山東省煙臺(tái)市小門家中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山東省煙臺(tái)市小門家中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A2.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足A．

B．

C．

D．的符號(hào)不確定參考答案：C3.某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10％，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為（

）A．10％

B．20％

C．30％

D．40％參考答案：D4.若，則（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】令，則把條件和目標(biāo)都轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到答案.【詳解】解：令，則由，可得故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法、誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題．5.定義在上的偶函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，且，，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.在整數(shù)集中，被5整除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，，給出如下三個(gè)結(jié)論：①；②；③；、④“整數(shù)、屬于同一“類”的充要條件是“”.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A.

0

B.

1

C.2

D.3參考答案：D試題分析：因?yàn)?，所以，則①正確；，所以，所以②不正確；因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除可以且只可以分成五類，所以③正確．對(duì)于④∵整數(shù)，屬于同一“類”，∴整數(shù)，被5除的余數(shù)相同，從而被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故“整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件是“”．故④正確．所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選D．考點(diǎn)：新定義題型.

7.下面有五個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期是；②終邊在y軸上的角的集合是；③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)；④把函數(shù)；⑤在中，若，則是等腰三角形；其中真命題的序號(hào)是

（

）．（1）（2）（3）

．（2）（3）（4）

．（3）（4）（5）

．（1）（4）（5）參考答案：8.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，則最小值為(

)A．

B.

C.

D.參考答案：A9.若非零不共線向量a、b滿足|a－b|＝|b|，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①向量a、b的夾角恒為銳角；②2|b|2>a·b；③|2b|>|a－2b|；④|2a|<|2a－b|.A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C10.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切。記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是

參考答案：設(shè)球半徑為r，則．故答案為．12.若直線3x+4y+m=0與圓

為參數(shù))沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：或13.曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的方程為_(kāi)_________．參考答案：【分析】對(duì)求導(dǎo)，帶入得到斜率，通過(guò)點(diǎn)斜式得到切線方程，再整理成一般式得到答案.【詳解】帶入得切線的斜率，切線方程，整理得【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)求導(dǎo)求出切線的斜率，再由斜率和切點(diǎn)寫出切線方程.難度不大，屬于簡(jiǎn)單題.14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

.參考答案：略15.已知點(diǎn)A是不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（-1，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·的取值范圍是

。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃問(wèn)題

E5作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

設(shè)由得表示，斜率為1縱截距為的一組平行直線，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大，由，即B（1，2），此時(shí)．

由，即D（2，1）此時(shí)，故，

故答案為：.【思路點(diǎn)撥】設(shè)由得表示，斜率為1縱截距為的一組平行直線，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.16.已知點(diǎn)是的重心，若則的最小值_____參考答案：17.如圖，在中，，，，則=___________.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和上下兩個(gè)頂點(diǎn)B1，B2是一個(gè)邊長(zhǎng)為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2，斜率為k（k≠0）的直線與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PF2的斜率為k′．求證：k?k′為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】解：（1）由題意利用菱形和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得a=2，，c=1．即可得到橢圓C的方程．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，．可得直線AE的方程及直線AF的方程，令x=3，得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．即可得到直線PF2的斜率為k′，把根與系數(shù)代入即可得出k?k′為定值．【解答】解：（1）由題意可得a=2，，c=1．∴橢圓C的方程為．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2（1，0）的直線l的方程為：y=k（x﹣1）．設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立，化為（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．顯然△＞0，∴，（*）．直線AE的方程為，直線AF的方程為，令x=3，得點(diǎn)M，N．∴點(diǎn)P．直線PF2的斜率為k′====．把（*）代入得k′==﹣．∴為定值．19.（本小題滿分12分）

如圖，角的始邊OA落在x軸上，其始邊、終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A、C），△AOB為等邊三角形．

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），求cos∠BOC的值；

（2）設(shè)f，求函數(shù)f（）的解析式和值域．參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g（x）=f（x）+﹣bx．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，記t=，若b≥，①t的取值范圍；②求g（x1）﹣g（x2）的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解a的值．（2）①通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，推出t=的不等式，求出t的范圍．②化簡(jiǎn)g（x1）﹣g（x2）的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)是判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷函數(shù)的極值，推出結(jié)果．【解答】解：（1）由題函數(shù)f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，可得由題意知f′（1）=1+a=2，即a=1…（2）①由，令g′（x）=0，x2﹣（b﹣1）x+1=0．即x1+x2=b﹣1，x1x2=1而…由x1＜x2，即0＜t＜1，解上不等式可得：…②而構(gòu)造函數(shù)由t，h′（t）=﹣＜0，故h（t）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以g（x1）﹣g（x2）的最小值為…21.（本小題滿分10分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知．（I）求的值；（II）若，，求的面積。參考答案：22.

為了解某校高三1200名學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三掌生檢查視力．檢查結(jié)果分為八個(gè)組，下面的頻率分布直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)已不慎被丟失）從左到右依次為第一組、第二組、……、第八組，其中后五組的頻數(shù)和為62.

（I）設(shè)第三組的頻率為a，求a的值； （Ⅱ）若后五組的頻數(shù)是公比為的等比數(shù)列，求這100名學(xué)生視力的中位數(shù)；

（Ⅲ）若視力在5.0以上為良好，在(Ⅱ)的條件下，求該校全體高三學(xué)生中視力良好的人數(shù)

參考答案：解：（Ⅰ）第一組、第二組的頻數(shù)分別為第