自控原理(第九章)

[凱萊-哈密頓定理]:

設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為：(9-117)則A滿足其特征方程，即：[證明]

由于：(9-118)(9-119)式中B()為(IA)的伴隨矩陣，其一般展開式為：顯見B()的元素均為(n

1)階多項(xiàng)式，根據(jù)矩陣加法規(guī)則可將其分解為N個(gè)矩陣之和，即：式中Bn1,

Bn2,…,B0均為n階矩陣。將式（9-119）兩端右乘(IA)，得：將式(9-120)代入式(9-121)并展開有：令式(9-122)等號(hào)兩邊同次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得：An

An1A

將式(9-123)兩端按順序右乘

An,

An1,,A

得：將式(9-124)中各式相加，可得：證畢。[推論1]

矩陣A的k(k≥n)次冪可表示為A的(n1)階多項(xiàng)式，即：式中的m與A陣的元素有關(guān)。此推論證明較為簡(jiǎn)單，可直接利用凱萊-哈密頓定理，見書上P439。（略）[推論2]

矩陣指數(shù)eAt可表示為A的(n1)階多項(xiàng)式，即：式中m(t)(m=0,1,2,,n1)均為t的冪級(jí)數(shù)。此推論可利用凱萊-哈密頓定理和推論1證明，見書上P439。（略）[秩判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-107)完全可控的充分必要條件是：其中，n為矩陣A的維數(shù)，S=[BAB…An1B]稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。（）[證明]

充分性：假設(shè)rankS

=

n，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反正法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)可知：為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維向量使：成立。顯然，由此可導(dǎo)出：將式(9-129)對(duì)

t

求導(dǎo)直至

n1

次，再在所得結(jié)果中令

t=0，得：式(9-130)又可表示為：由于

0，所以式(9-131)意味著S為行線性相關(guān)，即rankS

<n，顯然和已知rankS

=

n

相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控。

必要性：假設(shè)系統(tǒng)完全可控，欲證rankS

=

n。

采用反正法：反設(shè)rankS

<

n，這意味著S為行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零n維常數(shù)向量

使：成立。要使上式成立，向量

TS

的每一個(gè)元素都必須為零，即：根據(jù)凱萊-哈密頓定理，An,An+1,…均可表示為A的(n1

)階多項(xiàng)式，因而式(9-132)又可寫為：從而對(duì)任意t1>0有：

或：因而有：因?yàn)橐阎?，若式(9-135)成立，則W(0,t1)必為奇異，系統(tǒng)為不完全可控，這與假設(shè)相矛盾，于是應(yīng)有rankS=n，必要性得證。（秩判據(jù)證畢）

[例9-17]

橋式網(wǎng)絡(luò)如圖9-26所示，試用可控性判據(jù)判斷其可控性。[解]

該橋式電路的微分方程為：選取狀態(tài)變量

x1=iL，x2=uc，消去微分方程組中的i1,

i2,

i3,

i4，可得狀態(tài)方程為：可控性矩陣為：當(dāng)時(shí)，rankS

=

2

=

n，系統(tǒng)可控。但是，當(dāng)電橋處于平衡狀態(tài)，即

R1R4=

R2R3

時(shí)，及成立，這時(shí)狀態(tài)方程變?yōu)椋嚎煽匦跃仃嚍椋簉ankS

=

1<n，系統(tǒng)不可控，u不能控制x2，x2是不可控狀態(tài)變量。[例9-21]

判定下列系統(tǒng)的可控性：[解]

可控性判別矩陣為：顯見，矩陣S的第二行與第三行線性相關(guān)，rankS

=

2<

3，系統(tǒng)不可控。[PBH秩判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)（9-107）完全可控的充分必要條件是，對(duì)矩陣A的所有特征值i(i

=1,2,,n)，均成立，或等價(jià)地表示為：由于這一判據(jù)是由波波夫

(Popov)和貝爾維奇

(Belevitch)首先提出，并由豪塔斯(Hautus)最先指出其可廣泛應(yīng)用性,

故稱為PBH秩判據(jù)。（）(C表示復(fù)數(shù)域)[證明]

必要性：假設(shè)系統(tǒng)完全可控，欲證式(9-136)成立。采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)i

有rank[iIA

B]<n，則意味著[iIA

B]為行線性相關(guān)，因而必存在一個(gè)非零常數(shù)向量

，使：成立。由式(9-138)可導(dǎo)出：進(jìn)而可得：于是有：因已假設(shè)≠0，所以欲使式(9-140)成立，必有：這意味著系統(tǒng)不可控，顯然與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，而式(9-136)成立?？紤]到[sIA

B]

為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域C上除

i(i

=1,2,,n)

以外的所有s都有det(sI

A)≠0，所以式(

9-136)等價(jià)于式(9-137)。必要性得證。充分性：假設(shè)式(9-136)成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法。利用與上述相反的思路，即可證明充分性。至此，PBH秩判據(jù)證畢。[例9-22]

已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試判別系統(tǒng)的可控性。[解]

根據(jù)狀態(tài)方程可寫出：考慮到A的特征值為：，所以，只需對(duì)它們來檢驗(yàn)上述矩陣的秩。通過計(jì)算可知，當(dāng)時(shí)，有：

計(jì)算結(jié)果表明，充分必要條件(9-136)成立，故系統(tǒng)完全可控。[PBH特征向量判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-107)完全可控的充分必要條件是，

對(duì)A的任一特征值i，應(yīng)該使同時(shí)滿足：的特征向量

0。[證明]

必要性：假設(shè)系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向量

0使式(9-141)成立，則有：從而得到：

這意味著rankS

<

n，即系統(tǒng)不完全可控。這與假設(shè)條件相矛盾，因而反設(shè)不成立。必要性得證。

充分性：也用反證法，利用與上述相反的思路來進(jìn)行，具體證明過程從略。至此證畢。一般地說，PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。則系統(tǒng)(9-107)完全可控的充分必要條件是，在式(9-142)中，B不包含元素全為零的行。[證明]可用秩判據(jù)予以證明，推證過程略。

[約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-107)完全可控的充分必要條件分兩種情況：1)矩陣A的特征值1,2,,n是兩兩相異的。由線性變換可將式(9-107)變?yōu)閷?duì)角線規(guī)范型：

2)矩陣A的特征值為1(1重)，2(2重)，…，l(l重)，且1+2+…+l

=n。由線性變換可將式(9-107)化為約當(dāng)規(guī)范型：其中：其中：第個(gè)特征值i

對(duì)應(yīng)的塊i=1~lk=1~i

，，，而(ri1+

ri2

+…+

)

=i。那么系統(tǒng)(9-107)完全可控的充分必要條件是：由(k=1,2,i)的最后一行所組成的矩陣：對(duì)i=1,2,…,l

均為行線性無關(guān)。[證明]

可用PHB秩判據(jù)予以證明，此處略去推證過程。有興趣的同學(xué)可參閱有關(guān)參考文獻(xiàn)。試判定系統(tǒng)的可控性。[解]

由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。[例9-23]

已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為：[例9-24]

給定線性定常系統(tǒng)的約當(dāng)規(guī)范形為：試判定系統(tǒng)的可控性。J1

J2

J3

J12

J11

J13

J21

J22

J31

B12B11B13B21B22B31B1

B2

B3

[解]此題中，1=1(4重，1=4)；2=2(3重，2=3)；3=5(1重，3=1)；l=3，i=1~3。由于：矩陣和都是行線性無關(guān)的，的元素不全為零，故系統(tǒng)完全可控。4．輸出可控性如果系統(tǒng)需要控制的是輸出量而不是狀態(tài)，則需研究系統(tǒng)的輸出可控性。

輸出可控性：若在有限時(shí)間間隔[t0,t1]

內(nèi)，存在無約束分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)，t[t0,t1]，能使任意初始輸出

y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y(t1)，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡(jiǎn)稱輸出可控。

輸出可控性判據(jù)

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：式中，u為p維輸入向量；y為q維輸出向量；x為n維狀態(tài)向量。狀態(tài)方程(9-150)在t1時(shí)刻的解為：將x(t1)代入(9-151)式得輸出：不失一般性，令y(t1)

=

0，有：見書P420頁(9-57)式(9-152)利用書P440頁(9-127)式：，上式可變?yōu)椋毫?，則：設(shè)：t1t

=，則dt

=

d，上式可變?yōu)椋毫睿篠0為[q(n+1)p]矩陣，稱為輸出可控性矩陣。共q行

輸出可控的充分必要條件是：輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即：

需要注意的是，狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒有什么必然的聯(lián)系。[例9-25]

已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。[解]

系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為：因?yàn)镾的行列式|S|=0，rankS

<

2，故

狀態(tài)不完全可控。輸出可控性矩陣為：rankS0

=1=q，故

輸出可控。5．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)考慮輸入

u

=

0時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程：其中，x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為n×n和q×n的常值矩陣。[格拉姆矩陣判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-156)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，

存在有限時(shí)刻t1>0，

使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。[證明]

充分性：令M

(0,t1)非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。

由式(9-156)可得：將式(9-158)左乘，然后從0到t1積分得：已知M

(0,t1)非奇異，即M

(0,t1)1存在，故由式(9-159)得：這表明，在M

(0,t1)非奇異的條件下總可以根據(jù)[0,t1]上的輸出y(t)，唯一的確定初始狀態(tài)x0。因此，系統(tǒng)為完全可觀測(cè)。充分性得證。齊次狀態(tài)方程的解為：x(t)=

(t,0)

x0必要性：假設(shè)系統(tǒng)完全可觀測(cè)，欲證M

(0,t1)非奇異。采用反證法。反設(shè)M

(0,t1)奇異，假設(shè)存在某一非零，使：成立，這意味著：(9-160)顯然，為狀態(tài)空間中的不可觀測(cè)狀態(tài)。這和假設(shè)系統(tǒng)完全可觀測(cè)相矛盾，所以反設(shè)不成立，必要性得證。至此格拉姆矩陣判據(jù)證畢。[秩判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-156)完全可觀測(cè)性的充分必要條件是：或：(9-162)式(9-161)和式(9-162)中的矩陣均稱為系統(tǒng)可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱為可觀測(cè)性陣。[證明]下面從式(9-158)出發(fā)，來證明秩判據(jù)的充分必要條件。(9-158)式為：利用凱萊-哈密頓定理的推論2：(9-158)式可變?yōu)椋菏街蠭q為q階單位陣。從前面的介紹中我們已經(jīng)知道：的nq列是線性無關(guān)的，于是根據(jù)測(cè)得的y(t)可唯一確定x0

的充分必要條件是：

證畢。[例9-26]

判斷下列系統(tǒng)的可觀測(cè)性：[PBH秩判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-156)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，對(duì)矩陣A的所有特值i(i

=1,2,,n)

均有：或等價(jià)的表示為：[PBH特征向量判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-156)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，對(duì)A的任一特征值i(i

=1,2,,n)，應(yīng)該使同時(shí)滿足：的特征向量

0。(C表示復(fù)數(shù)域)[約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)]

線性定常連續(xù)系統(tǒng)(9-156)完全可觀測(cè)的充分必要條件分兩種情況：

1)當(dāng)矩陣A

的特征值1,2,,n兩兩相異時(shí),由式(9-156)