MBA數(shù)學(xué)考試概率知識(shí)點(diǎn)和常見(jiàn)問(wèn)題及方法

概率知識(shí)點(diǎn)/常見(jiàn)問(wèn)題及方法知識(shí)點(diǎn).概率的概念和性質(zhì)在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率P(A).事件A的概率P(A)具有以下性質(zhì)：對(duì)于每一個(gè)事件A,0<P(A)<1.對(duì)于不可能事件P?)=1.對(duì)于必然事件P(Q)=1.對(duì)任意的兩事件A，B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AIB)..古典概型如果試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)基本事件，而且試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，這種試驗(yàn)稱(chēng)為等可能概型或古典概型.對(duì)古典概型，如果樣本空間S中基本事件的總數(shù)是n，而事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率是P(A)二m.n例如：先后拋擲兩枚均勻的硬幣，計(jì)算：(1)兩枚都出現(xiàn)正面的概率；(2)一枚出現(xiàn)正面，一枚出現(xiàn)反面的概率.【解析】?jī)纱螔仈S可能出現(xiàn)的結(jié)果是“正正”“正反”“反正”“反反”，并且這4種結(jié)果可能性都相同，是等可能事件.(1)設(shè)事件A1為“兩枚都出現(xiàn)正面”，在4種結(jié)果中，事件A1包含的結(jié)果只有一種，所以P(A)=1.14(2)設(shè)事件A2為“一枚出現(xiàn)正面，一枚出現(xiàn)反面”，在4種結(jié)果中，事件A2包含的結(jié)果有兩種，所以P(A)=2=1.2 423.和事件的概年

(1)設(shè)事件a1,q，…,4,兩兩互不相容，則P(A]UA2ULa)=P(A])+P(A2)+L+P(a).(2)對(duì)任意兩個(gè)事件A,B有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB).(3)對(duì)任意三個(gè)事件A,B,C有P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).(4)對(duì)立事件的概率P(AUA)=P(A)+P(A)=1.例如：100件產(chǎn)品中有10件次品，現(xiàn)從中取出5件進(jìn)行檢驗(yàn)，求所取的5件產(chǎn)品中至多有一件次品的概率.【解析】至多有一件次品，可以分成兩類(lèi)：一C一一，一I,… …C1C4第1類(lèi)：只有一件次品的概率為二n.C5100一 C，一I,C5第2類(lèi)：都是正品的概率為k.5100010c9020.9231.100一一.一一，，，一010c9020.9231.100所以，至多有一件次品的概率為P="+5

1004.相互獨(dú)立事件設(shè)A,B是兩個(gè)事件，如果事件A的發(fā)生和事件B的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，對(duì)于相互獨(dú)立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)；獨(dú)立事件A,B至少發(fā)生一個(gè)的概率P(AUB)=1-P(A)P(B)；獨(dú)立事件A,B至多發(fā)生一個(gè)的概率P(AUB)=1-P(A)P(B)；這一性質(zhì)在計(jì)算個(gè)獨(dú)立事件至少一個(gè)發(fā)生”的概率時(shí)，是非常有用的.例如：甲、乙兩人各獨(dú)立投籃一次，如果兩人投中的概率分別是0.6和0.5,計(jì)算：(1)兩人都投中的概率；

(2)恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率.【解析】設(shè)“甲投籃一次，投中”為事件A,“乙投籃一次，投中”為事件B,據(jù)題意P(A)=0.6,P(B)=0.5,且A,B相互獨(dú)立.(1)P(AB)=P(A)?P(B)=0.6x0.5=0.30，所以兩人都投中的概率為0.30.(2)恰有一人投中，可以分為兩種情況：甲中乙不中：A(AB)=P(A)?P(B)=0.6(1-0.5)=0.3；甲不中乙中：A(AB)=P(A)?P(B)=(1-0.6)0.5=0.2；所以恰有一人投中的概率是0.3+0.2=05兩人都不中的概率為P(AB)=(1-0.5)(1-0.6)=兩人都不中的概率為P故至少一人投中的概率為.故至少一人投中的概率為.P=1-PGb)=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.85.伯努利實(shí)驗(yàn)進(jìn)行n次相同試驗(yàn)，如果每次實(shí)驗(yàn)的條件相同，且各試驗(yàn)相互獨(dú)立，則稱(chēng)其為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).伯努利實(shí)驗(yàn)：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種可能.即事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次試驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率都相同，則這樣的試驗(yàn)稱(chēng)作n重伯努利試驗(yàn).在伯努利實(shí)驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，則在n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k(0<k<n)次的概率為P(k)=Ckpk(1-p)-k(k=0,1,2,L,n),例如：某射手射擊1次，射中目標(biāo)的概率是0.9,則他射擊4次恰好擊中目標(biāo)的概率是().【解析】P(3)=C3p3(1-p>-3=4x0.93x0.1=0.2916.4 4常見(jiàn)問(wèn)題及方法一、基本古典概型問(wèn)題(1)古典概型公式：P(A)=-n(2)古典概型的本質(zhì)實(shí)際上是排列組合問(wèn)題，所以上一節(jié)課總結(jié)的排列組合的方法及題型，在此問(wèn)題中適用.(3)常用正難則反的思路(對(duì)立事件).例1.已知10件產(chǎn)品中有4件一等品，從中任取2件，則至少有1件一等品的概率為().TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 8 13(A)3 (B)3 (C)15 (D)15 (E)-C2 1【解析】任取2件，沒(méi)有一等品的概率為占=3，,故至少有一件一等品的1012概率為1-3=3.【答案】B例2.某公司有9名工程師，張三是其中之一，從中任意抽調(diào)4人組成攻關(guān)小組，包括張三的概率是().22 1 45(A)- (B)- (C)3 (D)- (E)-【解析】選張三，再?gòu)钠溆嗟?個(gè)人中任意選3個(gè)即可，即為C3；故包括8C3-張三的概率為P=c-=9.9【答案】d例3.將2個(gè)紅球與1個(gè)白球隨機(jī)地放人甲、乙、丙三個(gè)盒子中，則乙盒中至少有一個(gè)紅球的概率為().1 8 - 5 17(A)9 (B= (C)9 (D)9 (E)-7【解析】方法一：可分為兩類(lèi)：乙盒子中有1個(gè)紅球：先從2個(gè)紅球中選1個(gè)放入乙盒子，另外1個(gè)紅球在甲、丙兩個(gè)盒子中任選一個(gè)，白球在3個(gè)盒子中任意選擇，即C1-C1-3；--乙盒子中有2個(gè)紅球：先將2個(gè)紅球放入乙盒子，白球可以在3個(gè)盒子中任意選擇，即C13所以，概率為CjCJ"C1=5.33 9

方法二：剔除法.乙盒中沒(méi)有紅球，則紅球在甲丙兩個(gè)盒子中任意選擇，白球在3個(gè)盒子中任意選擇，即22Ci,所以乙盒中至少有1個(gè)紅球的概率為1-上自=53 33 9二、古典概型之骰子問(wèn)題(1)骰子問(wèn)題必用窮舉法.(2)常與解析幾何結(jié)合考查，一般需要轉(zhuǎn)化為不等式求解.例1若以連續(xù)擲兩枚骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)〃與b作為點(diǎn)M的坐標(biāo)，則點(diǎn)M落入圓x2+y2=18內(nèi)(不含圓周)的概率是().(A)看3621(A)看36214(D)—1811(E)36【解析】點(diǎn)M落入圓x2+y2=18內(nèi)，即a2+b2V18，貝U(a,b)=(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1),10 5共計(jì)10種，所以，落在圓內(nèi)的概率p=-0=-5.3618【答案】D例2若以連續(xù)兩次擲色子得到的點(diǎn)數(shù)a和b作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P(a,b)落在直線x+y=6和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形內(nèi)的概率為().TOC\o"1-5"\h\z172 1 5\o"CurrentDocument"(A)- (B)— (C)— (D) (E)—6 36 9 4 18【解析】落在三角形內(nèi)部，只需要a+b<6即可，利用窮舉法可知，P點(diǎn)可以為：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)共105計(jì)10種，總共的不同可能點(diǎn)數(shù)為6x6=36(種).故所求概率為P=36=158.【答案】E三、古典概型之幾何體涂漆問(wèn)題將一個(gè)正方體六個(gè)面涂成紅色，然后切成〃3個(gè)小正方體，則(1)3面紅色的小正方體：8個(gè)，位于原正方體角上.2面紅色的小正方體：12(n-2)個(gè)，位于原正方體棱上.1面紅色的小正方體：6(n-2)2個(gè)，位于原正方體面上(不在棱上的部分).(4)沒(méi)有紅色的小正方體：(n-2》個(gè)，位于原正方體內(nèi)部.例1．將一個(gè)白木質(zhì)的正方體的六個(gè)表面都涂上紅漆，再將它鋸成64個(gè)小正方體.從中任取3個(gè)，其中至少有1個(gè)三面是紅漆的小正方體的概率是().(A)0.065 (B)0.578 (C)0.563 (D)0.482 (E)0.335【解析】3面有紅漆的小正方體位于大正方體的頂點(diǎn)上，有8個(gè)；任取3個(gè)至少1個(gè)三面是紅漆的反面是任取3個(gè)沒(méi)有1個(gè)三面是紅漆，故所求概率為p=1-續(xù)=1-165C3 24864【答案】E例2．將一塊各面均涂有紅漆的正立方體鋸成125個(gè)大小相同的小正立方體，從這些小正立方體中隨機(jī)抽取一個(gè)，所取到的小正立方體至少兩面涂有紅漆的概率是().(A)0.064 (B)0.216 (C)0.288 (D)0.352 (E)0.235【解析】小立方體位于大正立方體的角上時(shí)，有3面為紅色，數(shù)量為8個(gè)；小立方體位于大正立方體的棱上時(shí)，有2面為紅色，數(shù)量為36個(gè).故所求概率P=44-=0.352.125【答案】D練習(xí)：將一個(gè)表面漆有紅色的長(zhǎng)方體分割成若干個(gè)體積為1立方厘米的小正方體，其中，一點(diǎn)紅色也沒(méi)有的小正方體有3塊，那么原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積為()平方厘米.(A)32 (B)64 (C)78 (D)27 (E)18【解析】沒(méi)有紅色的小正方體位于原來(lái)的長(zhǎng)方體的內(nèi)部，這三個(gè)小正方體一定是一字排開(kāi)的，長(zhǎng)寬高分別為1，1，3；所以，原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高應(yīng)為3,3,5.故表面積為2*3*3+4*5*3=78(平方厘米).四、數(shù)字之和問(wèn)題例1．袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，則得分不大于6分的概率是（）.TOC\o"1-5"\h\z23 4 25 13（A）-3 （B）- （C）-5 （D）1342 7 42 -1【解析】得分不大于6,分為三種情況：兩紅兩黑，三黑一紅，四黑；故得分不大于6的概率為C2C2+C1C3+C0C4 23―6~4 6~4 6~4-=C4 42.10【答案】A例2.若從原點(diǎn)出發(fā)的質(zhì)點(diǎn)m向x軸的正向移動(dòng)一個(gè)和兩個(gè)坐標(biāo)單｛2航甩21率分別是-和1,33則該質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)3個(gè)坐標(biāo)單位，到達(dá)x=3的概率是（）.19(A)-927（嗚7(C)922(D)—-2723(E)—-27【解析】3=1+2=2+1=1+1+1，故可分為三類(lèi):21先移動(dòng)1個(gè)單位，再移動(dòng)2個(gè)單位：P=-義1；23312先移動(dòng)2個(gè)單位，再移動(dòng)一個(gè)單位：P=1義2；133（2三次移動(dòng)1個(gè)單位：P=2.3I3J27故到達(dá)X=3的概率為P=P+P+P=--.1 2 3 20【答案】B五、袋中取球問(wèn)題袋中取球模型有3類(lèi)：（1）無(wú)放回取球模型.設(shè)口袋中有〃個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后不再放回袋中，則恰好取了m（m<a）個(gè)白球，n（n<b）個(gè)黑球的概率是P=CmCCm+n

a+b【拓展】抽簽?zāi)Ｐ?設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后不再放回袋中，則第k次取到白球的概率為P=-a-，與k無(wú)關(guān).a+b（2）一次取球模型.設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，一次取出若干個(gè)球，則恰好取了m（m<a）個(gè)白球，n（n<b）個(gè)黑球的概率是P=C=；可見(jiàn)一次取球模型的概率與無(wú)放Cm+n

a+b回取球相同.（3）有放回取球模型.設(shè)口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，逐一取出若干個(gè)球，看后放回袋中，則恰好取了k（k<a）個(gè)白球，n-k（n-k<b）個(gè)黑球的概率是P=Ckn上述模型可理解為伯努利概型：口袋中有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，從中任取一個(gè)球，將這個(gè)實(shí)驗(yàn)做n次，出現(xiàn)了k次白球，n-k次黑球.例1．袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，求：（1）取得的兩球同色的概率；（2）取得的兩球至少有一個(gè)是白球的概率.【解析】從8個(gè)球中任取2個(gè)球的取法為C82，所以 …， C2+C2（1）任取兩球同色的取法為C2+C2,所以，取兩球同色的概率為P=七L5 3 C28C2（2）任取兩球全是黑球的概率C2，所以，任取兩球至少有一白球的概率為8C2P=1—T-.C28例2．小袋中有10個(gè)小球，其中有7個(gè)黑球，3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)小球，至少有一個(gè)是紅球的概率為（）.【解析】方法一：C1-C1 7恰好有1個(gè)紅球的概率為P(A)=7,3=—；C2 1510恰好有2個(gè)紅球的概率為P(B)=C=15；10所以至少有一個(gè)紅球的概率是P(AUB)=P(A)+P(B)=—+.1=-8151515方法二：剔除法.C27從10個(gè)小球中任取2個(gè)，全為黑球的概率為太=15,10事件A是“從10個(gè)球中任取2球，至少一個(gè)是紅球”的對(duì)立事件，所以至少78有一個(gè)紅球的概率P=1-15=15.【答案】D例3.在一個(gè)不透明的布袋中裝有2個(gè)白球、m個(gè)黃球和若干個(gè)黑球，它們只有顏色不同.則m=3.(1)從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到白球的概率是0.2；(2)從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是0.3.【解析】單獨(dú)顯然不充分，聯(lián)立兩個(gè)條件：2由條件(1)：摸到白球的概率，P=—=0.2，得n=10，可知一共有10個(gè)球；nm由條件(2)：P=—=0.3，得m=3，可知黃球?yàn)?個(gè)；10故聯(lián)立起來(lái)充分.【答案】C練習(xí)：某裝置的啟動(dòng)密碼是由0到9中的3個(gè)不同數(shù)字組成，連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤密碼，就會(huì)導(dǎo)致該裝置永久關(guān)閉，一個(gè)僅記得密碼是由3個(gè)不同數(shù)字組成的人能夠啟動(dòng)此裝置的概率為().(A)— (B)— (C)— (D)— (E)—120 '7168 v7240 '7720 '71000【解析】分為三類(lèi)：11第一類(lèi)：嘗試一次即成功的概率為=亍不；A3 72010719 1 1第二類(lèi)：第一次嘗試不成功，第二次嘗試成功的概率為7290義719=720；第三類(lèi)：第一、二次嘗試不成功，第三次嘗試成功的概率為719718 1 1 義 義 = 720719718720由加法原理，能啟動(dòng)裝置的概率為3義上=-1-.720240【快速得分法】抽簽原理的應(yīng)用(不放回的取球).31本題相當(dāng)于有720個(gè)簽，抽3個(gè)抽中正確密碼即可，故概率為720=前.【答案】C六、獨(dú)立事件的概率獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：P(AB)=P(A)P(B).例1.檔案館在一個(gè)庫(kù)房中安裝了〃個(gè)煙火感應(yīng)報(bào)警器，每個(gè)報(bào)警器遇到煙火成功報(bào)警的概率為P.該庫(kù)房遇煙火發(fā)出報(bào)警的概率達(dá)到0.999.n=3,p=0.9；n=2,p=0.97.【解析】條件(1):均未報(bào)警的概率為(1-0.9)3=0.001,故報(bào)警概率為-0.001=0.999，條件(1)充分.條件(2):均未報(bào)警的概率為(1-0.97》=0.0009,故報(bào)警概率為1-0.0009=0.9991，故條件(2)充分.【答案】D例2.圖79是一個(gè)簡(jiǎn)單的電路圖，S1,S2,S3表示開(kāi)關(guān)，隨機(jī)閉合S1,S2,S3中的兩個(gè)，燈泡發(fā)光的概率是().TOC\o"1-5"\h\z11 1 1 2(A) (B) (C) (D)- (E)-64 3 2 3【解析】閉合兩個(gè)開(kāi)關(guān)，燈泡發(fā)光的情況為：S1s2或S2s3,共2種情況；閉2合兩個(gè)開(kāi)關(guān)的所有可能情況為：SS或SS或SS，共3種情況.故概率為-.12 13 23 3【答案】E【答案】E例3．在10道備選試題中，甲能答對(duì)8題，乙能答對(duì)6題.若某次考試從這10道備選題中隨機(jī)抽出10道備選題中隨機(jī)抽出3道作為考題至少答對(duì)2題才算合格，則甲、乙兩人考試都合格的概率是（）.(A)考試都合格的概率是（）.(A)25 (B)2(D)45【解析】甲考試合格的概率是C3【解析】甲考試合格的概率是C31014行；乙考試合格的概率是6 6~4C31014228甲、乙兩人相互獨(dú)立所以他們考試都合格的概率為15x3二45【答案】A七、闖關(guān)問(wèn)題（1）闖關(guān)問(wèn)題一般符合獨(dú)立事件的概率公式：P（AB）=P（A）P（B）（2）闖關(guān)問(wèn)題一般前幾關(guān)滿足題干要求后，后面的關(guān)就不用闖了，因此未必是每關(guān)都試一下成功不成功.所以要根據(jù)題意進(jìn)行合理分類(lèi).例1．在一次競(jìng)