江西省南昌市2023-2023學年高一上學期期末數學試卷(乙卷)

江西省南昌市2023-2023學年高一上學期期末數學試卷（乙卷）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．（5分）已知角α的終邊經過點P（0，﹣4），則tanα=（） A． 0 B． ﹣4 C． 4 D． 不存在2．（5分）設是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（） A． B． C． D． 3．（5分）已知||=，||=2，.=﹣3，則與的夾角是（） A． 150° B． 120° C． 60° D． 30°4．（5分）代數式sin120°cos210°的值為（） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 5．（5分）若cos（π+α）=﹣，則cosα的值為（） A． ﹣ B． ﹣ C． D． 6．（5分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，則tanα等于（） A． ﹣3 B． ﹣ C． 3 D． 7．（5分）如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，點E為AB中點，若，則||=（） A． B． 2 C． 3 D． 28．（5分）函數y=sin2x是（） A． 周期為π的奇函數 B． 周期為π的偶函數 C． 周期為2π的奇函數 D． 周期為2π的偶函數9．（5分）函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分圖象如圖示，則將y=f（x）的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為（） A． y=sin2x B． y=cos2x C． y=sin（2x+） D． y=sin（2x﹣）10．（5分）f（x）=a+是奇函數，則a=（） A． ﹣ B． C． ﹣1 D． 111．（5分）設函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的圖象關于直線x=對稱，它的周期是π，則（） A． f（x）的圖象過點（0，） B． f（x）在[，]上是減函數 C． f（x）的一個對稱點中心是（，0） D． f（x）的最大值是A12．（5分）已知函數f（x）=sinx+cosx，則f（）=（） A． B． C． 1 D． 二、填空題（本大題共4個小題．每小題5分．共20分）13．（5分）若=（1，2），=（3，﹣4），則在方向上的投影為．14．（5分）l弧度的圓心角所對的弧長為6，則這個圓心角所夾的扇形的面積是

．15．（5分）函數的定義域為．16．（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，G為AC與DE的交點，且，若=，，則用，表示=．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應根據要求寫出必要的文字說明．證明過程或演算步驟）17．（12分）已知函數f（x）=sin22x+sin2x?cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．18．（12分）已知函數f（x）=sin（﹣）．（1）請用“五點法”畫出函數f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖（先在所給的表格中填上所需的數值，再畫圖）；（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．19．（12分）已知函數f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期為3π．當x∈[，]時，求函數f（x）的最小值．20．（12分）已知點A（﹣1，0），B（0，1），點P（x，y）為直線y=x﹣1上的一個動點．（1）求證：∠APB恒為銳角；（2）若||=||，求向量+的坐標．21．（12分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．22．（10分）已知函數f（x）=ax2﹣4x+2，函數g（x）=（）f（x）（1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式；（2）若g（x）有最大值9，求a的值，并求出g（x）的值域．江西省南昌市2023-2023學年高一上學期期末數學試卷（乙卷）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．（5分）已知角α的終邊經過點P（0，﹣4），則tanα=（） A． 0 B． ﹣4 C． 4 D． 不存在考點： 任意角的三角函數的定義．專題： 三角函數的求值．分析： 根據三角函數的定義進行求解即可．解答： 解：∵角α的終邊經過點P（0，﹣4），∴α=270°，此時tanα不存在，故選：D點評： 本題主要考查三角函數值的求解，根據三角函數的定義是解決本題的關鍵．比較基礎．2．（5分）設是兩個單位向量，則下列結論中正確的是（） A． B． C． D． 考點： 單位向量．專題： 平面向量及應用．分析： 由是兩個單位向量，可得，即可得出．解答： 解：∵是兩個單位向量，∴，故選：D．點評： 本題考查了對單位向量的理解和應用，屬于基礎題．3．（5分）已知||=，||=2，.=﹣3，則與的夾角是（） A． 150° B． 120° C． 60° D． 30°考點： 數量積表示兩個向量的夾角．專題： 計算題．分析： 設出兩個向量的夾角，利用向量的數量積公式列出方程，求出夾角的余弦，利用夾角的范圍求出夾角．解答： 解：設兩個向量的夾角為θ∵∴∴∵θ∈[0，π]∴θ=120°故選B點評： 求兩個向量的夾角，一般先利用向量的數量積公式求出向量夾角的余弦，注意向量夾角的范圍，求出向量的夾角．4．（5分）代數式sin120°cos210°的值為（） A． ﹣ B． C． ﹣ D． 考點： 運用誘導公式化簡求值．專題： 三角函數的求值．分析： 原式中的角度變形后，利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即可得到結果．解答： 解：原式=sin（180°﹣60°）cos（180°+30°）=﹣sin60°cos30°=﹣×=﹣．故選A點評： 此題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．5．（5分）若cos（π+α）=﹣，則cosα的值為（） A． ﹣ B． ﹣ C． D． 考點： 運用誘導公式化簡求值．專題： 三角函數的求值．分析： 運用誘導公式即可化簡求值．解答： 解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cos．故選：C．點評： 本題主要考查了運用誘導公式化簡求值，屬于基礎題．6．（5分）若tan（α﹣β）=，tanβ=，則tanα等于（） A． ﹣3 B． ﹣ C． 3 D． 考點： 兩角和與差的正切函數．專題： 三角函數的求值．分析： 由兩角和與差的正切函數公式化簡已知，代入tanβ=，即可求值．解答： 解：∵tan（α﹣β）===，∴可解得：tanα=3．故選：C．點評： 本題主要考查了兩角和與差的正切函數公式的應用，屬于基礎題．7．（5分）如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，點E為AB中點，若，則||=（） A． B． 2 C． 3 D． 2考點： 向量的模．專題： 平面向量及應用．分析： 如圖所示，建立直角坐標系．利用，可得=0，再利用向量模的計算公式即可得出．解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．則B（4，0），E（2，0）．設D（0，m），（m＞0），C（4，m）．∴=（2，﹣m），=（4，m）．∵，∴2×4﹣m2=0，解得m2=8．∴==．故選：B．點評： 本題考查了向量的垂直與數量積的關系、模的計算公式，屬于基礎題．8．（5分）函數y=sin2x是（） A． 周期為π的奇函數 B． 周期為π的偶函數 C． 周期為2π的奇函數 D． 周期為2π的偶函數考點： 正弦函數的單調性；三角函數的周期性及其求法．專題： 三角函數的圖像與性質．分析： 根據三角函數的周期公式即可求出函數的周期和函數的奇偶性．解答： 解：∵ω=2，∴函數的周期T=．∵f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，∴函數y=sin2x為奇函數，故函數y=sin2x是周期為π的奇函數，故選：A．點評： 本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握函數的周期性和奇偶性的判斷方法．9．（5分）函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分圖象如圖示，則將y=f（x）的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式為（） A． y=sin2x B． y=cos2x C． y=sin（2x+） D． y=sin（2x﹣）考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 計算題．分析： 通過函數的圖象求出A，求出函數的周期，利用周期公式求出ω，函數過（），結合φ的范圍，求出φ，推出函數的解析式，通過函數圖象的平移推出結果．解答： 解：由圖象知A=1，T=﹣=，T=π?ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=?φ=?f（x）=sin（2x+），則圖象向右平移個單位后得到的圖象解析式為y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故選D．點評： 本題考查學生的視圖能力，函數的解析式的求法，圖象的變換，考查計算能力．10．（5分）f（x）=a+是奇函數，則a=（） A． ﹣ B． C． ﹣1 D． 1考點： 函數奇偶性的性質．專題： 函數的性質及應用．分析： 利用奇函數的性質f（0）=0即可得出．解答： 解：∵f（x）=a+是奇函數，∴f（0）==0，解得a=﹣．經過驗證a=﹣滿足條件．故選：A．點評： 本題考查了奇函數的性質，屬于基礎題．11．（5分）設函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0．ω＞0，|φ|＜）的圖象關于直線x=對稱，它的周期是π，則（） A． f（x）的圖象過點（0，） B． f（x）在[，]上是減函數 C． f（x）的一個對稱點中心是（，0） D． f（x）的最大值是A考點： 正弦函數的圖象；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 計算題；三角函數的圖像與性質．分析： 由周期公式可先求ω，根據函數對稱軸處取得函數最值，由函數的圖象關于直線x=對稱，可得sin（φ+）=±1，代入可得φ=，根據三角函數的性質逐個檢驗選項．解答： 解：∵T=π，∴ω===2，∵圖象關于直線x=對稱，∴sin（φ+×2）=±1，即×2+φ=+kπ，k∈Z，又∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f（x）=Asin（2x+）．再用檢驗法逐項驗證．故選：C．點評： 本題考查了三角函數的性質，周期公式T=的應用，三角函數對稱軸的性質，正弦函數在對稱軸處取得最值，屬于中檔題．12．（5分）已知函數f（x）=sinx+cosx，則f（）=（） A． B． C． 1 D． 考點： 兩角和與差的正弦函數．專題： 計算題；三角函數的求值．分析： 由兩角和的正弦公式化簡解析式后代入即可求解．解答： 解：∵f（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=，故選：A．點評： 本題主要考察了兩角和與差的正弦函數公式的應用，屬于基礎題．二、填空題（本大題共4個小題．每小題5分．共20分）13．（5分）若=（1，2），=（3，﹣4），則在方向上的投影為﹣1．考點： 平面向量數量積的含義與物理意義．專題： 平面向量及應用．分析： 投影即為||cosθ，利用數量積運算求出cosθ即可．解答： 解：設的夾角為θ∵∴，||=5，=﹣5∴cosθ==﹣故投影為||cosθ=﹣1故答案為：﹣1點評： 本題主要考察了向量的數量積運算，難度不大，屬于基礎題．14．（5分）l弧度的圓心角所對的弧長為6，則這個圓心角所夾的扇形的面積是

18．考點： 扇形面積公式．專題： 計算題．分析： 由弧度的定義可求得扇形的半徑，再由扇形的面積公式求解即可．解答： 解：由弧度定義得α=，所以r=6，所以S=lr=?6?6=18．故答案為：18點評： 本題考查扇形的弧長公式和面積公式，屬基礎知識、基本運算的考查．15．（5分）函數的定義域為{x|x＞2且x≠3}．考點： 函數的定義域及其求法；對數函數的定義域．專題： 計算題．分析： 根據對數函數及分式有意義的條件可得，解不等式可得解答： 解：根據對數函數及分式有意義的條件可得解可得，x＞2且x≠3故答案為：{x|x＞2且x≠3}點評： 本題屬于以函數的定義為平臺，求集合的交集的基礎題，也是高考?？嫉幕A型．16．（5分）如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上一點，G為AC與DE的交點，且，若=，，則用，表示=．考點： 向量的線性運算性質及幾何意義．專題： 平面向量及應用．分析： 利用向量的三角形法則和向量共線定理、平行四邊形的性質即可得出．解答： 解：∵，∴．∵，，∴，∴===．故答案為：．點評： 本題考查了向量的三角形法則和向量共線定理、平行四邊形的性質，屬于基礎題．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應根據要求寫出必要的文字說明．證明過程或演算步驟）17．（12分）已知函數f（x）=sin22x+sin2x?cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[，]，且f（x）=1，求x的值．考點： 三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．專題： 三角函數的圖像與性質．分析： （1）利用三角函數的倍角公式將函數進行化簡，即可求f（x）的最小正周期；（2）根據f（x）=1，解方程即可．解答： 解：（1）=…（2分）=．…（4分）因為，所以f（x）的最小正周期是．…（6分）（2）由（1）得，．因為f（x）=1，所以…（7分）而，所以，…（10分）所以…（12分）點評： 本題主要考查三角函數的周期和方程的求解，根據倍角公式將函數化簡是解決本題的關鍵．，要求熟練三角函數的圖象和性質．18．（12分）已知函數f（x）=sin（﹣）．（1）請用“五點法”畫出函數f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖（先在所給的表格中填上所需的數值，再畫圖）；（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．考點： 五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象；正弦函數的圖象．專題： 作圖題；三角函數的圖像與性質．分析： （1）分別令﹣=0，，π，，2π，得到相應的x的值及y的值，再描點即可；（2）令可解得該函數的增區(qū)間．解答： 解：（1）令，則．填表：x X 0 π 2πy 0 1 0 ﹣1 0…（5分）（2）令…（8分）解得…（10分）所以函數的單調增區(qū)間為…（12分）點評： 本題考查五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，著重考查余弦函數的單調性，屬于中檔題．19．（12分）已知函數f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期為3π．當x∈[，]時，求函數f（x）的最小值．考點： 三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法．專題： 三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．分析： 由三角函數中的恒等變換可得f（x）=2sin（ωx+）﹣1，根據周期公式即可解得ω，即可求當解析式f（x）=2sin（x+）﹣1，由≤x≤，根據正弦函數的性質即可求得函數f（x）的最小值．解答： 解：=sin（ωx）﹣2?=sin（ωx）+cos（ωx）﹣1=2sin（ωx+）﹣1…（4分）依題意函數f（x）的最小正周期為3π，即=3π，解得ω=，所以f（x）=2sin（x+）﹣1．…（6分）由≤x≤，得≤x+≤，…（8分）所以，當x+=，即x=時，…（10分）f（x）最小值=2×﹣1=﹣1．…（12分）點評： 本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的圖象與性質，屬于基礎題．20．（12分）已知點A（﹣1，0），B（0，1），點P（x，y）為直線y=x﹣1上的一個動點．（1）求證：∠APB恒為銳角；（2）若||=||，求向量+的坐標．考點： 平面向量數量積的運算．專題： 計算題；平面向量及應用．分析： （1）設出P的坐標，求出向量PA，PB的坐標，運用向量為銳角的條件，計算數量積，即可得證；（2）運用向量模的公式，計算求出x，再由向量的加減坐標運算即可得到．解答： （1）證明：點P（x，y）在直線y=x﹣1上，即點P（x，x﹣1），即，即有，則，若A，P，B三點在一條直線上，則∥，得到（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣1）x=0，方程無解，則∠APB≠0，則有∠APB恒為銳角．（2）解：由|AP|=|BP|，即，即，化簡得到2x﹣1=0，即，則，．點評： 本題考查向量的共線的坐標表示，以及向量的夾角為銳角的條件，考查向量模的公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．21．（12分）已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．考點： 兩角和與差的正弦函數；運用誘導公式化簡求值．專題： 計算題．分析： （1）利用x的范圍確定x﹣的范圍，進而利用同角三角函數的基本關系求得