間長，并使處理延時很大，很難實時處理。況且在某些應用場合，序列長度不定或者認為是無限長，比如語音信號和地震信號等。在要求實時處理時，直接套用上述方法是不行的。3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換47重疊相加法的步驟：設x(n)為無限長序列，h(n)長為N1）將無限長序列進行分段，每一段長為M。2）對每一段進行長為L=N+M-1的卷積。3）將相鄰兩段卷積結果相重疊的部分相加，既可得到完整的卷積結果序列。3.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換48數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換49數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換50數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換51數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換52重疊保留法依據(jù)的原理：L和P長序列，用N=L點DFT做卷積，前P-1點是混迭，后L-P+1點是正確的線性卷積結果，為使各段結果無縫拼接成正確的輸出序列，輸入各段重疊數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換53數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換54利用DFT計算連續(xù)信號的頻譜采樣截短DFT3.4.2利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析過程:(1)采樣－－（2）加窗－－（3）DFT（或需補零）－－（4）插值得到連續(xù)頻譜－－（5）橫坐標轉換數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換55

DFT對xa(t)進行頻譜分析傅里葉變換理論

信號持續(xù)時間有限長，其頻譜是無限寬。信號的頻譜有限長，在時域中，該信號的持續(xù)時間無限長。上述兩種情況，在時域或頻域中進行采樣，得到的序列都是無限長序列，不滿足DFT的變換條件。采用的處理方法：在頻域中用濾波器濾除高于折疊頻率的高頻分量，在時域中則是截取有限點進行DFT。結論：用DFT對連續(xù)信號進行譜分析是一種近似的分析，近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截取的長度有關。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換563.4DFT的應用舉例設連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時間為Tp，最高頻率為fc，則xa(t)的傅里葉變換為：Tp數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換573.4DFT的應用舉例對xa(t)以采樣頻率fs=1/T≥2fc進行采樣得：

x(n)=Xa(nT)。設共采樣N點，并對Xa(jf)作零階近似(t=nT,dt=T)得:對x(jf)在區(qū)間[0,fs]上等間隔采樣N點，采樣間隔為F，參數(shù)fs

、Tp、N和F滿足如下關系式：令f=KF，頻域N點采樣得:令X(jkF)=Xa(k)，xa(nT)=x(n)，代入得函數(shù)值與區(qū)間長度T的乘積和F=fs/N=1/NT=1/Tp,FT=1/N數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換583.4DFT的應用舉例結論:(1)連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣，并進行DFT再乘以T的近似方法得到。(2)連續(xù)信號的時域采樣信號可以通過對其頻譜函數(shù)進行采樣，并進行IDFT再乘以1/T的近似方法得到。誤差現(xiàn)象：(1)分析的結果看不到xa(jf)的全部特性，只能看到N個離散采樣點的譜特性，這就是柵欄效應。(2)如果持續(xù)時間無限長，分析時要進行截斷處理，這樣會產(chǎn)生頻譜混疊和泄漏現(xiàn)象，使譜分析產(chǎn)生誤差。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換593.4DFT的應用舉例【例】理想低通濾波器的單位沖激響應ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖所示。用DFT來分析ha(t)的頻率響應特性。由于ha(t)的持續(xù)時間為無窮長，所以要截取一段Tp，假設Tp=8s，采樣間隔T=0.25s，采樣點數(shù)N=Tp/T=32。頻域采樣間隔F=1/NT=0.125Hz。則H(k)=T·DFT[h(n)],0≤k≤31，其中：h(n)=ha(nT)R32(n)整個頻響有波動，高頻部分誤差較大數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換603.4DFT的應用舉例對連續(xù)信號進行譜分析主要關心的兩個問題：譜分析的范圍fc：受采樣頻率fs的限制，fc<fs/

2，確保不產(chǎn)生頻譜混疊失真。頻率分辨率：用采樣間隔F來描述，表示譜分析中能夠分辯兩個頻譜分量的最小間隔。F越小，頻譜分辨率越高。用DFT對連續(xù)信號進行譜分析的參數(shù)選擇原則：采樣頻率fs：fs>2fc

譜分辯率:F=fs/

N采樣點數(shù)N的選擇：N2fc/F信號觀察時間Tp的選擇：Tp1/F提高F:(1)如保持N不變，必須fs降低，導致譜分析范圍減小；(2)fs不變，增加采樣點數(shù)N，即增加Tp數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換613.4DFT的應用舉例16點DFT相當于在序列后補零數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換62例：對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點數(shù)和最小的記錄時間是多少?解：根據(jù)信號觀察時間TP的選擇原則：TP≥1/F=1/10=0.1s

因為要求:fs≥2fc，最小的采樣頻率為2fc，所以:

頻率分辨率提高一倍，即：F=5Hz

TPmin=1/F

=1/5=0.2sTmax=1/2fc

=Nmin=2fc/

FNmin=2fc/

F觀察時間增加一倍，采樣點數(shù)增加了一倍數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換632.用DFT對序列進行譜分析

單位圓上的Z變換就是序列傅里葉變換。

X(ejw)是w的連續(xù)周期函數(shù)，對序列x(n)進行N點DFT，得到X(k)，X(k)是在區(qū)間[0,2]上的N點等間隔采樣。序列x(n)的傅里葉變換可利用DFT來計算。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換64(2)對周期序列的頻譜分析設序列

(n)=x(n+rN)是周期為N的周期序列，則其傅立葉變換為：周期序列的頻譜結構可以用離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示

取的主值序列進行N點DFT，得到周期序列的頻譜結構也可以用其主值序列的離散傅里葉變換X(k)來表示(分析)x~~x

(n)數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換65令：n=n’+rN，r=0,1,…m-1，n’=0,1…N-1,則

x~xM(n)=(n)RM(n)即：M=mN，m為整數(shù)截取序列的長度M為(n)的整數(shù)個周期x~設：n=n’+rN數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換663.4DFT的應用舉例周期序列的頻譜結構也可以用xM(k)表示分析:

(1)只有在k=rm時，XM(rm)=m，表示(n)的r次諧波譜線，幅度擴大了m倍，在其它k值，XM(k)＝0。

(2)X(r)與XM(rm)對應點的頻率相等。

(3)只要截取(n)整數(shù)個周期進行DFT，就可得到它的頻譜結構，達到譜分析的目的。k/m=整數(shù)k/m≠整數(shù)X(r)~x~x~數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換673.4DFT的應用舉例x(n)=cosn/416點相當于取周期序列的兩個周期進行DFT數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換683.4DFT的應用舉例若事先不知道的周期，怎樣進行頻譜分析：先截取x

(n)M點，則求xM

(n)的DFT：

xM(n)=x

(n)RM(n)，

XM(k)=DFT[xM(n)]，0kM-1;

再截取x

(n)2M點，則求x2M(n)的DFT：

x2M(n)=x

(n)R2M(n)，

X2M(k)=DFT[x2M(n)]，0k2M-1;將2次截取序列的頻譜進行分析，是否滿足誤差要求，若不滿足，應加大截取窗長度（增加M值），再將結果進行分析。~~~~x(n)~數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換693.4DFT的應用舉例3．用DFT進行譜分析的誤差問題

DFT(實際中用FFT計算)可用來對連續(xù)信號和數(shù)字信號進行譜分析。在實際分析過程中，要對連續(xù)信號采樣和截斷，由此可能產(chǎn)生誤差分析。(1)頻譜混迭現(xiàn)象：

原因:不滿足時域采樣定理

避免措施：采樣頻率fs2fc，以避免信號在w=處附近的混迭。

具體方法是：采樣時滿足采樣定理，采樣前對信號進行預濾波，濾去信號中頻率高于fs/2的頻率分量。數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換703.4DFT的應用舉例(2)柵欄效應：

現(xiàn)象：N點DFT是在區(qū)間[0,2]上的N點等間隔采樣，采樣點之間的頻譜函數(shù)值是不知道的，就好像從N+1個柵欄縫隙中觀看信號的頻譜特性，得到的是N個縫隙中看到的頻譜函數(shù)值，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應。

原因：對信號的頻譜進行有限點采樣。

后果：柵欄效應可能漏掉(擋住)大的頻譜分量

減少柵欄效應的措施：對原序列補0，增大N，以增加采樣點；數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換713.4DFT的應用數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換723.4DFT的應用舉例(3)截斷效應：原因:

對序列x(n)截斷所引起的。無限長序列x(n)截短成有限長序列y(n)，即y(n)=x(n)RN(n)，則

Y(ejw)=FT[y(n)]=1/(2)X(ejw)*RN(ejw)=1/(2)X(ej)*RN(ej(w-))d，其中X(ejw)=FT[x(n)]RN(ejw)=FT[RN(n)]=e-jw(N-1)/2sin(wN/2)sin(w/2)=RN(w)ej(w)RN(w)w02NN2N矩形窗函數(shù)幅度譜主瓣旁瓣數(shù)字信號處理－離散傅立葉變換73例：x(n)=cos(w0n)，w0=/4，用DFT分析其頻譜特性。解：序列的幅度譜X(ejw)=

[(w-/4-2l)+(w+/4-2l)]

加矩形窗截斷后,Y(ejw)=1/2X(ejw)*RN(ejw)，定性圖如下可見，截斷后的頻譜Y(ejw)與原序列頻譜X(ejw)存在差別表現(xiàn)為頻譜泄漏：在上圖中，原譜線是離散譜線，而截短后，原來的離散譜線向附近展寬，常稱這種展寬為泄漏。使譜分辨率F降低。泄漏原因是截取的窗函