《一元二次不等式及其解法》典型例題選講

《一元二次不等式及其解法》典型例題選講題型1：考查一元二次函數(shù)的性質(zhì)例1函數(shù)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）A．B．C．D．解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴函數(shù)）是單調(diào)函數(shù)，．故選A．歸納小結(jié)：二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是和，結(jié)合開(kāi)口方向就可得出所需的條件，從而求出的范圍．例2已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，截軸上的弦長(zhǎng)為，且過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)的解析．解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，可設(shè)所求函數(shù)為，∵截軸上的弦長(zhǎng)為，∴過(guò)點(diǎn)和，又過(guò)點(diǎn)，∴，解之得，∴．歸納小結(jié)：求二次函數(shù)的解析式一般采用待定系數(shù)法，但要注意根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问剑阂话闶?、零點(diǎn)式和頂點(diǎn)式，正確的選擇會(huì)使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化．題型2：簡(jiǎn)單不等式的求解問(wèn)題例3求下列不等式的解集．（1）；（2）解法一：因?yàn)椋?，原不等式的解集是．解法二：整理，得．因?yàn)闊o(wú)實(shí)數(shù)解，所以不等式的解集是．從而，原不等式的解集是．歸納小結(jié)：解一元二次不等式要抓住“三個(gè)二次”的關(guān)系，按照解一元二次不等式的步驟求解，必要時(shí)要畫出二次函數(shù)的圖象進(jìn)行觀察．例4不等式的解集為，求與的值．解法一：設(shè)的兩根為、，由韋達(dá)定理得：由題意得∴，，此時(shí)滿足，．解法二：構(gòu)造解集為的一元二次不等式：，即，此不等式與原不等式應(yīng)為同解不等式，故，．歸納小結(jié)：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．在解題時(shí)要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的關(guān)系．題型3：含參不等式的求解問(wèn)題例5解關(guān)于的不等式．證：分以下情況討論(1)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋?，∴即不等式的解集?2)當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋孩佗佼?dāng)時(shí)，①式變?yōu)椋嗖坏仁降慕鉃榛颍床坏仁降慕饧癁?；②?dāng)時(shí)，①式變?yōu)椋凇?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)②的解為．即不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)②的解為．當(dāng)時(shí)，，即不等式的解集為．歸納小結(jié)：解本題要注意分類討論思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是要找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，就本題來(lái)說(shuō)有三級(jí)分類：分類應(yīng)做到使所給參數(shù)的集合的并集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時(shí)，解一元二次不等式應(yīng)首選做到將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)再求解．題型4：一元二次不等式的應(yīng)用例6（1）（2008天津卷理）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A．B．C．D．解：依題意得所以，選C．（2）（2007重慶理）若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為_(kāi)______．解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，，故選A．歸納小結(jié)：解一元二次不等式往往與分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合進(jìn)行綜合考查，一般是借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相應(yīng)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)“三個(gè)二次”之間的緊密聯(lián)系，這也是一元二次不等式的重要考點(diǎn)之一．例7已知函數(shù)的最大值為，求的值．解：令，，∴，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，，得或（舍去）．當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得（舍去）．綜上可得，的值為或．歸納小結(jié)：令，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，再由對(duì)稱軸與區(qū)間的三種位置關(guān)系的討論就可求得的值．此題中要注意的條件．例8設(shè)不等式的解集為，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍？分析：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問(wèn)題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗．解：有兩種情況：其一是=，此時(shí)＜0；其二是M≠，此時(shí)=0或＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍．設(shè)，有==，當(dāng)＜0時(shí)，－1＜＜2，=；當(dāng)=0時(shí)，=－1或2；當(dāng)=－1時(shí)=；當(dāng)=2時(shí)，=當(dāng)＞0時(shí)，a＜－1或a＞2．設(shè)方程的兩根，，且＜，那么M=［，］，M1≤x1＜x2≤4，即解得2＜＜，∴M［1，4］時(shí)，的取值范圍是(－1，)．歸納小結(jié)：此題考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系．本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．是符合題設(shè)條件的情況之一，出發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關(guān)于a的不等式要全面、合理，易出錯(cuò)．四、本專題總結(jié)在復(fù)習(xí)一元二次不等式的解法時(shí)