第4章 隨機(jī)變量(向量)的數(shù)字特征

前面的課程中,我們討論了隨機(jī)變量及其分布,如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了.但在實(shí)際問(wèn)題中,概率分布一般是較難確定的.

而且在一些實(shí)際應(yīng)用中,人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì),只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

引言

例如,評(píng)定一批燈泡的質(zhì)量,主要應(yīng)看這批燈泡的平均壽命和燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差.平均壽命越長(zhǎng),燈泡的質(zhì)量就越好,燈泡壽命相對(duì)于平均壽命的偏差越小,燈泡的質(zhì)量就越穩(wěn)定．

因此,在對(duì)隨機(jī)變量的研究中,確定某些數(shù)字特征是重要的.下面我們來(lái)學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征．第4章隨機(jī)變量(向量)的數(shù)字特征4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.3隨機(jī)向量的數(shù)字特征4.2隨機(jī)變量的方差4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一.它的定義來(lái)自習(xí)慣上的平均值概念.

引例

某企業(yè)對(duì)自動(dòng)流水線加工的產(chǎn)品實(shí)行質(zhì)量監(jiān)測(cè)，每天抽檢一次，每次抽取5件，檢驗(yàn)產(chǎn)品是否合格，在抽檢的30天的記錄中，無(wú)次品的有18天，一件次品的有9天，兩件次品的有3天，求日平均次品數(shù)．次品數(shù)

012345總計(jì)天數(shù)頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望日平均次品數(shù)次品數(shù)

012345總計(jì)天數(shù)頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001可能出現(xiàn)的次品數(shù)與其相對(duì)應(yīng)頻率乘積的和日平均次品數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”的穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”等于次品數(shù)的可能值與其概率之積的和由概率的統(tǒng)計(jì)定義知：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),頻率會(huì)穩(wěn)定于概率Pi日平均次品數(shù)次品數(shù)

012345總計(jì)天數(shù)頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001日平均次品數(shù)頻率隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng)穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”的穩(wěn)定值“日平均次品數(shù)”等于次品數(shù)的可能值與其概率之積的和一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?例1

誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好.甲射手乙射手解故甲射手的技術(shù)比較好.例2

如何確定投資決策方向?

某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金，想投資于某項(xiàng)目，預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為30%，可得利潤(rùn)8萬(wàn)元，失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失2萬(wàn)元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問(wèn)是否作此項(xiàng)投資?解設(shè)X為投資利潤(rùn)，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.例3

商店的銷(xiāo)售策略解到站時(shí)刻概率例4解到站時(shí)刻概率到站時(shí)刻概率幾個(gè)重要的離散型分布的數(shù)學(xué)期望1.2.因?yàn)樗訮oisson分布的參數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望幾個(gè)重要的離散型分布的數(shù)學(xué)期望1.2.因?yàn)樗訮oisson分布的參數(shù)就是它的數(shù)學(xué)期望3.其概率分布為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義的引出設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度為

f(x),在數(shù)軸上任取很密的分點(diǎn)x1<

x2<

x3<…,則X落在小區(qū)間[xk,xk+xk)內(nèi)的概率是f(x)x小區(qū)間面積近似為由于xk與xk+xk很接近,所以區(qū)間[xk,xk+xk)中的值可以用

xk來(lái)近似代替.因此X≈

取值

xk、概率為的離散型隨機(jī)變量,

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X落在小區(qū)間[xk,xk+xk)內(nèi)的概率是

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X的數(shù)學(xué)期望是這啟發(fā)我們引出如下連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).例5

顧客平均等待多長(zhǎng)時(shí)間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間

X(以分計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?幾個(gè)重要的連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望1.因?yàn)樗跃鶆蚍植嫉钠谕麨閰^(qū)間中點(diǎn)因?yàn)樗?.3.因?yàn)樗?.因?yàn)樗訡auchy分布的數(shù)學(xué)期望不存在Cauchy分布是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X

的分布求得E[g(X)]呢？

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布

一種方法是:g(X)也是隨機(jī)變量,它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái).一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).下面的定理指出答案是肯定的.如何計(jì)算X

的某個(gè)函數(shù)g(X)

的期望？

三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

定理

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Y=g(X)（g為連續(xù)函數(shù)）解:例6設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為解:例6設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為推廣

設(shè)隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量X,Y

的連續(xù)函數(shù)Ｚ=g(X,Y)，則聯(lián)合分布律

聯(lián)合密度函數(shù)解例7設(shè)(X,Y)的分布律為由于由于例8

設(shè)某一機(jī)器加工某種產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次,每次隨機(jī)地抽取5件產(chǎn)品檢驗(yàn),如果發(fā)現(xiàn)多于一件次品,就要調(diào)整機(jī)器,求一天中調(diào)整機(jī)器的平均次數(shù).解:某次檢驗(yàn)需要調(diào)整機(jī)器的概率為一天中調(diào)整機(jī)器的平均次數(shù)例8

設(shè)某一機(jī)器加工某種產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次,每次隨機(jī)地抽取5件產(chǎn)品檢驗(yàn),如果發(fā)現(xiàn)多于一件次品,就要調(diào)整機(jī)器,求一天中調(diào)整機(jī)器的平均次數(shù).解:某次檢驗(yàn)需要調(diào)整機(jī)器的概率為一天中調(diào)整機(jī)器的平均次數(shù)1.設(shè)C是常數(shù),則有2.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有例9

求二項(xiàng)分布X~B(n,p)

的數(shù)學(xué)期望則

X=X1+X2+…+Xn=np若設(shè)i=1,2，…，n因?yàn)?/p>

P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p所以

E(X)=解

由于X表示n重伯努利試驗(yàn)中某事件Ａ“發(fā)生”

次數(shù).

E(Xi)==pi=1,2，…，n解例10作業(yè)P118練習(xí)4.11.2.3.4.4.2隨機(jī)變量的方差一、方差的概念二、方差的性質(zhì)三、矩

上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.例如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差一、方差的概念由于它與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用.方差的算術(shù)平方根稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2存在，則稱(chēng)D(X)=E[X-E(X)]2為X的方差.方差刻畫(huà)了隨機(jī)變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.從方差的定義易見(jiàn)：(1)若的取值比較集中，則方差較?。?2)若的取值比較分散，則方差較大；說(shuō)明(3)若方差則隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)值，此時(shí)也就不是隨機(jī)變量了.離散型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量方差的計(jì)算

(1)

利用定義計(jì)算

證明(2)利用公式計(jì)算例1設(shè)隨機(jī)變量具有分布,其分布律為求解故例2設(shè)求解的分布律為則而故方差可見(jiàn),泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差相等,于參數(shù)因此就能完全確定它的分布了.都等只要知道泊松分布的數(shù)學(xué)期望或方差例3設(shè)求解的概率密度為而故所求方差為例4設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布,其概率密度為其中求解于是即有例5解證明(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明二、方差的性質(zhì)(3)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣例6設(shè)解表示重伯努利試驗(yàn)中“成功”的次數(shù).若設(shè)如第次試驗(yàn)成功如第次試驗(yàn)失敗則是次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),且服從分布.故求故由于相互獨(dú)立,于是例7設(shè)證明:當(dāng)時(shí),達(dá)到最小值.證依題兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),有顯然當(dāng)時(shí),又因所以當(dāng)時(shí),達(dá)到最小值,最小值為顯然例8解:定義若且它們相互獨(dú)立，則它們的非零線性組合：是不全為0的常數(shù))仍然服從正態(tài)分布，于是，由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)知一個(gè)重要的結(jié)果.故有例如，若且相互獨(dú)立，則也服從正態(tài)分布，而三、矩定義

分別記為顯然即換算公式數(shù)學(xué)期望、方差、矩統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)字特征作業(yè)P124練習(xí)4.21.2.3.4.3隨機(jī)向量的數(shù)字特征一、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)二、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望向量、方差向量、協(xié)方差矩陣、相關(guān)系數(shù)矩陣三、n維正態(tài)分布前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征.一、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)在一定程度上反映了隨機(jī)變量與之間的關(guān)系.在證明方差的性質(zhì)時(shí)，已經(jīng)知道，當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，有反之則說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，與一定不相互獨(dú)立，這說(shuō)明量協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，若存在，則稱(chēng)其為隨機(jī)變量和的協(xié)方差，記為即其概率分布為則若為連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度為為離型隨機(jī)向量，若利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，易將協(xié)方差的計(jì)算化簡(jiǎn).特別地，有與獨(dú)立時(shí)，當(dāng)協(xié)方差計(jì)算的簡(jiǎn)化公式協(xié)方差的性質(zhì)1.協(xié)方差的基本性質(zhì)(1)(2)(3)常數(shù)；(4)(5)其中是為任意常數(shù)；(6)當(dāng)與相互獨(dú)立，則2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地，若與相互獨(dú)立，注：①上述結(jié)果可推廣至維情形：則②若兩兩獨(dú)立，則有③可以證明：若的方差存在，則協(xié)方差一定存在且滿足下列不等式：例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布如右表,求解容易求得的概率分的概率分布為布為計(jì)算得于是例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求解由的密度函數(shù)可求得其邊緣密度函數(shù)分別為:從而協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.為避免隨機(jī)變量本身度量單位不同而影響它們相互關(guān)系的度量，可將每個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化，即取并將作為與之間相互關(guān)系的一種度量，而定義設(shè)為二維隨機(jī)向量，稱(chēng)為隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)，有時(shí)也記為特別地，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)與不相關(guān).相關(guān)系數(shù)的定義定理1.定理2.若和相互獨(dú)立，則反之不然.注：例3設(shè)的分布律為易知于是不相關(guān).但知不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,和具有關(guān)系:的值完全可由