大學(xué)物理第一章

復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景

(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點來看,十九世紀(jì)最獨特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受.它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計算某些復(fù)雜的實函數(shù)的積分.(1)

代數(shù)方程

在實數(shù)范圍內(nèi)無解.

說:實域中兩個真理之間的最短路程是通過復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動等問題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變(4)應(yīng)用于計算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計算滲流問題.

例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強度.

例如：熱爐中溫度的計算.最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計算,

從而研究機(jī)翼的造型問題.變換應(yīng)用于頻譜分析和信號處理等.(8)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析.隨著計算機(jī)的發(fā)展，語音、圖象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多.(9)變換應(yīng)用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(11)Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).(12)小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號分析和圖象處理、語音識別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報等等.(13)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計算可以使用為科學(xué)和工程計算設(shè)計的軟件(10)復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容1復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)2復(fù)變函數(shù)的積分3復(fù)變函數(shù)的級數(shù)4留數(shù)及應(yīng)用5保角映射6Fourier變換7Laplace變換8Z變換9小波變換基礎(chǔ)0gwzhangneum@第一章復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則運算3復(fù)數(shù)的表示方法4乘冪與方根1.1.1復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要,人們引進(jìn)了復(fù)數(shù).例如，簡單的代數(shù)方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數(shù)稱為數(shù)x+iy

(或x+yi)的,并記做稱形如x+iy

或x+yi

的表達(dá)式為復(fù)數(shù)，其中

x和y是任意兩個實數(shù).把這里的x和y分別稱為復(fù)顯然,z=x+iy

是x-iy的共軛復(fù)數(shù),即共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x-iy

稱為復(fù)數(shù)x+iy

的(其中x,y均為實數(shù)),并記做.1.1.2復(fù)數(shù)的四則運算注意

復(fù)數(shù)不能比較大小.設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、減、乘、除運算定義如下：(1)復(fù)數(shù)的和與差(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商復(fù)數(shù)運算的性質(zhì)1.交換律2.結(jié)合律3.分配律解例

1.1設(shè)

求與例1.2……例1.3設(shè)z1,z2是兩個復(fù)數(shù),證明證明因為所以由運算規(guī)律7，有本例也可以用乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義證明.給定一復(fù)數(shù)z=x+iy,在坐標(biāo)平面XOY上存在惟一的點P(x,y)與z=x+iy對應(yīng).反之,對XOY平面上的點P(x,y),存在惟一的復(fù)數(shù)z=x+iy與它對應(yīng).根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算及向量的代數(shù)運算的定義知這種對應(yīng)構(gòu)成了同構(gòu)映射.因此可以用XOY平面上的點表示復(fù)數(shù)z.這時把XOY平面稱為復(fù)平面.有時簡稱為z平面.1.1.3復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法顯然,實數(shù)與x軸上的點一一對應(yīng),而x軸以外的點都對應(yīng)一個虛數(shù),純虛數(shù)與y軸上的點(除原點)對應(yīng).因此,稱x軸為實軸,y軸為虛軸.今后把復(fù)平面上的點和復(fù)數(shù)z不加區(qū)別,即“點z”和“復(fù)數(shù)z”是同一個意思.有時用C表示全體復(fù)數(shù)或復(fù)平面.復(fù)數(shù)z也可以用以原點為起點而以點P為終點的向量表示(如圖).這時復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.用表示復(fù)數(shù)z時,這個向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.把向量的長度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對值,并記做|z|.顯然如果點P不是原點(即),那么把x軸正向與向量的夾角q稱為復(fù)數(shù)z的輻角,記做Argz.

對每個,都有無窮多個輻角,因為用q0表示復(fù)數(shù)z的一個輻角時,就是z的輻角的一般表達(dá)式.滿足的復(fù)數(shù)z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則有時,在進(jìn)行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當(dāng)z=0時,|z|=0.的輻角,這時上式仍然成立.當(dāng)z=0時,Argz沒有意義,即零向量沒有確定利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系數(shù)z的三角表示式.再利用Euler公式

復(fù)數(shù)z=x+iy

可表示為稱為復(fù)復(fù)數(shù)z=x+iy

又可表示為稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式,其中r=|z|,q=Argz.當(dāng)時,當(dāng)時,共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實軸對稱的.復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)從幾何上看,復(fù)數(shù)z2-z1所表示的向量,與以z1為起點、z2為終點的向量相等(方向相同,模相等).復(fù)數(shù)的加、減運算對應(yīng)于復(fù)平面上相應(yīng)向量的加、減運算.1.1.4

乘冪與方根設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角表示式為根據(jù)乘法定義和運算法則及兩角和公式,兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為先將z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積于是利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么如果寫成指數(shù)形式，即如果那么特別地，當(dāng)|z|=r=1時,變?yōu)榉Q為DeMoivre公式.那么DeMoivre公式仍然成立.設(shè)如果定義負(fù)整數(shù)冪為當(dāng)(即)時,則如果將z1和z2寫成指數(shù)形式故記做或如果于是,當(dāng)時,對給定的復(fù)數(shù)z,方程wn=z的解w稱為z的n次方根,

滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術(shù)根.于是當(dāng)取k=0,1,2,···,n-1時,

對一個取定的q,可得

n個相異根如下由三角函數(shù)的周期性可見,除w0,w1,···,wn-1外,均是重復(fù)出現(xiàn)的,故當(dāng)z=0時,w=0就是它的n次方根.常取主輻角.若用指數(shù)表示式,則當(dāng)z=reiq時,這n個復(fù)數(shù)就是所要求的n個根.在上面的推導(dǎo)過程中,可取q為一個定值,通例1.4求方程w4+16=0的四個根.因為-16=24e(2k+1)pi,所以w4=24e(2k+1)pi.于是w0,w1,w2,w3恰好是以原點為圓心、半徑為2的圓一般情況下,n個根就是以原點為中心、半徑為的圓的內(nèi)接正多邊形的n個頂點所表示的復(fù)數(shù).|z|=2的內(nèi)接正方形的四個頂點(如圖).復(fù)數(shù)可以用平面上的點表示，這是復(fù)數(shù)的幾何表示法的一種，另外還可以用球面上的點表示復(fù)數(shù).設(shè)S是與復(fù)平面C切于原點O的球面.過原點O做垂直于平面C的直線,與S的另一交點為N.原點O稱為S的南極(S極),點N稱為S的北極(如圖).1.1.5復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點

球面上的點,除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點來表示復(fù)數(shù).球面上的北極N不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點,當(dāng)球面上的點離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.

規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng),記作.球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.不包括無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.包括無窮遠(yuǎn)點的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.

球面上的點與擴(kuò)充復(fù)平面的點構(gòu)成了一一對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.

對于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點而言,它的實部、虛部,輻角等概念均無意義,規(guī)定它的模為正無窮大.(1)加法(2)減法(3)乘法(4)除法§1.2平面點集1區(qū)域2Jordan曲線、連通性1.2.1區(qū)域

1.鄰域z0是復(fù)平面內(nèi)的定點,滿足不等式|z-z0|<d的一切點所組成的集合{z||z-z0|<d}稱為z0的d鄰域,簡稱為z0的鄰域,其中d>0.z0的鄰域?qū)嶋H上是以z0為中心,d為半徑的圓的內(nèi)部所有點組成的點集,簡記為B(z0,d).由滿足不等式0<|z-z0|<d的一切點所組成的集合稱為z0的去心鄰域.

2.內(nèi)點設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得該鄰域內(nèi)的一切點均屬于E,則稱z0是E的內(nèi)點.即存在r>0,滿足3.外點設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得在此鄰域內(nèi)的一切點均不屬于E,則稱z0是E的外點.即存在r>0,滿足

4.邊界點設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若z0的任何鄰域內(nèi)都含有屬于E的點和不屬于E的點,則稱z0是E的邊界點.即對任意的r>0,存在z1,z2B(z0,r),滿足顯然,E的內(nèi)點屬于E,而外點不屬于E,但邊界點既可能屬于E,也可能不屬于E.

E的邊界點的全體所組成的集合稱為E的邊界,記做E.

5.開集設(shè)G是復(fù)平面上的點集,如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集.例1.5設(shè)z0是定點,r>0是常數(shù),則z0為中心,以r為半徑的圓的內(nèi)部點,即滿足不等式|z-z0|<r的一切點z所組成的點集(z0的r鄰域)是開集.當(dāng)0r<R(r和R均是常數(shù))時,滿足不等式r<|z-z0|<R的一切z所組成的點集也是開集.但滿足不等式r<|z-z0|R的一切點所組成的點集不是開集.因為在圓周|z-z0|=R上的點屬于集合r<|z-z0|R,但這些點不是它的內(nèi)點,而是邊界點.在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點都是點集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的邊界點.兩個圓周上的點都不屬于點集r<|z-z0|<R,內(nèi)圓周|z-z0|=r不屬于點集r<|z-z0|R,外圓周|z-z0|=R屬于點集r<|z-z0|R.6.區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的點集，如果滿足以下兩個條件:(1)D是開集；(2)D內(nèi)的任何兩點z1和z2都可以用一條完全在D內(nèi)的折線,把z1和z2連接起來(具有這個性質(zhì)的點集叫做連通的).則稱D是復(fù)平面上的區(qū)域.簡單地說,連通開集稱為區(qū)域.

為閉區(qū)域,記做

例如,滿足不等式|z-z0|r和r|z-z0|R的一切點所組成的點集都是有界的閉區(qū)域,滿足不等式|z|R

的一切點所組成的點集是無界的閉區(qū)域.如果一個平面點集完全包含在原點的某一個鄰域內(nèi),那么稱它是有界的.不是有界集的點集叫做無界集.由區(qū)域D和它的邊界D所組成的點集，稱(1)圓環(huán)域:例1.6判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.1.2.2Jordan曲線、連通性(1)連續(xù)曲線、Jordan曲線參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(atb)在XOY平面上表示一條曲線C.

把XOY平面視為復(fù)平面時,曲線C的參數(shù)方程可表示為如果x=x(t),y=y(t)(atb)為連續(xù)函數(shù)時,則稱曲線C為連續(xù)曲線.曲線C在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了曲線的形狀,實際上還給出了曲線的方向,也就是說,曲線是沿著t增加的方向變化的.復(fù)平面上對應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點稱為曲線C的起點,對應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點稱為曲線C的終點.用Cˉ表示與C形狀相同、方向相反的曲線.若曲線C的起點與終點重合,即z(a)=z(b),則稱C是閉曲線.例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0t2p)是一條閉曲線,因為z(0)=z(2p)=r.如果曲線C:z=z(t)(atb)除起點與終點外無重點,即除t1=a,t2=b

之外,如果t1t2,有z(t1)z(t2),則稱曲線C是簡單曲線.連續(xù)的簡單閉曲線稱為Jordan曲線.

任何Jordan曲線C將平面分為兩個區(qū)域,即內(nèi)部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域(無界),C是它們的公共邊界.內(nèi)部外部邊界如果t1t2,有z(t1)=z(t2),則稱z(t1)=z(t2)是曲線z=z(t)的重點.關(guān)于曲線方向的說明:

設(shè)C為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選定

C的兩個可能方向中的一個作為正向,則稱C為有向曲線.如果從A到B作為曲線

C的正向,那么從B到A為曲線C的負(fù)向,就是Cˉ.除特殊聲明外,正向總是指從起點到終點的方向.CCˉ

Jordan曲線C有兩個方向,當(dāng)點z沿著C的一個給定方向變化時,若C的內(nèi)部出現(xiàn)在點z前進(jìn)方向的左側(cè),就規(guī)定這個方向是正的;否則就說是負(fù)的.如果沒有特別說明,約定Jordan曲線的正向為這條曲線的方向.對于圓周曲線可以簡單地說,逆時針方向為曲線的正向,順時針方向為曲線的負(fù)向.(2)光滑曲線如果曲線C參數(shù)方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且對任何t[a,b],都有稱C是一條光滑曲線.

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.光滑曲線分段光滑曲線(3)單連通區(qū)域與多連通區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的一個區(qū)域,如果位于D內(nèi)的任何Jordan曲線的內(nèi)部區(qū)域也都包含于D,則稱D為單連通區(qū)域.若區(qū)域D不是單連通區(qū)域,則稱它為多連通區(qū)域.單連通域多連通域練習(xí)1指出下列不等式所確定的點集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解(1)當(dāng)時,是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點為中心,半徑為的圓表示到1,–1兩點的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界的單連通區(qū)域(如圖).和為定值4的點的軌跡,因為所以這是橢圓曲線.內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的練習(xí)2滿足下列條件的點集是否區(qū)域?如果是區(qū)域,是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?這是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.它是單連通區(qū)域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點,斜率為1的半射線,不包括端點i.§1.3連續(xù)函數(shù)1復(fù)變函數(shù)的定義2復(fù)變函數(shù)的極限3函數(shù)的連續(xù)性1.3.1

復(fù)變函數(shù)的定義定義1.1設(shè)E是復(fù)平面上的點集,若對任何zE,都存在惟一確定的復(fù)數(shù)w和z對應(yīng),稱在E上確定了一個單值復(fù)變函數(shù)，用w=f(z)表示.

E稱為該函數(shù)的定義域.在上述對應(yīng)中,當(dāng)zE所對應(yīng)的w不止一個時,稱在E上確定了一個多值復(fù)變函數(shù).數(shù),而例如,w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不特別申明時，所指的復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù).因為z=x+iy和w都是復(fù)數(shù),若把w記為u+iv時,

u與v也是z的函數(shù),因此也是x和y的函數(shù).于是,可以寫成其中u(x,y)和v(x,y)都是實變量的二元函數(shù).例如:w=z2是一個復(fù)變函數(shù).令因為于是函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個二元實函數(shù)令于是反之,如果反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域為復(fù)平面上的點集D,稱復(fù)平面上的點集為函數(shù)w=f(z)的值域.對于任意的wG,必有D中一個或幾個復(fù)數(shù)與之對應(yīng).于是,確定了G上一個單值或多值函數(shù)z=j(w),稱之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).定義1.2設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個去心鄰域內(nèi)有定義,A是復(fù)常數(shù).若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當(dāng)z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中zz0的方式是任意的.1.3.2復(fù)變函數(shù)的極限例1.7當(dāng)z0時,函數(shù)極限不存在.事實上,當(dāng)z沿直線y=kx趨于零時,該極限值隨k值的變化而變化,所以極限不存在.定義1.3設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且則稱f(z)在z0處連續(xù).若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D上連續(xù).關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線C上的連續(xù)性和閉區(qū)域上的連續(xù)性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.1.3.3函數(shù)的連續(xù)性定理1.1設(shè)則f(z)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點連續(xù).這個定理說明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價兩個二元實函數(shù)的連續(xù)性.定理1.2設(shè)f(z)在有界閉區(qū)域(或有限長的連續(xù)曲線C)上連續(xù)，則f(z)在(或C)上有界，即存在M>0,當(dāng)或zC時，有例1.8設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)在點z0連續(xù)，并且f(z0)0,則存在z0的某個鄰域，使f(z)在此鄰域內(nèi)恒不為0.證明由于f(z)在點z0

連續(xù),在點連續(xù),故在點連續(xù).因所以由二元函數(shù)的連續(xù)性,必存在的某個鄰域,使得在此鄰域內(nèi),即在此鄰域內(nèi)f(z)0.定理1.3設(shè)都在點連續(xù),則都在

點連續(xù)，而

當(dāng)時，也在點連續(xù).

定理1.4設(shè)在處連續(xù)，

而在點連續(xù)，則

復(fù)合函數(shù)在

點連續(xù).

應(yīng)用或仿證明實函數(shù)類似結(jié)論的方法可以證明上述兩個定理.由前面的結(jié)論可知,多項式在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù).有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點之外,處處連續(xù).都是復(fù)常數(shù).§1.4

解析函數(shù)1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2解析函數(shù)1.4.1

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)的定義定義1.4設(shè)是定義在區(qū)域D上的存在，則稱在點可導(dǎo),并把這個極限值稱為在點的導(dǎo)數(shù)，記做復(fù)變函數(shù),z0是區(qū)域D內(nèi)的定點.若極限定義中的極限式可以寫為即當(dāng)在點可導(dǎo)時,注意的方式是任意的.此時，對D內(nèi)任意一點z,有也可用等表示在z點的導(dǎo)數(shù).若在區(qū)域D內(nèi)每一點都可導(dǎo),則稱在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).則例1.9設(shè)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，且解因為所以例1.10證明在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo).證明對復(fù)平面內(nèi)任意點z,有故這說明在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù).但是,設(shè)沿著平行于x軸的方向趨向于0,即于是所以的導(dǎo)數(shù)不存在.設(shè)沿著平行于y軸的方向趨向于0,即(2)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).

事實上,由f(z)在z0點可導(dǎo),必有).()()()(

000zfzzfzzfz￠-D-D+=Dr令

,)()(lim000zfzzfz=D+?D所以再由即在處連續(xù).反之,由知,不可導(dǎo).但是二元實函數(shù)連續(xù),于是根據(jù)知,函數(shù)連續(xù).(3)求導(dǎo)法則由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時，復(fù)變函數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而實函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且證明方法相同.求導(dǎo)公式與法則:(1)其中c為復(fù)常數(shù).(2)其中n為正整數(shù).其中其中與是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù),且1.4.2

解析函數(shù)定義1.5設(shè)在區(qū)域D有定義.(1)設(shè),若存在的一個鄰域，使得在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱在處解析,也稱是的解析點.(2)若在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱在區(qū)域D內(nèi)解析,或者稱是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù).(3)設(shè)G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域且在G內(nèi)解析，則稱在閉區(qū)域上解析.函數(shù)在處解析和在處可導(dǎo)意義不同，前者指的是在的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo),但后者只要求在處可導(dǎo).函數(shù)在處解析和在的某一個鄰域內(nèi)解析意義相同.復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的.事實上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).

反之,設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo),則對任意存在z的某一個鄰域U,使得UD,由在D內(nèi)可導(dǎo),可知在U內(nèi)可導(dǎo),即在z處解析.若函數(shù)在處不解析，則稱是的奇點.若是的奇點,但在的某鄰域內(nèi),除外,沒有其他的奇點，則稱是函數(shù)的孤立奇點.由例1.9和例1.10知,函數(shù)是全平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù)是處處不解析的連續(xù)函數(shù).根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論.設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析,則也在D內(nèi)解析.當(dāng)時,是的解析點.特別地,多項式P(z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點之外解析,分母為零的點是有理分式的孤立奇點.例1.11證明在處可導(dǎo),但處處不解析.證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,因此在處可導(dǎo)，且當(dāng)時,由得故雖然但是當(dāng)z分別從平行于x,y軸方向趨于z0時，分別以1和-1為極限，因此不存在.又因為所以不存在，即在時不可導(dǎo),從而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.§1.5

函數(shù)可導(dǎo)的充要條件

2函數(shù)可導(dǎo)的充要條件1函數(shù)可微的概念復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致.

復(fù)變函數(shù)可微與可導(dǎo)是否也具有一元實變函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系？1.5.1

函數(shù)可微的概念定義1.6設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義,若存在復(fù)常數(shù)A,使得其中則稱在點可微.引理復(fù)變函數(shù)在點可導(dǎo)的充分必要條件是在點可微，且與一元實函數(shù)類似,記稱之為在處的微分.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱在區(qū)域D內(nèi)可微,并記為1.5.2

函數(shù)可導(dǎo)的充要條件定理1.5復(fù)變函數(shù)在點處可微(即可導(dǎo))的充分必要條件是二元函數(shù)在處都可微，并且滿足Cauchy-Riemann方程此時定理1.6復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是在區(qū)域D內(nèi)可微,且在D內(nèi)滿足Cauchy-Riemann方程在區(qū)域D內(nèi)例1.12證明函數(shù)是復(fù)平面C上的解析函數(shù)，且證明顯然，在全平面上可微，且在全平面處處滿足Cauchy-Riemann方程,所以是復(fù)平面C上的解析函數(shù),并且

Cauchy-Riemann方程在解析函數(shù)論及其在力學(xué)、物理學(xué)等的應(yīng)用中具有根本性的意義,特別是在流體力學(xué)和靜電場理論中，起到重要作用.和在全平面內(nèi)處處可微，但只有在實軸上滿足Cauchy-Riemann方程,所以在實軸上可微.但在任何一點的鄰域內(nèi)都有不可微的點，因此，處處不解析.例1.13設(shè)問在何處可微?是否解析?解記顯然,函數(shù)例1.14設(shè)其中a,b,c,d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r,函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析.解顯然，在全平面可微，且容易看出,當(dāng)時,函數(shù)滿足Cauchy-Riemann方程,這時函數(shù)在全平面解析.例1.15如果在區(qū)域D內(nèi)處處為零,則f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).證明根據(jù)所以都是常數(shù).因此f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).§1.6

初等解析函數(shù)1指數(shù)函數(shù)2對數(shù)函數(shù)3冪函數(shù)4三角函數(shù)和雙曲函數(shù)由1.6.1

指數(shù)函數(shù)在z平面上解析，且當(dāng)z為實數(shù),即當(dāng)y=0時,與通常實指數(shù)函數(shù)一致,因此給出下面定義.定義1.7假設(shè)則由可知,函數(shù)定義復(fù)指數(shù)函數(shù)，記或簡記為顯然與指數(shù)函數(shù)符號一致與相一致但也有不妥之處以后說明定理1.7設(shè)為指數(shù)函數(shù)，則在全平面解析，且從而其中n正整數(shù);(1)(2)當(dāng)時,其中(3)是周期函數(shù),其周期是n非零整數(shù),(4)的充分必要條件是n為整數(shù).即例1.16求的實部與虛部.解令因為所以從而有1.6.2

對數(shù)函數(shù)定義1.8指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),即把滿足方程的函數(shù)稱為z的對數(shù)函數(shù)，記作令則由可得從而由復(fù)數(shù)的相等的定義知,即其中k為整數(shù),或所以由于是多值的，所以是多值函數(shù).如果記則對數(shù)函數(shù)可寫為對應(yīng)某個確定的k,稱為對數(shù)函數(shù)的第k個個分支,對應(yīng)k=0的分支，稱為對數(shù)函數(shù)主支.于是即是對數(shù)主支,稱為對數(shù)函數(shù)的主值.對數(shù)函數(shù)各分支之間，其虛部僅差的倍數(shù)，因此，當(dāng)給定特殊分支(即給定k的值)時,的值就被確定.例如,如果給定分支的虛部落在區(qū)間中，那么即取k=0的那個對數(shù)分支.如果給定分支的虛部落在區(qū)間中,那么即取k=1的那個對數(shù)分支.這可在中取k=1得到.利用復(fù)數(shù)的乘積與商的輻角公式易證，復(fù)變函數(shù)的對數(shù)函數(shù)保持了實對數(shù)函數(shù)的乘積與商的相應(yīng)公式

在實函數(shù)對數(shù)中，負(fù)數(shù)不存在對數(shù)；但在復(fù)變數(shù)對數(shù)中，負(fù)數(shù)的對數(shù)是有意義的.

例如下面討論對數(shù)函數(shù)的解析性.對于對數(shù)主支其實部在除原點外的復(fù)平面上處處連續(xù);但其虛部在原點與負(fù)實軸上都不連續(xù),因為對于負(fù)實軸上的點有所以,在即在除去原點與負(fù)實軸的復(fù)平面上,處處連續(xù).定理1.8對數(shù)主支在區(qū)域上解析(如圖),并且D對于其他的對數(shù)分支，因為(k確定),所以也有因此，對于確定的k,稱為一個單值解析分支.例1.17求的值.解因為所以于是事實上，以上結(jié)果還可以由直接得到．1.6.3

冪函數(shù)定義1.9設(shè)z為不等于零的復(fù)變數(shù),m為任意為一個復(fù)數(shù)，定義冪函數(shù)即當(dāng)z為正實變數(shù)，m為實數(shù)時，它與實冪函數(shù)的定義一致，而z為復(fù)變數(shù)，m為復(fù)數(shù)時由于的多值性，所以可能是多值的，稱為的主值.易見：1.當(dāng)m是整數(shù)時，是單值函數(shù)；2.當(dāng)m為非整有理數(shù)時,其中為既約分?jǐn)?shù),那么是有限多值的，且3.當(dāng)m為無理數(shù)或虛部不為零的復(fù)數(shù)時，是無窮多值的.上述定義實質(zhì)上包含了復(fù)數(shù)的n次冪函數(shù)與n次方根函數(shù)的定義.因為