第10章 第4課時 隨機(jī)事件的概率

第十章計(jì)數(shù)原理和概率第4課時隨機(jī)事件的概率1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率區(qū)別．2．了解兩個互斥事件的概率加法公式．請注意1．多以選擇題或填空題的形式直接考查互斥事件的概率及運(yùn)算，而隨機(jī)事件的有關(guān)概念和頻率很少直接考查．2．互斥事件、對立事件發(fā)生的概率問題有時也會出現(xiàn)在解答題中，多為應(yīng)用問題．1．隨機(jī)事件及其概率(1)必然事件：_____________________________．(2)不可能事件：________________________________．(3)隨機(jī)事件：________________________________________．在一定條件下必然要發(fā)生的事件在一定條件下不可能發(fā)生的事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件頻率

常數(shù)

2．事件的關(guān)系與運(yùn)算(1)一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，事件B______發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱A包含于事件B)，記作

(或

)．(2)若

，且

，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B.(3)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生

事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或

)，記作

______(或

)．一定B?AA?BB?AA?B或和事件A∪BA＋B(4)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生

事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A事件B的交事件(或

)，記作___________．(5)若A∩B為不可能事件，(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥，其含義是：_________________________________________．(6)若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B

，其含義是：______________________________________________．且積事件A∩B(或AB)事件A與事件B在任一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生互為對立事件A與事件B在任一次試驗(yàn)中有且僅有一個發(fā)生3．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍為

.(2)必然事件的概率為

.(3)不可能事件的概率為

.(4)互斥事件概率的加法公式：若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

．特別地，若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝____________．0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)1．判斷下面結(jié)論是否正確(打“√”或“×”)．(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的．(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事．(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(5)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(6)6張券中只有一張有獎，若甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率．答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×2．某人在打靶時，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是(

)A．至多有1次中靶 B．2次都中C．2次都不中靶 D．只有1次中靶答案C3．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對立事件的是(

)A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依據(jù)互斥和對立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是對立事件；只有A是互斥事件但不是對立事件．4．?dāng)S一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，則下列結(jié)果正確的是(

)答案D

6．將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為________．例1某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩個同時在地鐵第1號車站(首車站)乘車．假設(shè)每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的．約定用有序數(shù)對(x，y)表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車”．(1)用有序數(shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；(2)求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；(3)求甲、乙兩人同在第4號車站下車的概率．題型一隨機(jī)事件及概率【解析】

(1)用有序數(shù)對(x，y)表示甲在x號車站下車，乙在y號車站下車，則甲下車的站號記為2,3,4共3種結(jié)果，乙下車的站號也是2,3,4共3種結(jié)果．甲、乙兩個下車的所有可能結(jié)果有9種，分別為：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,2)，(4,3)，(4,4)．探究1解決這類問題的方法是弄清隨機(jī)試驗(yàn)的意義和每個事件的含義．判斷一個事件是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的依據(jù)是在一定的條件下，所要求的結(jié)果是否一定出現(xiàn)、不可能出現(xiàn)或可能出現(xiàn)、可能不出現(xiàn)．隨機(jī)事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生所包含的結(jié)果數(shù)與該試驗(yàn)包含的所有結(jié)果數(shù)的比．

同時擲兩顆骰子一次，(1)“點(diǎn)數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“點(diǎn)數(shù)之和在2～13范圍之內(nèi)”是什么事件？其概率是多少？(3)“點(diǎn)數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？【思路】依定義及概率公式解答．思考題1例2某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與C；(4)C與E.題型二隨機(jī)事件的關(guān)系【解析】

(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件．(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件；由于事件B發(fā)生會導(dǎo)致事件E一定不發(fā)生，且事件E發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定不發(fā)生，故B與E還是對立事件．(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”“訂甲、乙兩種報(bào)紙”，事件C“至多訂一種報(bào)紙”中有這些可能：“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)紙”“只訂乙報(bào)紙”，由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件．【答案】

(1)不互斥(2)互斥還對立(3)不互斥(4)不互斥探究2對互斥事件要把握住不同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系． (1)對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________．【解析】設(shè)I為對飛機(jī)連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因?yàn)锳∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件．【答案】

A與B，A與C，B與C，B與D，B與D思考題2(2)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是(

)A．A＋B與C是互斥事件，也是對立事件B．A＋B與D是互斥事件，也是對立事件C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對立事件【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個必然事件，故其事件間的關(guān)系可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件同，任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件．【答案】

D例3如圖所示，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：題型三隨機(jī)事件的頻率與概率所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率，(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．【解析】

(1)由已民知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站有12＋12＋16＋4＝44人．∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)和P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2.【答案】

(1)0.44

(2)略(3)甲應(yīng)選擇L1，乙應(yīng)選擇L2探究3頻率是個不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生可能性的大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小，通過大量重復(fù)試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某個固定的值，這個值就是概率．

某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：思考題3A配方的頻數(shù)分布表B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分值[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228指標(biāo)值分值[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210【答案】

(1)用A配方優(yōu)質(zhì)品率約為0.3，用B配方優(yōu)質(zhì)品率約為0.42(2)2.68元例4

(1)某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：求：①派出醫(yī)生至多是2人的概率；②派出醫(yī)生至少是2人的概率．題型四互斥與對立概念的初步應(yīng)用醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04【解析】記事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出不少于5名醫(yī)生”．∵事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.①“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②方法一：“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二：“派出醫(yī)生至少2人”與“派出醫(yī)生至多1人”是對立事件，“派出醫(yī)生至多1人”的概率P＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，所以“派出醫(yī)生至少2人”的概率P0＝1－P＝1－0.26＝0.74.【答案】

①0.56②0.74(2)一盒中裝有大小和質(zhì)地均相同的12個小球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：①取出的小球是紅球或黑球的概率；②取出的小球是紅球或黑球或白球的概率．探究4

(1)解決此類問題，首先要結(jié)合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或?qū)α⑹录?，再選擇公式進(jìn)行計(jì)算．(2)求較復(fù)雜互斥事件的概率一般有兩種方法：直接法和間接法．特別是在解決至多、至少的有關(guān)問題時，?？紤]應(yīng)用對立事件的概率公式．思考題4(2)某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個射手在一次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②不夠7環(huán)的概率．【解析】

①記“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是為斥事件，“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.【答案】

①0.49②0.03

1．必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件是在一定條件下發(fā)生的，當(dāng)條件變化時，事件的性質(zhì)也發(fā)生變化．2．必然事件與不可能事件可看作隨機(jī)事件的兩種特殊情況，因此，任何事件發(fā)生的概率都滿足：0≤P(A)≤1.3．正確區(qū)別互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥