第6章常微分方程單元自測(cè)題

1、基本概念：微分方程，方程的階，線性微分方程，方程的解，通解，特解2、可分離變量方程或分離變量方程的通解為各求各的積分代入方程，求出再將進(jìn)行加代即可。3、齊次微分方程令，則4、一階齊次線性微分方程通解為5、一階非齊次線性微分方程通解為即6、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）（2）定理若

是(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，則是(2)的通解。定理設(shè)

是(1)的一個(gè)特解，

是(2)的通解，則是(1)的通解。定理

若（1）

是的一個(gè)特解（2）

是的一個(gè)特解則是的一個(gè)特解特解的疊加原理7、二階常系數(shù)齊次線性微分方程為常數(shù)求通解的步驟：寫出特征方程：求出特征根：寫出通解：（1）若為實(shí)根，則（2）若，則（3）若，則8、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為常數(shù)類型I：次多項(xiàng)式特解：其中8、二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的步驟：寫特征方程：求特征根：寫出齊次通解。寫齊次方程：求特解：設(shè)，代入原方程。一、填空題1.微分方程

的通解為

。分析解得可分離變量方程：方程可變形為兩邊積分其中是任意常數(shù)。2.微分方程

滿足初始條件分析其中可分離變量方程：方程可變形為兩邊積分的特解為2.微分方程

滿足初始條件分析其中可分離變量方程：方程可變形為兩邊積分的特解為2.微分方程

滿足初始條件分析所以，通解為可分離變量方程：方程可變形為兩邊積分的特解為其中是任意常數(shù)。2.微分方程

滿足初始條件分析通解為的特解為將代入：即，解得所以，特解為：3.微分方程

的通解為分析其中是任意常數(shù)。二階常系數(shù)齊次線性微分方程：特征方程為解得特征根所以，方程的通解為二、選擇題1．下列微分方程中，通解為的微分方程是（

B

）。（A）;（B）（C）;（D）分析（A）特征方程為解得特征根（B）特征方程為解得特征根二、選擇題1．下列微分方程中，通解為的微分方程是（

B

）。（A）;（B）（C）;（D）分析（C）特征方程為解得特征根（D）特征方程為解得特征根2．微分方程

的特解形式（其中為常數(shù)）為(A)。（A）;（B）（C）;（D）分析特征方程為解得特征根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：類型I所以，特解為3．微分方程

的特解形式（其中為常數(shù)）為(B)。（A）

；

（B）（C）

；

（D）分析特征方程為解得特征根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：(1)：特解為(2)：特解為所以，原方程特解為解1.三、求下列微分方程的通解：可分離變量方程解得方程可變形為兩邊積分其中是任意常數(shù)。解2.令則代入方程得齊次方程即解得方程可變形為兩邊積分：其中是任意常數(shù)。將代入得：解3.方程可變形為其中是任意常數(shù)。一階非齊次線性微分方程直接用公式：解3.（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，解4.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：類型I方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為解得特征根所以，齊次方程的通解為設(shè)是非齊次方程的特解，則解4.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：類型I代入非齊次方程得整理得比較系數(shù)得所以，從而，非齊次方程的通解為解1.已知曲線

經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與四、應(yīng)用題：（1）解：直線平行，而

滿足微分方程求該曲線的方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程為解得特征根所以，方程的通解為解1.已知曲線

經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與四、應(yīng)用題：（2）求特解：由題意知，直線平行，而

滿足微分方程求該曲線的方程。所以