最短路徑問題說課-楊海軍

人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）第十三章軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校楊海軍教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析說最短路徑問題教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析1.利用軸對(duì)稱變換解決將軍飲馬問題2.利用圖形平移變換解決造橋選址問題最短路徑問題1.教學(xué)內(nèi)容2.地位作用4.重點(diǎn)難點(diǎn)3.預(yù)見問題1.教學(xué)內(nèi)容在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱之后，進(jìn)一步理解并掌握“兩點(diǎn)之間，線段最短”通過實(shí)際的生活問題讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)的線段最短問題，為以后學(xué)習(xí)更多的最值問題打下基礎(chǔ)。教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析最短路徑問題2.地位作用4.重點(diǎn)難點(diǎn)3.預(yù)見問題初中生對(duì)這類問題還比較陌生，部分同學(xué)開始時(shí)會(huì)想到用求直線上一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離相等來解決問題，這是開始學(xué)的一個(gè)誤區(qū)，應(yīng)讓學(xué)生牢記兩點(diǎn)之間線段最短，從而想到把其中一個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一則進(jìn)行解題。

1.教學(xué)內(nèi)容2.地位作用3.預(yù)見問題教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析最短路徑問題4.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：通過軸對(duì)稱、平移解決將軍飲馬和造橋選址的最短路徑問題難點(diǎn)：如何理解通過軸對(duì)稱、平移解決將軍飲馬和造橋選址的路徑一定是最短1.教學(xué)內(nèi)容2.地位作用教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析最短路徑問題4.重點(diǎn)難點(diǎn)3.預(yù)見問題教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析1.知識(shí)目標(biāo)2.能力目標(biāo)3.情感目標(biāo)利用軸對(duì)稱、平移變換等轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合線段公理解決最短路徑問題。通過軸對(duì)稱、平移解決將軍飲馬和造橋選址的最短路徑問題在探究最短路徑問題過程中，讓學(xué)生體會(huì)到軸對(duì)稱，平移在解題中的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來。最短路徑問題教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析為了讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容有較好的理解和掌握，采用啟發(fā)式、自主探究式等教學(xué)原則，重視知識(shí)的形成過程，給學(xué)生以探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有思考、理解、接受、內(nèi)化的過程。教學(xué)方法教學(xué)手段在教學(xué)中采用多媒體課件，師生合作探究，小組交流討論，學(xué)生驗(yàn)證歸納，課堂講練結(jié)合等手段，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性和有效性。最短路徑問題教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析最短路徑問題(1)如圖.現(xiàn)要在村莊A和村莊B之間修建一公路,如何修建可使公路最短?A村莊B村莊兩點(diǎn)之間，線段最短（2）如圖：點(diǎn)A、B在直線L的同一側(cè)，①在圖中作點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′；A′AlBP這是我們今天要解決的“將軍飲馬”的問題②請(qǐng)你在直線上找到一點(diǎn)P，使A′P+BP最短；③請(qǐng)問你能否在直線L上找到一個(gè)點(diǎn)C，使AC+BC最短？1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析飲馬問題：如圖13.4-1,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊L飲馬,然后到B地,牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?lBA最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析①

問題抽象將實(shí)際問題中A，B兩地與筆直的河L（圖2）抽象成點(diǎn)A.點(diǎn)B和直線L,（圖3）lAB圖13.4-3lBA最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析②題目分析：在直線L上確定一點(diǎn)C，使得AC+BC最短。lBA最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置A′AlBP在引入時(shí)，直線L上是找到一點(diǎn)P，使A′P+BP最短如果能把直線上同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)變成是直線上異則的兩點(diǎn)，則AC+BC最短的C點(diǎn)也就隨之可確定，那如何將其中一點(diǎn)轉(zhuǎn)變到直線的另一側(cè)呢？教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析以A點(diǎn)為例說明，在直線的另一側(cè)確定一點(diǎn)A′，使AC+BC=A′C+BC，即有AC=A′C的存在，這時(shí)想到了作軸對(duì)稱。作A點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′，使A′C+BC最短，即AC+BC最短。lBAA′C圖4最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析③作圖過程：作A點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′、B與直線L相交的點(diǎn)為C，使AC+BC最短lBAA′C圖4最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析④提出疑問，

這樣的點(diǎn)C就一定是到A，B兩點(diǎn)最短的嗎？在直線L上再取一個(gè)與C點(diǎn)不重合的點(diǎn)C′(如圖5)。求證：AC+CB〈AC′+C′BlBAA′CC′圖5證明：作A點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A′有

又∵在△⑤得出結(jié)論在直線L的存在有一動(dòng)點(diǎn)C，使得CA+CB最短。最短路徑問題A′

BCC′1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析4．問題二（造橋選址問題）如圖13.4-6,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)

最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析將實(shí)際問題中A，B兩地與筆直的河L抽象成點(diǎn)A.點(diǎn)B和直線a,b如圖8ABbMN圖8①問題抽象最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置a教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析

橋MN建在何處時(shí)，才能使AM+MN+NB最短呢？因?yàn)楹拥膶挾萂N是不變的，所以問題就轉(zhuǎn)化為求AM+NB最短。怎樣找出點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置呢？事實(shí)上MN與河兩邊垂直。因此只要找出M，N其中一點(diǎn)的位置就可確定另一點(diǎn)的位置。以在直線b上確定N點(diǎn)為例②題目分析：BbMNa圖9A最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析A′AM+NB最短，要先確定點(diǎn)N在直線b的位置，如果我先將A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個(gè)單位后到A′，由于MN垂直直線a，N點(diǎn)就是M點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個(gè)單位后到的點(diǎn)，由圖形平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段是平行且相等的，得到AM=A′

N.AM+NB最短即A′N+NB最短.

轉(zhuǎn)變成了直線b上是找到一點(diǎn)N，使A′N+NB最短,連結(jié)A′,B,與直線b相交的一點(diǎn)為N點(diǎn)最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置BbMNa圖A教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析ABbMNA′圖11將A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個(gè)單位后到A′，連結(jié)A′,B,與直線b相交的一點(diǎn)為N點(diǎn),再過N點(diǎn)作NM⊥a,與直線a的交點(diǎn)為M.即MN為所求AM+MN+NB最短的位置（如圖）.a最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置③作圖過程：教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析④提出疑問這線段NM就一定是A點(diǎn)到B點(diǎn)之間最短的嗎？在直線a,b上再取兩點(diǎn)M′,N′與M,N不重合.（如圖12）求證：AM+MN+NB〈AM′+M′N′+N′BABbMNA′aM′N′圖12最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析證明：把A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個(gè)單位后有了A′,N為M點(diǎn)平移后的，N′為M′平移后，由圖形平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的線段平行且相等得到：又∵在△最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析鞏固練習(xí)1：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線L上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電，（1）如果居民小區(qū)A，B在主干線L的兩旁，如圖1所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短（2）如果居民小區(qū)A，B在主干線L的同旁，如圖2所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短ABM圖1llABM圖2最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析鞏固練習(xí)2：如圖，A、B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析課堂小結(jié)通過解決了飲馬的最短路徑問題和造橋選址問題，實(shí)際上就是通過軸對(duì)稱，平移等方式將問題轉(zhuǎn)化成簡單的數(shù)學(xué)問題。讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)也是服務(wù)于生活的。最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋課后探究：最短路徑問題1.引入新知2.講授新課3.鞏固練習(xí)4.知識(shí)小結(jié)5.作業(yè)布置教材分析目標(biāo)分析教法分析教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)分析總結(jié)性評(píng)價(jià)形成性評(píng)價(jià)