第十章卡方檢驗

第十章檢驗檢驗（chi-squaretest）作為參數(shù)檢驗的方法可用于正態(tài)單總體方差的假設(shè)檢驗

檢驗對總體的條件要求并不嚴格，更多地用于對分類數(shù)據(jù)頻數(shù)的檢驗。這時它又常被稱作非參數(shù)檢驗。χ2分布曲線相對頻數(shù)

幾種不同自由度的χ2分布曲線n=1n=4n=10n=20χ2分布的特點

⑴．分布呈正偏態(tài)，曲線的右側(cè)無限延伸，但不與基線相交。⑵．值都是正值。⑶．分布的和也是分布。⑷．分布隨自由度的變化而不同。自由度越小，曲線偏斜度越大；自由度越大，分布形態(tài)越趨于對稱。

一、擬合度檢驗

判斷總體頻數(shù)是否符合某一理論假設(shè)

1、計算公式

f0

–實際頻數(shù)

fｅ－理論頻數(shù)２、舉例（1）隨機抽取60名學生，詢問他們在高中是否需要文理分科，結(jié)果贊成分科的39人，反對分科的21人，問學生對分科的意見是否有顯著差異？

H0：持兩種態(tài)度的人數(shù)無顯著差異

fe=∑fo/k

=60/2=30H1：持兩種態(tài)度的人數(shù)有顯著差異對某方案的調(diào)查結(jié)果贊成反對fo3921fe3030

查值表，當df

=1時=5.4>3.84

結(jié)論：學生對高中文理分科的態(tài)度有顯著差異

上例用比例的差異檢驗：

H0：贊成=反對，即贊成的比例p0=0.5H1：p0≠0.5

（2）在一項關(guān)于“學生心目中的好老師”調(diào)查中，要求學生從教過他們的五位教師中選一位自己最喜歡的老師，共調(diào)查了500名學生，結(jié)果如下。問教師的得票數(shù)有否差異教師的得票數(shù)有顯著差異ABCDE合計觀察頻數(shù)f01201004060180500理論頻數(shù)fe100100100100100500df

=k-1=5-1=4（3）大學某系54位老年教師中，健康狀況屬于好的有15人，中等的有23人，差的有16人。問該校老年教師健康狀況好、中、差的人數(shù)比例是否為1：2：1？1.提出假設(shè)H0：健康狀況好、中、差的人數(shù)比例是1：2：1H1：健康狀況好、中、差的人數(shù)比例不是1：2：1好中差fo152316fe13.52713.5df

=k-1=2還不能拒絕老年教師健康狀況人數(shù)比例為1：2：1的假設(shè)

二、獨立性檢驗（列聯(lián)分析）

檢驗還可以用來對兩個分類變量是否獨立進行檢驗，當一個變量分類數(shù)為R

，另一變量分類數(shù)為C,它們交叉分類表即為RC列聯(lián)表，如24列聯(lián)表、34列聯(lián)表，因此這種情況又稱列聯(lián)分析例：家庭經(jīng)濟狀況屬于上、中、下的高三畢業(yè)生，對于是否愿意報考師范大學有三種不同的態(tài)度（愿意、不愿意、未定），其人數(shù)分布如表。問學生是否愿意報考師范大學與家庭經(jīng)濟狀況是否有關(guān)系？家庭經(jīng)濟狀況對于報考師范大學的態(tài)度總和愿意不愿意未定上中下18201827197102011555936總和565341150

1.提出假設(shè)

H0：學生是否愿意報考師范大學與家庭經(jīng)濟狀況無關(guān)H1：學生是否愿意報考師范大學與家庭經(jīng)濟狀況有關(guān)

2、計算每一格的理論頻數(shù)

公式中，fxi表示橫行各組實際頻數(shù)的總和

fyi表示縱列各組實際頻數(shù)的總和

N表示樣本容量的總和計算理論頻數(shù)允許有小數(shù)，因為χ2分布已被作為連續(xù)型的分布看待。

不同家庭經(jīng)濟狀況學生報考師范大學的不同態(tài)度家庭經(jīng)濟狀況對于報考師范大學的態(tài)度總和愿意不愿意未定上中下1820182719710201155=fx159=fx236=fx3總和56=fy153=fy241=fy3150=N20.5312.7222.0313.4419.4320.8515.0316.139.84

學生報考師范大學的態(tài)度與家庭經(jīng)濟狀況的χ2檢驗計算表愿意-上1820.53-2.536.40090.3118愿意-中2022.03-2.034.12090.1871愿意-下1813.444.5620.79361.5471不愿意-上2719.437.5757.30492.9493不愿意-中1920.85-1.853.42250.1641不愿意-下712.72-5.7232.71842.5722未定-上1015.03-5.0325.30091.6834未定-中2016.133.8714.97690.9285未定-下119.841.161.34560.1367總和15015010.4802自由度:df=(r-1)(c-1)=4計算結(jié)果為：=10.48=10.48>

9.49，則P<0.05結(jié)論：學生是否愿意報考師范大學與家庭經(jīng)濟狀況有顯著關(guān)系。也可以認為不同經(jīng)濟狀況報考師范大學的態(tài)度差異顯著。注意：列聯(lián)表格中理論頻數(shù)小于5的格子不可超過所有格子數(shù)的1/5

2×2列聯(lián)表的c2檢驗的專用公式贊成反對行總和男生2288110女生184260列總和40130170

三、列聯(lián)相關(guān)

R×C列聯(lián)表經(jīng)過c2檢驗，結(jié)果顯著表明兩個變量之間有關(guān)聯(lián)，這種相關(guān)稱為列聯(lián)相關(guān)（分類數(shù)據(jù)之間的相關(guān)）

1、R×C表的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)

當列聯(lián)表中的兩個變量相互獨立時，C＝0，但兩個變量完全相關(guān)時它不可能達到1。其可能的最大值依耐于列聯(lián)表的行數(shù)和列數(shù)，且隨著R和C的增大而增大。

當兩個因素相互獨立時，V＝0當兩個因素完全相關(guān)時，V=1

（對列聯(lián)系數(shù)的檢驗等效于對的檢驗）

例：用上面兩個公式分別計算前例“報考師大與家庭經(jīng)濟狀況”的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)

2、四格表（22）列聯(lián)系數(shù)

可以看到，系數(shù)就