材料力學 第十三章 能量法

Chapter13EnergyMethod第十三章能量方法

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4

單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6

計算莫爾積分的圖乘法

(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)

§13-7虛功原理(Principleofvirtualwork)§13-1

概述（Introduction）在彈性范圍內,彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W

來求解可變形固體的位移,變形和內力等的方法.可變形固體在受外力作用而變形時,外力和內力均將作功.對于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應位移上作的功,在數值上就等于積蓄在物體內的應變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

§13-2

桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）

1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當拉力為F1

時,桿件的伸長為Δl1

當再增加一個dF1時,相應的變形增量為d(Δl1)FFllFlFOll1dl1dF1F1積分得:根據功能原理當軸力或截面發(fā)生變化時:

Vε=W,可得以下變形能表達式（單位J/m3)比能（strainenergydensity）:

單位體積的應變能.記作u當軸力或截面連續(xù)變化時：2.扭轉桿內的變形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMeoB純彎曲（purebending)橫力彎曲（nonuniformbending）3.彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe4.組合變形的變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾種內力,各個內力及相應的各個位移相互獨立,力獨立作用原理成立,各個內力只對其相應的位移做功.5.純剪切應力狀態(tài)下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假設單元體左側固定,因此變形后右側將向下移動dx.dxdydzxyzabd因為很小,所以在變形過程中,上下兩面上的外力將不作功.只有右側面的外力（dydz）對相應的位移dx

作了功.dx

當材料在線彈性范圍內工作時,

上述力與位移成正比,因此,單元體上

外力所作的功為比能為

將

=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉時應變能的計算將代入上式得

二、變形能的普遍表達式（Generalformulaforstrainenergy）F--廣義力(包括力和力偶)δ--廣義位移(包括線位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設廣義力按某一比例由零增加到最終值對應的廣義位移也由零增加到最終值.對于線性結構,位移與荷載之間是線性關系，任一廣義位移,例如

2可表示為F3ABCF1F2B'

C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C

點引起的豎向位移.

C1,C2,C3是比例常數.F3/F2在比例加載時也是常數F1/F2和2與

F2之間的關系是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關系也是線性的.在整個加載過程中結構的變形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理（只限于線性結構）Fii三、變形能的應用（Applicationofstrainenergy）

1.計算變形能（Calculatingstrainenergy）

2.利用功能原理計算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例題1試求圖示懸臂梁的變形能,并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得例題2試求圖示梁的變形能,并利用功能原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得例題3試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI為常量.解：ABFORθ由Vε=W得例題4拉桿在線彈性范圍內工作.抗拉剛度EI,受到F1和F2兩個力作用.若先在B

截面加F1,

然后在C

截面加F2;若先在C

截面加F2,

然后在

B

截面加F1.分別計算兩種加力方法拉桿的應變能.ABCabF1F2（1）先在B

截面加F1,然后在C

截面加F2ABCabF1（a）在B

截面加F1,B截面的位移為外力作功為（b）再在C截面加F2F2

C截面的位移為

F2作功為（c）在加F2

后,B截面又有位移在加F2過程中F1作功（常力作功）所以應變能為ABCabF1F2（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2

后,F2

作功（b）

在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F2（c）加

F1引起C

截面的位移在加F1過程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以應變能為注意：（1）計算外力作功時,注意變力作功與常力作功的區(qū)別.（2）應變能Vε只與外力的最終值有關,而與加載過程和加載次序無關.2解:梁中點的撓度為:梁右端的轉角為:MeACBFl/2l/2梁的變形能為:1例題5以彎曲變形為例證明應變能Vε只與外力的最終值有關,而與加載過程和加載次序無關.先加力F

后,再加力偶Me（1）先加力F后,C

點的位移力F所作的功為（2）力偶由零增至最后值Me

B

截面的轉角為力偶Me

所作的功為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1先加上的力F所作的功為

C截面的位移為3ACBl/2l/2

F與力偶Me所作的功為ACBFl/2l/21Me兩力作用點沿力作用方向的位移分別為F1,F2（1）設在線彈性結構上作用力1,2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-3

互等定理（ReciprocalTheorems)12F1F2F1F212

F1和F2完成的功應為（2）在結構上再作用力F3,F4

沿F3和F4方向的相應位移為3,4F334F4

F3和F4完成的功應為（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用點又有位移

F1和F2在1′和2′上完成的功應為F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,結構的應變能為1′和2′F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得結構的應變能為由于應變能只決定于力和位移的最終值,與加力的次序無關,故功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一組力在第二組力引起的位移上所作的功,等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一組力F1,第二組力只有F3,則如果F1=

F3,則有位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用點沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用點沿

F3方向因作用F1而引起的位移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（Notice）

（1）力和位移都應理解為廣義的.

（2）這里是指結構不可能發(fā)生剛性位移的情況下,只是由變形引起的位移.§13-4

單位荷載法莫爾定理（Unit-loadmethod&mohr’stheorem）一、莫爾定理的推導（Derivationofmohr’stheorem）求任意點A的位移wA

F1F2A

A圖b變形能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1

（1）先在A點作用單位力F0,再作用力F1、F2（2）三個力同時作用時任意截面的彎矩:變形能:（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式的莫爾定理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ應看成廣義位移,把單位力看成與廣義位移相對應的廣義力.三、使用莫爾定理的注意事項（5）莫爾積分必須遍及整個結構.（1）M（x）：結構在原載荷下的內力;（3）所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱;（2）——去掉主動力,在所求廣義位移點,沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時,結構產生的內力;M（4）與M（x）的坐標系必須一致,每段桿的坐標系可自由建立;M（x）A例題6抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用,用單位載荷法求梁中點的撓度wC

和支座A截面的轉角.剪力對彎曲的影響不計.qBCll/2ql/2ql/2解:在實際荷載作用下,任一x

截面的彎矩為AAB11/21/2C（1）求C

截面的撓度在C點加一向下的單位力,任一x

截面的彎矩為xqBCll/2ql/2ql/2ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的轉角在A截面加一單位力偶引起的x截面的彎矩為qCll/2（順時針）ql/2B例題7圖示外伸梁,其抗彎剛度為EI.用單位載荷法求C點的撓度和轉角.ACqF=qaa2aBAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓度（在C

處加一單位力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/2BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx1BABC:AB:（2）求C

截面的轉角（在C處加一單位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA例題8剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出.不計剪力和軸力對位移的影響.計算A點的垂直位移及B截面的轉角.aABCFlEI1EI2解:（1）計算A點的垂直位移,在A點加垂直向下的單位力BClEI1EI2a1AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa（2）計算B截面的轉角,在B上加一個單位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）1例題9圖示剛架,兩桿的EI

和EA

分別相同,試求C點的水平位移.CFabAB解:在C點加一水平單位力1abBACFab1abxxABBACCCB:xxAB:Fab1abxxABBACCxx例題10圖示為一水平面內的曲桿，B

處為一剛性節(jié)點，ABC=90°在C

處承受豎直力F，設兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是

EI

和GIp

，求C點豎向的位移.ABCFabxx解:在C點加豎向單位力BC:ABCFabABC1abxxAB:xxABCFabABC1abxx例題11由三桿組成的剛架,B,C為剛性節(jié)點,三桿的抗彎剛度都是EI,試用單位載荷法求A1,A2兩點的相對位移.A1A2BCllFFx解：在A1,A2處加一對水平單位力.

B,C

兩支座的反力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll11例題12剛架受力如圖,求A截面的垂直位移,水平位移及轉角.ABCllqAB：BC：解:求A點鉛垂位移（在A點加豎向單位力）xxxxABCllqABCllq1求A點水平位移（在A點加水平單位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq1xx求A點的轉角（在A點加一單位力偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）例題13圖示為一簡單桁架,其各桿的EA相等.在圖示荷載作用下A、C兩節(jié)點間的相對位移.FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的單位荷載法為1112345678桿件編號90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000

A,C兩點間的距離縮短.例題14計算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ΔAB.EI=常數.BAORFF(a)BARPF(b)BARP1(c)解：OO213設彈性結構在支座的約束下無任何剛性位移.作用有外力:

F1,F2,,Fi

,相應的位移為：

1,

2,,

i

,§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結構的變形能只給Fi

一個增量

Fi

.引起所有力的作用點沿力方向的位移增量為213F1F2F3在作用Fi

的過程中,Fi

完成的功為原有的所有力完成的功為結構應變能的增量為如果把原來的力看作第一組力,而把

Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當Fi

趨于零時,上式為這就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem）（卡氏定理）（Castigliano’sTheorem）（1）卡氏第二定理只適用于線性彈性體說明（Directions）：（2）Fi

為廣義力，i為相應的位移一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移（3）卡氏第二定理的應用（a）軸向拉伸與壓縮（b）扭轉（c）彎曲（4）平面桁架（5）組合變形例題15外伸梁受力如圖所示,已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉角.FABCMelaFRAAB:BC:ABClaFRAFx1x2解:MeABClaFRAFx1x2Me（）例題16剛架結構如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.不考慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛設一力偶

Ma,

在D截面虛設一水平力F.FRDFRAxFRAyMaFCD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF例題17圓截面桿ABC,（ABC=90°）位于水平平面內,已知桿截面直徑d

及材料的彈性常數E,G.求C

截面處的鉛垂位移.不計剪力的影響.ABCllqBC:彎曲變形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲與扭轉的組合變形（扭轉變形）（彎曲變形）例題18圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI.不計軸力和剪力的影響.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移D

和轉角D

.MaxF1FABCDll2l解:在D點虛設一力偶矩Ma

CD:彎曲變形但是軸力不計,因此橫截面上的內力只計彎矩.F1ABCF2FlMa將力F

向C

簡化得：力F（產生拉伸變形）力偶矩2Fl（產生彎曲變形）

Ma（產生彎曲變形）

AC產生拉伸與彎曲的組合變形.橫截面上的內力有軸力和彎矩.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡化得:xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa§13-6

計算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)等直桿的情況下,莫爾積分中的EI為常量,可提到積分號外面只需計算:

因為是由單位力或單位力偶引起的彎矩,故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMMωxCCM(x)xxl設在桿長為l的一段內M（x）圖是曲線設直線方程是M(x)是直線,為l段內圖M(x)的面積ωM(x)xlxωxCCC

為圖M(x)的形心,xC為其坐標為圖M(x)對y

軸坐標的靜矩是和M(x)圖的形心對應處的M(x)的值.M(x)xlxωxcC對于等直桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對應的的乘積來代替MC當M圖為正彎矩時,w應代以正號.當M圖為負彎矩時,w應代以負號.也應按彎矩符號給以正負號.MC注意有時M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,

而

為折線,則應以折線的轉折點為界,

把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)b幾中常見圖形的面積和形心的計算公式alh三角形CClh頂點二次拋物線lh頂點cN

次拋物線lh頂點c二次拋物線3l/4l/4例題19均布荷載作用下的簡支梁,其EI

為常數.求跨中點的撓度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉折點為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C2ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C2例題20圖示梁,抗彎剛度為EI,承受均布載荷q及集中力F作用.用圖乘法求:

（1）集中力作用端撓度為零時的F值；（2）集中力作用端轉角為零時的F值.FCABalqFCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM

例題21圖示開口剛架,EI為常數.求A和B兩截面的相對角位移qAB和沿F力作用線方向的相對線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA例題22

圖示剛架,EI為常數.求A截面的水平位移ΔAH

和轉角qA.BAaaqaqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/2C例題23

拐桿