2023學年完整版《雙曲線》設(shè)計4

《雙曲線》教學設(shè)計（3）知識與技能目標理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術(shù)探究動點軌跡的《幾何畫板》的制作或操作方法．教學重點：雙曲線的定義、標準方程及其簡單應用教學難點：雙曲線標準方程的推導。教法學法（一）教學方法引導探索、發(fā)現(xiàn)法（二）學習方法自主探索、合作交流．（三）教學手段多媒體輔助教學．授課類型：新授課課時安排：1課時教學過程與方法目標（1）預習與引入過程預習教科書56頁至60頁，當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面與圓錐的軸線或平行時，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么此時的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中雙曲線的例子．當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一端結(jié)一個套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準備無彈性細繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結(jié)個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是雙曲線．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆?。▌狱c）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗§2．2．1雙曲線及其標準方程．（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義．〖板書〗把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）．其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距．即當動點設(shè)為時，雙曲線即為點集．（ii）雙曲線標準方程的推導過程提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法由學生來建立直角坐標系．無理方程的化簡過程仍是教學的難點，讓學生實際掌握無理方程的兩次移項、平方整理的數(shù)學活動過程．類比橢圓：設(shè)參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標準方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義．類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程．（iii）例題講解、引申與補充例1已知雙曲線兩個焦點分別為，，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程．分析：由雙曲線的標準方程的定義及給出的條件，容易求出．補充：求下列動圓的圓心的軌跡方程：①與⊙：內(nèi)切，且過點；②與⊙：和⊙：都外切；③與⊙：外切，且與⊙：內(nèi)切．解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題．具體解：設(shè)動圓的半徑為．①∵⊙與⊙內(nèi)切，點在⊙外，∴，，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，即的軌跡方程是；②∵⊙與⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，∴的軌跡方程是；③∵與外切，且與內(nèi)切，∴，，因此，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，∴的軌跡方程是．例2已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程．分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程．擴展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點晚．已知各觀察點到該中心的距離都是．試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當時聲音傳播的速度為；相關(guān)點均在同一平面內(nèi)）．解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上．如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標系，設(shè)、、分別是西、東、北觀察點，則，，．設(shè)為巨響發(fā)生點，∵、同時聽到巨響，∴所在直線為……①，又因點比點晚聽到巨響聲，∴．由雙曲線定義知，，，∴，∴點在雙曲線方程為……②．聯(lián)立①、②求出點坐標為．即巨響在正西北方向處．探究：如圖，設(shè)，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與§2．1．例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？探究方法：若設(shè)點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點的軌跡方程．情感、態(tài)度與價值觀目標通過課件（）的展示與操作，必須讓學生認同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學生認同與體會：雙曲線的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是兩條射線；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領(lǐng)悟：像例1這基礎(chǔ)題配備是必要的，但對定義的理解和使用是遠遠不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補充題；例2是典型雙曲線實例的題目，對培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題有一定的幫助，但要準確判定爆炸點，必須對此題進行擴展，培養(yǎng)學生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力．◆能力目標想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術(shù)語和數(shù)學符號表示．思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力．實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．數(shù)學活動能力：培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學活動能力．創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．練習：第60頁1、2、3、作業(yè)：第66頁1、2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知識與技能目標了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方程，研究曲線的性質(zhì)．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的概念；掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義．過程與方法目標（1）復習與引入過程引導學生復習得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標準方程的討論，研究雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的進一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標及實軸、虛軸的概念；④應用信息技術(shù)的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．2．2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．（2）新課講授過程（i）通過復習和預習，對雙曲線的標準方程的討論來研究雙曲線的幾何性質(zhì)．提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點、漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．（ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)①范圍：由雙曲線的標準方程得，，進一步得：，或．這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究雙曲線的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；③頂點：圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此雙曲線有兩個頂點，由于雙曲線的對稱軸有實虛之分，焦點所在的對稱軸叫做實軸，焦點不在的對稱軸叫做虛軸；④漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；⑤離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率（）．（iii）例題講解與引申、擴展例3求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點的坐標、離心率、漸近線方程．分析：由雙曲線的方程化為標準方程，容易求出．引導學生用雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率、焦點和漸近線的定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點在軸上的漸近線是．擴展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方及離心率．解法剖析：雙曲線的漸近線方程為．①焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，無解；②焦點在軸上時，設(shè)所求的雙曲線為，∵點在雙曲線上，∴，因此，所求雙曲線的標準方程為，離心率．這個要進行分類討論，但只有一種情形有解，事實上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為．例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面如圖（1），它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出雙曲線的方程（各長度量精確到）．解法剖析：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設(shè)雙曲線的標準方程為，算出的值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已知，，，．能否在足球場上畫一條“等距離”線，在“等距離”線的兩側(cè)的區(qū)域應該選擇怎樣的線路？說明理由．解題剖析：設(shè)為“等距離”線上任意一點，則，即（定值），∴“等距離”線是以、為焦點的雙曲線的左支上的一部分，容易“等距離”線方程為．理由略．例5如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程．分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程．引申：用《幾何畫板》探究點的軌跡：雙曲線若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是雙曲線．其中定點是焦點，定直線：相應于的準線；另一焦點，相應于的準線：．情感、態(tài)度與價值觀目標在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學相長的教學活動情境，結(jié)合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創(chuàng)新．必須讓學生認同和掌握：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，能由雙曲線的標準方程能直接得到雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和掌握