第7章彎曲正應(yīng)力(1,2)

第七章彎曲應(yīng)力第七章彎曲應(yīng)力§7-1梁橫截面上的正應(yīng)力·梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件§7-2梁橫截面切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件§7-4提高梁強(qiáng)度的主要措施§7–5彎曲中心的概念

比較—分類法第7章知識(shí)點(diǎn)梁的正應(yīng)力（公式、適用范圍、最大正應(yīng)力）梁的切應(yīng)力（各種截面的切應(yīng)力及其最大切應(yīng)力）提高梁強(qiáng)度的措施（三方面）梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其解決的三問題梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件及其計(jì)算彎曲中心的概念yz在橫截面上，只有法向內(nèi)力元素σdA才能合成彎矩M，只有切向內(nèi)力元素τdA才能合成剪力FS

所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。本章研究主要研究等直梁在平面彎曲時(shí)，其橫截面上的正應(yīng)力、剪應(yīng)力以及有關(guān)的強(qiáng)度計(jì)算。工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例工程實(shí)例純彎曲（CD段）：橫力彎曲或剪切彎曲（AC段和DB段）：§7-1梁橫截面上的正應(yīng)力·梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、

純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力。橫截面上既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力。梁彎曲動(dòng)畫deformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形，提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)思路彎曲變形動(dòng)畫一.幾何變形（1）aa、bb彎成弧線，aa縮短，bb伸長(zhǎng),部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段伸長(zhǎng)。（2）mm、nn變形后仍保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的aa，bb正交。1.平面假設(shè)：梁各個(gè)橫截面變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。2.單向受力假設(shè)：梁由無數(shù)根縱向纖維組成，假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。

梁在彎曲變形時(shí)，凹面部分縱向纖維縮短，凸面部分縱向纖維伸長(zhǎng)，必有一層縱向纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短,保持原來的長(zhǎng)度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層中性軸中性層中性層與橫截面的交線稱為中性軸橫截面上任一點(diǎn)的線應(yīng)變二.物理關(guān)系結(jié)論：一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比。dx結(jié)論：一點(diǎn)的的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。三.靜力平衡橫截面對(duì)Z軸的靜矩設(shè)中性軸為zyzM截面的慣性積（y為對(duì)稱軸）截面對(duì)z軸（中性軸）的慣性矩中性層的曲率公式設(shè)中性軸為zyzM將代入得到純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力的計(jì)算公式:式中：M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩.注意：上述公式是由矩形截面梁在純彎曲情況下推導(dǎo)出來的，但它對(duì)具有所有橫截面形狀對(duì)稱于y軸的梁都適用，例如截面為圓形、工字形和梯形等。此外，上述公式是在直梁的條件下推導(dǎo)的，一般不能用于曲梁；但當(dāng)曲梁的曲率半徑于截面高度之比大于10時(shí)，也可以近似應(yīng)用。該公式適用于彈性范圍。討論

（1）應(yīng)用正應(yīng)力公式時(shí)，一般將M和y

用絕對(duì)值代入.根據(jù)截面彎矩的正負(fù)號(hào)就可直接判斷

的正負(fù)號(hào).

例如截面彎矩M為正時(shí)，中性軸以下為受拉區(qū)，則該區(qū)域各點(diǎn)的正應(yīng)力為拉應(yīng)力；而中性軸以上為受壓區(qū)，則該區(qū)域各點(diǎn)的正應(yīng)力為壓應(yīng)力。（2）梁某截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在該橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處.則公式改寫為引用記號(hào)—抗彎截面系數(shù)（或稱為抗彎截面模量），單位：m3、cm3，mm3。請(qǐng)同學(xué)們思考等直梁最大正應(yīng)力公式如何寫?（1）當(dāng)中性軸Z為對(duì)稱軸時(shí)矩形截面實(shí)心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy梁的抗彎截面系數(shù)（抗彎截面模量）：zy（2）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面（有兩個(gè)抗彎截面模量）M應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離

和直接代入公式二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力和梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件（一）橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力（二）梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

上式是在平面假設(shè)和單向受力假設(shè)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，實(shí)驗(yàn)證明在純彎曲情況下這是正確的。

對(duì)于橫力彎曲，由于剪力的存在，橫截面產(chǎn)生剪切變形，使橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。理論證明在L/h大于5時(shí)該式的精度能滿足工程要求。利用上式可以進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：①已知外力、截面尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強(qiáng)度；②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計(jì)截面尺寸;③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷等直梁的危險(xiǎn)截面：最大彎矩Mmax所在的截面;等直梁的危險(xiǎn)點(diǎn)：危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)。其正應(yīng)力強(qiáng)度條件可寫成：或注意：在進(jìn)行強(qiáng)度校核、選則截面尺寸、確定許用荷載時(shí)，若（1）（塑性材料）只須校核Mmax處（2）（脆性材料）(a)對(duì)稱截面情況只須校核Mmax處使(b)非對(duì)稱截面情況，具體分析，一般要校核M+max與

M-max兩處。三、舉例[例7-1]：兩矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分別如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比P1／P2＝？解：

[例7-2]主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長(zhǎng)度a為多少？解：主梁AB:MABPaCD副梁CD:由得M[例7-3]受均布載荷的外伸梁材料許用應(yīng)力

校核該梁的強(qiáng)度。解：由彎矩圖可見該梁滿足強(qiáng)度條件，安全[例7-4]圖示鑄鐵梁，許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，試校核此梁的強(qiáng)度。C截面B截面2.54＜＜＜＜例7-5圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax

和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力sa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作彎矩圖如上，2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力為

12.521166560za或根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布關(guān)系的

12.521166560za例7-6圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號(hào)碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力為作彎矩圖如上。281375單位：kN·m2、根據(jù)強(qiáng)度條件確定截面尺寸此時(shí)查型鋼表得56b號(hào)工字鋼的Wz比較接近要求值誤差小于5%，可用例7-7圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b=2m，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5493104mm4，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]

。

解：1、梁的支反力為zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

據(jù)此作出梁的彎矩圖如下發(fā)生在截面C發(fā)生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、計(jì)算最大拉、壓正應(yīng)力由于梁是脆性材料，并且截面對(duì)中性軸z不對(duì)稱，所以，由強(qiáng)度條件確定許用荷載，B、C截面都要考慮。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力拉應(yīng)力壓應(yīng)力考慮截面B

：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考慮截面C：因此梁的強(qiáng)度由截面B上的最大拉應(yīng)力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4解：[例7-8]圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為［σt］和［σc］，則y1和y2

的最佳比值為多少？（Ｃ為截面形心）

CL8TU9M-PL[例7-9]簡(jiǎn)支梁AB，在Ｃ截面下邊緣貼一應(yīng)變片，測(cè)得其應(yīng)變?chǔ)?6×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，求載荷P的大小。解：C點(diǎn)的應(yīng)力由C截面的彎矩得支座反力[例7-10]圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長(zhǎng)為10mm，E=10GPa，求載荷P的大小。解：7-11我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。（使Wz最大）解：由此得

例7-12圖示結(jié)構(gòu)承受均布載荷，AC為10號(hào)工字鋼梁，B處用直徑d=20mm的鋼桿BD懸吊，梁和桿的許用應(yīng)力[σ]＝160MPa。不考慮切應(yīng)力，試計(jì)算結(jié)構(gòu)的許可載荷[q]。FAFB梁的強(qiáng)度桿的強(qiáng)度練習(xí)試對(duì)圖示結(jié)構(gòu)布置圖中的L－2梁進(jìn)行截面選擇。兩梁均采用工字鋼截面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上簡(jiǎn)支板的荷載設(shè)計(jì)值為3.5kN/m2。查表:I36a練習(xí)簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求梁的最底層纖維的總伸長(zhǎng)。解：1、計(jì)算梁底層微段的伸長(zhǎng)量2、梁的最底層纖維的總伸長(zhǎng)