數(shù)電 第1章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

學(xué)時(shí)：60+12

使用教材：《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》第一版燕山大學(xué)常丹華、張寶榮等編Email:gaomeijing@126.com主講：信院光電子系高美靜電路是步入電類天堂的第一步則數(shù)字是在電類天堂自由飛翔的必修課學(xué)習(xí)方法建議掌握數(shù)學(xué)工具；（邏輯代數(shù)）學(xué)好單元電路；（門電路）熟練分析、設(shè)計(jì)方法；(組合和時(shí)序邏輯電路）了解典型電路功能；《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》清華大學(xué)閻石主編(第五版)《電子技術(shù)基礎(chǔ)（數(shù)字部分）》康華光主編重視實(shí)驗(yàn)課。作業(yè)答疑時(shí)間：待定答疑地點(diǎn)：

待定主要參考書課程安排/(電子工程師）/(中國單片機(jī)資訊網(wǎng))http:///(電子之家）http:///(單片機(jī)）

/HOME.HTM（電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)）充分利用網(wǎng)絡(luò)資源1.1數(shù)字信號與數(shù)字電路1.2數(shù)制和碼制1.3邏輯代數(shù)

1.4邏輯函數(shù)及其表示方法

1.5邏輯函數(shù)的化簡

1.6*EDA技術(shù)概述

第1章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)習(xí)題與思考題1.1

數(shù)字信號與數(shù)字電路數(shù)字信號兩種狀態(tài)用高電平和低電平表示（1和0）,高、低電平指一個(gè)電壓范圍，如2.4V～5V，0～0.8V1.1.1

數(shù)字信號模擬信號：在時(shí)間和數(shù)值上均連續(xù)變化的電信號，

如正弦信號。處理模擬信號的電路為模擬電路。處理數(shù)字信號的電路為數(shù)字電路。數(shù)字信號：在時(shí)間和數(shù)值上均離散的電信號，如矩形信號。數(shù)字電路的輸入、輸出均是數(shù)字信號。前進(jìn)方向舉例說明：接收器輸出信號只要可靠區(qū)分高低電平，即可記錄工件的個(gè)數(shù)。某生產(chǎn)線記錄工件個(gè)數(shù)。1.1.2

數(shù)字電路1.數(shù)字電路特點(diǎn)：（1）二極管、三極管均工作在開關(guān)狀態(tài)；（2）基本單元電路只有0和1兩個(gè)狀態(tài)，單元電路簡單；（3）分析和設(shè)計(jì)應(yīng)用的主要工具是邏輯代數(shù)；（4）可形成大規(guī)模集成、速度快、功耗低、可編程。工業(yè)流水線計(jì)數(shù)系統(tǒng)3.數(shù)字電路分類：集成度分類SSIMSILSIVLSI所用器件分類雙極型單極型邏輯功能分類組合邏輯電路時(shí)序邏輯電路2.數(shù)字電路的應(yīng)用（1）數(shù)字計(jì)算機(jī)；（2）數(shù)控裝置；（3）數(shù)字儀表；（4）數(shù)字通信；（5）其它：電子門鈴、數(shù)碼相機(jī)等。SSIC小規(guī)模集成電路(SmallScaleIntegratedcircuits)MSIC中規(guī)模集成電路(MediumScaleIntegratedcircuits)LSIC大規(guī)模集成電路(LargeScaleIntegratedcircuits)VLSIC超大規(guī)模集成電路(VeryLargeScaleIntegratedcircuits)ULSIC特大規(guī)模集成電路(UltraLargeScaleIntegratedcircuits)GSIC巨大規(guī)模集成電路也被稱作極大規(guī)模集成電路或超特大規(guī)模集成電路(GigaScaleIntegration)。集成電路按用途可分為電視機(jī)用集成電路、音響用集成電路、影碟機(jī)用集成電路、錄像機(jī)用集成電路、電腦（微機(jī)）用集成電路、電子琴用集成電路、通信用集成電路、照相機(jī)用集成電路、遙控集成電路、語言集成電路、報(bào)警器用集成電路及各種專用集成電路。集成電路的“蛋殼”模型Paul.R.Gray：該模型把這三者整體上視為一個(gè)雞蛋，而把數(shù)字電路視為蛋黃，模擬電路視為蛋殼，A/D、D/A電路視為蛋清，三者既不相同，又是統(tǒng)一的有機(jī)整體。1.2

數(shù)制和碼制1.2.1幾種常用的數(shù)制十進(jìn)制137.5=1102+3101+7100+510-1

2.二進(jìn)制3.八進(jìn)制4.任意進(jìn)制N為計(jì)數(shù)的基數(shù)；ki為第i位的系數(shù)；N

i為第i位的權(quán)值。表1-1不同進(jìn)制數(shù)的對照表十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制數(shù)0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F1.2.2

不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1.二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)2.其他進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換十進(jìn)制二進(jìn)制十六進(jìn)制八進(jìn)制1.2.3

幾種常見的碼制將一定位數(shù)的數(shù)碼按一定規(guī)律排列起來表示某特定對象，這些數(shù)碼稱為代碼。形成代碼所遵循規(guī)則稱為碼制。用4位二進(jìn)制數(shù)碼表示0-9這十個(gè)狀態(tài)（字符）稱為二—十進(jìn)碼（BCD碼）。按不同的編碼規(guī)則可以得到不同的BCD碼1．二—十進(jìn)制代碼（BinaryCodeDecimal碼，BCD碼）表1-2幾種常用的BCD碼十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼5211碼0000000000000100010001000120010001001003001100110101401000100011150101101110006011011001001701111101110081000111011019100111111111余3碼00110100010101100111100010011010101111002．格雷碼表1-3自然二進(jìn)制碼與格雷碼的對比編碼順序自然二進(jìn)制碼格雷碼012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000也稱循環(huán)碼采用這種代碼可有效減小出錯(cuò)概率。無權(quán)碼喬治·布爾是皮匠的兒子，由于家境貧寒，布爾不得不在協(xié)助養(yǎng)家的同時(shí)為自己能受教育而奮斗，不管怎么說，他成了19世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家之一。1.3

邏輯代數(shù)

1849年英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾(GeorgeBoole)首先提出，用來描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法——稱為布爾代數(shù)。

布爾代數(shù)被廣泛用于開關(guān)電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)，所以也稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，處理二值邏輯問題。

邏輯代數(shù)中用字母表示變量——邏輯變量，每個(gè)邏輯變量的取值只有兩種可能——0和1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個(gè)常數(shù)。0和1只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。本章重點(diǎn)：用邏輯代數(shù)公式化簡邏輯函數(shù)；用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)。作業(yè)：題1.4；題1.5；題1.7；題1.10；題1.15；題1.19；題

邏輯代數(shù)中3種基本運(yùn)算三種基本運(yùn)算是：與、或、非（反）1.與運(yùn)算與邏輯關(guān)系：決定事件的全部條件都

滿足時(shí)，事件才會發(fā)生。Y=A·B=AB=AandB=A&B邏輯賦值/狀態(tài)賦值用1表示開關(guān)接通用1表示燈亮ABY000110110001真值表（truetable）:也稱為邏輯相乘。邏輯函數(shù)式：邏輯符號：常量之間的與運(yùn)算只有輸入全為1時(shí)，輸出才為12.或運(yùn)算或邏輯關(guān)系：決定事件的全部條件只要有

一個(gè)滿足時(shí)，事件就會發(fā)生。ABY000011101111Y=A+B=AorB也稱為邏輯相加。常量之間的或運(yùn)算輸入有一個(gè)為1時(shí)，輸出就為13.非邏輯非邏輯關(guān)系：決定事件的條件滿足時(shí)，

事件反而不發(fā)生。AY0110也稱為邏輯求反。常量的非運(yùn)算用兩個(gè)以上基本運(yùn)算構(gòu)成的邏輯運(yùn)算。包括與非、或非、與或非、異或和同或運(yùn)算。和三個(gè)基本運(yùn)算一樣，它們都有集成門電路與之對應(yīng)。1.3.2一些常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算Y=(AB)'Y=(A+B)'ABCDY00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110與或非邏輯:A與B等于1，或者C與D等于1，Y等于0。異或邏輯:互為非邏輯關(guān)系(A?B)'=A⊕B(A⊕B)'=A?BY=A⊕B同或邏輯:Y=A?B=A'B+AB'

=AB+A'B'驗(yàn)證集成電路50發(fā)展

幾根零亂的電線將五個(gè)電子元件連接在一起，就形成了歷史上第一個(gè)集成電路。雖然它看起來并不美觀，但事實(shí)證明，其工作效能要比使用離散的部件要高得多。歷史上第一個(gè)集成電路出自杰克-基爾比之手。當(dāng)時(shí)，晶體管的發(fā)明彌補(bǔ)了電子管的不足，但工程師們很快又遇到了新的麻煩。為了制作和使用電子電路，工程師不得不親自手工組裝和連接各種分立元件，如晶體管、二極管、電容器等。很明顯，這種做法是不切實(shí)際的。于是，基爾比提出了集成電路的設(shè)計(jì)方案。

1958年，美國德州儀器公司展示了全球第一塊集成電路板

模擬集成電路50發(fā)展1958年，美國德州儀器公司展示了全球第一塊集成電路板

半導(dǎo)體設(shè)備與鉛結(jié)構(gòu)模型

1960年，仙童公司制造出第一塊可以實(shí)際使用的單片集成電路。諾伊斯的方案最終成為集成電路大規(guī)模生產(chǎn)中的實(shí)用技術(shù)。基爾比和諾伊斯都被授予“美國國家科學(xué)獎?wù)隆薄Ｋ麄儽还J(rèn)為集成電路共同發(fā)明者。

雖然集成電路優(yōu)點(diǎn)明顯，但仍然有很長時(shí)間沒有在工業(yè)部門得到實(shí)際應(yīng)用。相反，它卻首先引起了軍事及政府部門的興趣。1961年，德州儀器為美國空軍研發(fā)出第一個(gè)基于集成電路的計(jì)算機(jī)，即所謂的“分子電子計(jì)算機(jī)”。美國宇航局也開始對該技術(shù)表示了極大興趣。當(dāng)時(shí)，“阿波羅導(dǎo)航計(jì)算機(jī)”和“星際監(jiān)視探測器”都采用了集成電路技術(shù)。分子電子計(jì)算機(jī)

集成電路應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)

1962年，德州儀器為“民兵-I”型和“民兵-II”型導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)研制22套集成電路。這不僅是集成電路第一次在導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)中使用，而且是電晶體技術(shù)在軍事領(lǐng)域的首次運(yùn)用。到1965年，美國空軍已超越美國宇航局，成為世界上最大的集成電路消費(fèi)者。

戈登-摩爾提出摩爾定律

早在1965年，摩爾就曾對集成電路的未來作出預(yù)測。他推算，到1975年每塊芯片上集成的電子元件數(shù)量將達(dá)到65000個(gè)。而實(shí)際上，每過12個(gè)月芯片上集成的電子元件數(shù)量都會翻一番。這就是現(xiàn)在我們所了解的計(jì)算機(jī)“摩爾定律”?！癇usicom141-PF”計(jì)算機(jī)

在20世紀(jì)60年代，計(jì)算機(jī)通常都是笨重的龐然大物。集成電路的出現(xiàn)改變了計(jì)算機(jī)這一形象。1969年，英特爾公司為日本計(jì)算機(jī)公司最新研發(fā)的“Busicom141-PF”計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)12塊芯片。但英特爾公司的工程師泰德-霍夫等人卻根據(jù)日本公司的需求提出了另一套設(shè)計(jì)方案。于是誕生了歷史上第一個(gè)微處理器--4004。英特爾4004微處理器英特爾公司的4004微處理器雖然并不是首個(gè)商業(yè)化的微處理器，但卻是第一個(gè)在公開市場上出售的計(jì)算機(jī)元件。據(jù)霍夫介紹，4004微處理器的計(jì)算能力其實(shí)并不輸于世界上第一臺計(jì)算機(jī)ENIAC(電子數(shù)字積分計(jì)算機(jī))，但卻比ENIAC小得多。ENIAC使用了18000個(gè)真空管，占據(jù)了整個(gè)房間?！捌諣査_”數(shù)字手表繼便攜式計(jì)算器和數(shù)字手表之后，集成電路的下一個(gè)主要商業(yè)應(yīng)用也許就是“手腕計(jì)算機(jī)”?！癕icroma”液晶數(shù)字表是應(yīng)用“系統(tǒng)芯片”技術(shù)的首款產(chǎn)品。漢米爾頓公司推出的“普爾薩”是世界上第一只數(shù)字手表。1970年，普爾薩剛剛上市時(shí)售價(jià)為2100美元。如今，芯片制造商(如英特爾、AMD等公司)生產(chǎn)的芯片上所集成的晶體管數(shù)量已達(dá)到了空前的水平，而且每個(gè)晶體管的體積變得非常微小。比如，一個(gè)針尖上可以容納3000萬個(gè)45毫微米大小的晶體管。此外，現(xiàn)在的處理器上單個(gè)晶體管的價(jià)格僅僅是1968年晶體管價(jià)格的百萬分之一。1.3.3

邏輯代數(shù)的基本公式序號公式序號公式1A·0=010A+1=12A·1=A11A+0=A3A·A=A12A+A=A4A·A'=013A+A'=15A·B=B·A14A+B=B+A6A(BC)=(AB)C15A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC16A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)'=A'+B'17(A+B)'=A'B'9(A')'=A18表1-13基本公式匯總01+變量與常量重疊律互補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律還原律徳·摩根定理公式16——分配律第二個(gè)公式證明（真值表法）ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111A+BC=(A+B)(A+C)其他公式均可用該方法證明1.3.4

邏輯代數(shù)的常用公式1.合并律AB+AB'=A證明：左=A(B+B')=A.1=A2.吸收律證明：左=A(1+B)=A.1=A吸收律1：A+AB=A吸收律2：A+A'B=A+B證明：左=

(A+A')(A+B)=A+B吸收律3：AB+A'C+BC=AB+A'C又稱冗余項(xiàng)定理=AB+A'C+A'BC+ABC=右證明：左=AB+A'C+BC(A+A')推論：AB+A'C+BCD=AB+A'C3.其他常用公式A(AB)'=AB'A'(AB)'

=A'=AB'+A'C'+B'C'=右證明：左=(AB)'(A'C)'=(A'+B')(A+C')徳·摩根定理冗余項(xiàng)定理(AB+A'C)'

=AB'+A'C'分配律第二個(gè)公式1.3.5

邏輯代數(shù)的基本定理應(yīng)用舉例：用B+C來代替等式中的B

式17

(A+B)'=A'B'

(A+B+C)'=A'

(B+C)'

=A'B'C'1.代入定理定理：在任何一個(gè)包含邏輯變量A的等式中，若以另外一個(gè)邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。

上式說明摩根定理可推廣到3個(gè)變量。當(dāng)然也可推廣到任意個(gè)變量。2.反演定理應(yīng)用:求反函數(shù)即Y→Y'

或去掉多個(gè)變量上的非號運(yùn)算遵循：1.先括號，然后與、或的順序，變換時(shí)運(yùn)算的優(yōu)先次序不變；

2.不是單個(gè)變量上的非號保留，或采用代入定理處理。Y=A(B+C)+(CD)'Y'=(A'+B'C')(C'+D')'=(A'+B'C')CD=A'CD采用代入定理，設(shè)CD=E則:

定理：對于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的和＋交換，

0和1交換，原變量和反變量交換，得到的結(jié)果就是Y'。該定理可簡單記為：+，01，AA'

。3.對偶定理定義:對于任意一個(gè)邏輯式Y(jié)，若將其中所有的“+”和“·”互換，0和1互換，得到的結(jié)果就是Y的對偶式，記做YD

，它們互為對偶式。對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。從對偶定理可看出，只要一個(gè)邏輯函數(shù)式的變量數(shù)不少于兩個(gè)（含反變量），它就一定存在對偶式。要求運(yùn)算前后對應(yīng)變量運(yùn)算順序一致Y=A(B+C)YD=A+BCZ=AB+ACZD=(A+B)(A+C)在上面的例子中，根據(jù)分配律Y=Z，根據(jù)對偶定理有：

這就從分配律的第一個(gè)公式直接推出第二個(gè)公式。即A+BC=(A+B)(A+C)YD=ZD1.3.3

邏輯代數(shù)的基本公式序號公式序號公式1A·0=010A+1=12A·1=A11A+0=A3A·A=A12A+A=A4A·A'=013A+A'=15A·B=B·A14A+B=B+A6A(BC)=(AB)C15A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC16A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)'=A'+B'17(A+B)'=A'B'9(A')'=A18表1-13基本公式匯總01+變量與常量重疊律互補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律還原律徳·摩根定理(1)A+BC+D=(A'B'D'+A'C'D')'題1.6用基本定律和定理證明以下等式。A+A'(B+C)'=A+B'C'利用分配律第二個(gè)公式：左式=(A+A')(A+(B+C)')=A+(B+C)'=A+B'C'=右式利用結(jié)合律、分配律：左式=(A'B'+A'B)+(AB'+AB)=A'(B'+B)+A(B'+B)=A'+A=1利用反演定理：(Y左式)'=A'(B'+C')D'=A'B'D'+A'C'D'(3)A'B'+A'B+AB'+AB=1Y左式=(A'B'D'+A'C'D')'=Y右式練習(xí)

1.4

邏輯函數(shù)及其表示方法

事物間的因果關(guān)系是一種邏輯關(guān)系，也是函數(shù)關(guān)系，所以稱為邏輯函數(shù)，具體說是二值邏輯函數(shù)。三人投票電路：要求投票結(jié)果和多數(shù)人意見相同。當(dāng)兩個(gè)人或三個(gè)人都同意時(shí)，結(jié)果有效。Y=AB+AC+BC1.4.1

邏輯函數(shù)三個(gè)人分別用A、B、C表示，結(jié)果用Y表示。Y與A,B,C的邏輯關(guān)系可表示為：常用的有五種：真值表；邏輯函數(shù)式；邏輯圖；

波形圖；卡諾圖。1.真值表三人投票電路的真值表：左側(cè)是輸入變量的所有取值組合，右側(cè)是輸出變量對應(yīng)數(shù)值是邏輯函數(shù)值。當(dāng)輸入變量個(gè)數(shù)為n時(shí)，真值表共有2n行。特點(diǎn)：描述邏輯問題方便；直觀；但較繁瑣。1.4.2

邏輯函數(shù)的表示方法ABCY00000010010001111000101111011111輸入變量

輸出變量

2.函數(shù)式三人投票的函數(shù)式：Y=AB+AC+BC特點(diǎn)：便于運(yùn)算、化簡；便于畫邏輯圖；不便從邏輯問題直接得到。3.邏輯圖(按運(yùn)算先后次序畫圖）三人投票函數(shù)的邏輯圖：特點(diǎn)：便于用電路實(shí)現(xiàn)。4.波形圖

高、低電平表示的變量取值按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。主要用于描述時(shí)序邏輯。真值表函數(shù)式邏輯圖波形圖1.4.3

各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換以上面三人投票電路為例，已知其真值表求其邏輯表達(dá)式。

黑箭頭容易實(shí)現(xiàn)?；@箭頭不能直接實(shí)現(xiàn)，可借助函數(shù)式實(shí)現(xiàn)。重點(diǎn)紅箭頭，即由真值表求函數(shù)式。A

B

C

Y00000010010001111000101111011111乘積項(xiàng)的寫法：對應(yīng)變量取值為1時(shí)為原變量，為0時(shí)為反變量。則：Y=A'BC+AB'C+ABC'+ABC函數(shù)值為1的每一行對應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，將乘積項(xiàng)相加。題1.9在舉重比賽中，有甲、乙、丙三名裁判，其中甲為主裁判，乙、丙為副裁判，當(dāng)主裁判和一名以上（包括一名）副裁判認(rèn)為運(yùn)動員上舉合格后，才可發(fā)出合格信號。列出該函數(shù)的真值表。用A,B,C表示三個(gè)裁判，設(shè)A為主裁判。ABCY00000010010001101000101111011111真值表：A,B,C取值為1時(shí)，表示確認(rèn)試舉成功；否則表示不成功。練習(xí)

題1.8列出下面各函數(shù)的真值表。ABCY1Y20000000101010010111110001101111101111110(1)Y1=AB+BC+AC

Y2=A'B+B'C+AC'

(2)Y1=ABC+AB'C

Y2=AB+BC'+A'CABCY1Y20000000101010010110110000101101100111111=(AC+A'B'+B'C)(B+C')題1.16寫出下圖中各邏輯圖的邏輯函數(shù)式，并化簡為最簡與或式。(a)Y=((AB'C)'(BC')')'(b)Y=((A'+C)'+(A+B')'+(B+C')')'=ABC+A'B'C'=(A'+C)(A+B')(B+C')=(AC+A'B')(B+C')=AB'C+BC'1.5

邏輯函數(shù)的化簡1.5.1

邏輯函數(shù)的最簡形式將邏輯函數(shù)化成最簡形式便于電路實(shí)現(xiàn)時(shí)：1.邏輯函數(shù)化簡的意義(1)節(jié)省器件，降低成本;(2)

降低電路的功耗;(3)提高電路的工作速度和可靠性提高;(4)電路故障檢測更容易。邏輯函數(shù)化簡有重要意義。

Y=A'BC+AB'C+ABC'+ABC

=AB+AC+BC與項(xiàng)/乘積項(xiàng)數(shù)量最少；在滿足1項(xiàng)的前提下，每個(gè)與項(xiàng)包含的變量個(gè)數(shù)最少。兩次取反邏輯函數(shù)式有多種形式，如與或式，或與式，與非與非式等等。與或式使用最多，因此我們只討論與或式的最簡標(biāo)準(zhǔn)。

AB+AC與或式=((AB)'(AC)')'與非與非式=A(B+C)或與式=(A'+(B+C)')'或非或非式=(A'+B'C')'與或非式按運(yùn)算的先后次序命名！兩次取反2.邏輯函數(shù)的最簡形式【例1-15】Y=AB+A'C+B'C=AB+(AB)'C=AB+C【例1-14】Y=AB'C'D'+ABC'D'=AC'D'【例1-15】Y=AB'+AC+ADE+C'D=AB'+AC+C'D最簡式不一定唯一！1.5.2

公式法化簡常用公式：1.AB+AB'=

A2.A+AB=

A3.A+A'B=A+B4.AB+A'C+BC=AB+A'C5.(AB+A'C)'=AB'+A'C'消項(xiàng)法吸收法消因子法并項(xiàng)法1式=ABY=AB+A(C'+D)B書上沒有2式3式4式因A+A=A，函數(shù)式中的任一與項(xiàng)都可重復(fù)使用：=A'B+BC=A'BC'+A'BC+ABC+A'BC【例1-16】Y=A'BC'+A'BC+ABC常用公式：1.AB+AB'=

A2.A+AB=

A3.A+A'B=A+B4.AB+A'C+BC=AB+A'C5.(AB+A'C)'=AB'+A'C'

在化簡復(fù)雜函數(shù)時(shí)，要靈活、綜合運(yùn)用上述方法?！纠?-17】Y=A+AB+AC'+BD+ACEG+B'EG+DEGH=A+BD+B'EG+DEGH=A+BD+B'EG冗余項(xiàng)定理1.邏輯函數(shù)最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

卡諾圖是邏輯函數(shù)的一種圖形表示方式。由英國工程師Karnaugh首先提出的，也稱卡諾圖為K圖。

在n變量的邏輯函數(shù)中，若每個(gè)乘積項(xiàng)都以這n個(gè)變量為因子，而且這n個(gè)變量都是以原變量或反變量的形式在各乘積項(xiàng)中僅出現(xiàn)一次，則稱這些乘積項(xiàng)為n變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。1）最小項(xiàng)的定義最小項(xiàng)ABC十進(jìn)制數(shù)編號A'B'C'0000m0A'B'C0011m1A'BC'0102m2A'BC0113m3AB'C'1004m4AB'C1015m5ABC'1106m6ABC1117m7此時(shí)A'B、A都不是最小項(xiàng)。

以三變量為例。1.5.3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2)最小項(xiàng)的性質(zhì)：（1）僅有一組取值組合對應(yīng)最小項(xiàng)的值為1；（2）全體最小項(xiàng)之和恒為1；（3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為0；（4）兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)之和可合并成一項(xiàng)，且消去一對因子。兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不相同，稱邏輯相鄰。例：ABC和ABC'是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，相加時(shí)會消去變量C即ABC+ABC'=AB卡諾圖就是利用最小項(xiàng)的這一性質(zhì)化簡邏輯函數(shù)的。標(biāo)準(zhǔn)與或式指最小項(xiàng)之和的表示形式。例如：ABC.AB'C=0最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)與或式Y(jié)=1對應(yīng)m3、

m5、m6、m7四個(gè)最小項(xiàng)，故有：Y=A'BC+AB'C+ABC'+ABC簡寫成：Y=m3+m5+m6+m7將非標(biāo)準(zhǔn)形式化成標(biāo)準(zhǔn)形式：Y=AB'(C+C')+(A+A')B'C=AB'C+AB'C'+A'B'CABCY000000100100011110001011110111113)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式或?qū)懗桑河勺钚№?xiàng)性質(zhì)（1），可以從真值表寫出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式。【例1-18】寫出Y=AB'+B'C最小項(xiàng)和形式。

少2個(gè)變量，化成4個(gè)最小項(xiàng)之和；少1個(gè)變量，化成2個(gè)最小項(xiàng)之和；少k個(gè)變量，化成2k個(gè)最小項(xiàng)之和。規(guī)律：例如三人選舉邏輯，已知其真值表。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1)表示最小項(xiàng)的卡諾圖

將n變量函數(shù)的每一個(gè)最小項(xiàng)分別用一個(gè)小方格表示，并使邏輯相鄰的最小項(xiàng)在圖上幾何相鄰，所得圖形為n變量卡諾圖。幾何位置相鄰：1.相接；2.對稱。——采用循環(huán)碼三變量卡諾圖1010110100ABCm0m1m3m2m6m7m5m4循環(huán)碼每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)。四變量卡諾圖

卡諾圖上每個(gè)變量取1和取0的方格數(shù)各占總格數(shù)的一半2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)顯然，只要在每個(gè)小方格里填上函數(shù)值（0或1）即可。具體操作還要分兩種情況：第一種，已知邏輯函數(shù)的真值表；第二種，已知邏輯函數(shù)的函數(shù)式；m21011010010110100ABCDm0m1m3m6m7m5m4m12m13m15m14m10m11m9m8

五變量以上的卡諾圖不作要求。(1)已知真值表真值表和卡諾圖有一一對應(yīng)關(guān)系，可直接填。如三人投票：真值表中函數(shù)值為1對應(yīng)3，5，6，7號四個(gè)最小項(xiàng)，故:

1010110100ABC由于函數(shù)值只有0，1兩種取值，故可將0省略。001001111010110100ABC

1

111ABCY00000010010001111000101111011111當(dāng)已知最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，與（1）中情況相同。如:當(dāng)已知一般與或式時(shí)，可將其化成最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)形式。如：Y=AB+AC+BC=AB(C+C')+AC(B+B')+BC(A+A')=A'BC+AB'C+ABC'+ABC也可直接將每個(gè)與項(xiàng)填進(jìn)卡諾圖：與項(xiàng)AB填入A、B都等于1的方格,即6號和7號最小項(xiàng)。少1個(gè)變量的與項(xiàng)，在卡諾圖上占2個(gè)相鄰的小方格。(2)已知函數(shù)式1010110100ABC

1

111Y=m3+m5+m6+m71111111011010010110100ABCD我們在四變量卡諾圖上作進(jìn)一步研究。1111與項(xiàng)AB少兩個(gè)變量，用AB(C+C')(D+D')方法可得，它包含4個(gè)最小項(xiàng)，編號是12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。與項(xiàng)A少3個(gè)變量，用A(B+B')(C+C')(D+D')方法可得，它包含8個(gè)最小項(xiàng)，編號是8，9，10，11，12，13，14，15，它們組成一個(gè)矩形。結(jié)論:與項(xiàng)少k個(gè)變量，在卡諾圖上占2k個(gè)的小方格，且組成矩形！111111113.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)——圖形法化簡1）合并最小項(xiàng)的規(guī)律1011010010110100ABCD11111111與項(xiàng)少k個(gè)變量，在卡諾圖上占2k個(gè)的小方格，且組成矩形。反過來用：卡諾圖上合并組成矩形的2k個(gè)小方格，得到的與項(xiàng)少k個(gè)變量。紅框合并2個(gè)最小項(xiàng)，對應(yīng)與項(xiàng)ABC,相對于最小項(xiàng)少1(n)個(gè)變量籃（綠）框合并4個(gè)最小項(xiàng)，對應(yīng)與項(xiàng)AB'（AC'）少2(n)個(gè)變量。紫框合并8個(gè)最小項(xiàng)，對應(yīng)與項(xiàng)A少3(n)個(gè)變量。最小項(xiàng)相鄰的幾種情況只能合并2k個(gè)小方格；1011010010110100ABCD111111圖中綠框?qū)?yīng)與項(xiàng)A'B'D'。圖中籃框?qū)?yīng)與項(xiàng)AD'。圖中紅框?qū)?yīng)與項(xiàng)B'D'。11圖中紫框?qū)?yīng)與項(xiàng)D'。(1)在包含所有最小項(xiàng)的前提下，“圈”越少越好化簡的原則是：(2)在每個(gè)圈中包含的最小項(xiàng)的個(gè)數(shù)為2k個(gè)的前提下，圈越大越好(3)每個(gè)圈至少要包含一個(gè)只被自己包含的最小項(xiàng)

由于每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖上對應(yīng)1個(gè)函數(shù)值為1的矩形區(qū)，因此可用一個(gè)“圈”（也稱為矩形組）將其包圍。

邏輯函數(shù)的最簡式有幾個(gè)與項(xiàng)，就一定對應(yīng)同樣多的圈。將最簡的原則與畫圈對比：——對應(yīng)每個(gè)圈最大；(2).與項(xiàng)中的變量最少——對應(yīng)圈最少；(1).與項(xiàng)最少2)卡諾圖化簡的步驟(1)將邏輯函數(shù)化成與或式，然后畫出其卡諾圖；(2)按最簡原則畫出必要的圈；(3)求出每個(gè)圈對應(yīng)的與項(xiàng)，然后相加。1011010010110100ABCD舉例說明：【例1-20】Y=(A+B)CD'+((A+B)(A'+B'+C+D))'=ACD'+BCD'+A'B'+ABC'D'1111111最簡與或式為：Y=CD'+A'B'+ABD'1可重復(fù)使用要圈兩個(gè)1卡諾圖為：用三個(gè)圈覆蓋：111011010010110100ABCD11111111（a）Y=AB'+BC'+A'C（b）Y=A'B+B'C+AC'顯然，紫圈是多余的，所以，畫完圈后注意檢查。當(dāng)最簡式不唯一時(shí)，畫圈的方案也不唯一。【例1-22】

Y=AB'+A'B+BC'+B'CY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15書上沒有111010110100ABC1111111010110100ABC1111111011010010110100ABCD1111111111111011010010110100ABCD【例1-21】Y=AD'+BC'D+ABC+A'C'D'+A'B'D'11111111=AB+BC'+B'D'【例1-23】Y=?m(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14)這種情況可通過圈0求Y'來解決：Y'=BDY=B'+D'1111題1.11已知邏輯函數(shù)真值表如下表所示，寫出對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。ABCY00000011010101101001101111001111111111010110100ABC練習(xí)

Y=AB'+B'C+AC+A'BC'題1.2寫出4位自然二進(jìn)制碼和格雷碼。二進(jìn)制碼格雷碼ABCDA

B

C

D00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110

0

0

00

0

0

10

0

1

10

0

1

00

1

1

00

1

1

10

1

0

1

0

1

0

01

1

0

01

1

0

11

1

1

11

1

1

01

0

1

01

0

1

11

0

0

11

0

0

01011010010110100ABCD

5位格雷碼可按P26圖1-13卡諾圖,按此方法書寫。4.具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡無關(guān)項(xiàng)是約束項(xiàng)和任意項(xiàng)的總稱?！纠?-24】四舍五入函數(shù):用A,B,C,D組成8421編碼表示十進(jìn)制數(shù),當(dāng)該數(shù)大于4時(shí)輸出為1。ABCDY

000000001000100001100100001011011010111110001100111010X1011X