2012年北師大數(shù)學(xué)選修4-5：第2章2知能優(yōu)化訓(xùn)練

1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>NC．M<NB．M≥ND．M≤N解析：選B.由排序不等式，知M≥N.2．設(shè)a，b，c為正數(shù)，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P>QC．P<QB．P≥QD．P≤Q解析：選B.不妨設(shè)a≥b≥c>0，∴a2≥b2≥c2>0.由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.3．已知兩組數(shù)1,2,3和2,3,4，c1，c2，c3是1,2,3的任一排列，d1，d2，d3是2,3,4的任一排列，2c1＋3c2＋4c3的最大值為M，d1＋2d2＋3d3的最大值為N，則()A．M＝NC．M<NB．M>ND．M與N大小不定解析：選A.其最大值都是1×2＋2×3＋3×4＝20.4．順序和，反序和，亂序和大小關(guān)系是________．答案：反序和≤亂序和≤順序和5．某班學(xué)生要開(kāi)聯(lián)歡會(huì)，需要買(mǎi)價(jià)格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為3元，2元和1元的禮品，則至少要花()A．6元B．19元D．3元C．25元解析：選B.由排序原理可知：花錢(qián)最少為：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．6．a(chǎn)1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，則a1b＋a2b＋…＋anb的最小值是()A．1B．nC．n2D．無(wú)法確定解析：選B.設(shè)a1≥a2≥…≥an>0，可知a≥a≥…≥a.由排序原理，得a1b＋a2b＋…＋anb.≥a1a＋a2a＋…＋ana＝n.7．已知a，b，c為正數(shù)，P＝，Q＝abc，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P>QC．P<QB．P≥QD．P≤Q解析：選B.不妨設(shè)a≥b≥c>0，則0<≤≤，0<bc≤ca≤ab，由排序原理：順序和≥亂序和，得＋＋≥＋＋，即≥a＋b＋c，∵a，b，c為正數(shù)，∴abc>0，a＋b＋c>0，≥abc，即P≥Q.8．一組實(shí)數(shù)為a1，a2，a3，設(shè)c1，c2，c3是另一組數(shù)b1，b2，b3的任一排列，則a1c1＋a2c2＋a3c3的()于是A．最大值a1b1＋a2b2＋a3b3，最小值a1b3＋a2b2＋a3b1B．最大值a1b2＋a2b3＋a3b1，最小值a1b3＋a2b1＋a3b2C．最大值與最小值相等為a1b1＋a2b2＋a3b3D．以上答案都不對(duì)解析：選D.a1，a2，a3與b1，b2，b3的大小順序不知，無(wú)法確定其最值．9．等差數(shù)列1,2,3，…，n，等比數(shù)列1，a，a2，a3，…，an－1(a>1)，設(shè)c1，c2，…，cn是等比數(shù)列的任一排列，則c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn的最大值為()A.C.B.－nan－nanD.－解析：選D.最大值為S＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，用錯(cuò)位相減法求和，可得．10．設(shè)a≥b>0，則a3＋b3與a2b＋ab2的大小關(guān)系是________．解析：∵a≥b>0，∴a2≥b2>0，因此a3＋b3≥a2b＋ab2.(排序不等式)．答案：a3＋b3≥a2b＋ab211．已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)________0(填>，≥，<，≤)．解析：設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，根據(jù)排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab.即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：≥12．已知a，b，c∈(0，＋∞)．a(chǎn)≥b≥c，求證：＋＋≥＋＋.證明：∵a≥b>0，于是≤，∵c>0，∴>0，∴≥.同理：b≥c>0，∴≤，∵a>0，∴>0.≥.∴≥≥.于是由順序和≥亂序和得＋＋≥＋＋＝＋＋(因?yàn)閍2≥b2≥c2，≥≥)≥＋＋＝＋＋＝＋＋.13．在△ABC中，ha，hb，hc為邊長(zhǎng)a，b，c的高，求證：asinA＋bsinB＋csinC≥ha＋hb＋hc.證明：不妨設(shè)a>b>c，則對(duì)應(yīng)的角A>B>C.A，B，C∈(0，π)，∴sinA>sinB>sinC.由排序原理