第三章微分方程模型

第三章微分方程模型

在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常無(wú)法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問(wèn)題的特征往往會(huì)給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。

人口模型

１、MALTHUS模型英國(guó)人Malthus認(rèn)為，在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中，凈相對(duì)增長(zhǎng)率（出生率減去死亡率為凈增長(zhǎng)率）是常數(shù)。設(shè)時(shí)刻t的人口為Ｎ（t），凈相對(duì)增長(zhǎng)率為r，我們把Ｎ（t）當(dāng)作連續(xù)變量來(lái)考慮。按照Malthus的理論，在t到t+t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為

令t→０，則得到微分方程:設(shè)t＝０時(shí)人口為Ｎ０，即有

我們易求得微分方程在上面的初始條件下的解為

問(wèn)題：當(dāng)t→，我們將會(huì)有Ｎ(t)→,這似乎不太可能。實(shí)際背景：這個(gè)模型可以與１９世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的統(tǒng)計(jì)資料很好地吻合，但是后來(lái)人們用它來(lái)與１９世紀(jì)的人口資料比較時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異。從圖中可一看到在1925年之前曲線很光滑，在1950年左右出現(xiàn)變化。

圖中可以看到在1875年之前擬合得出的曲線和真實(shí)曲線匹配的很好，但在之后兩者之間的差距越來(lái)越大。擬合曲線真實(shí)數(shù)據(jù)

隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越顯著。人口較少時(shí)，人口的自然增長(zhǎng)率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口的增加而減少。

２、Logistic模型

荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)Ｎm表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口，并假定凈相對(duì)增長(zhǎng)率等于

這樣，上面模型中的方程就變?yōu)閯t上面微分方程的解為易看出，當(dāng)t→時(shí)，當(dāng)

Ｎ(t)→Ｎm。Logistic模型結(jié)果經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況比較吻合。Logistic模型曲線與真實(shí)情況擬合很好,并很好的預(yù)示了人口發(fā)展趨勢(shì)。這個(gè)曲線形狀像不像‘s’捕魚問(wèn)題問(wèn)題：在魚的總量保持穩(wěn)定的前提下，達(dá)到最大捕魚量或者最多的經(jīng)濟(jì)效益。

設(shè)時(shí)刻t魚場(chǎng)中的魚量為x(t)，魚場(chǎng)資源條件所限制的x的最大值為xm，類似人口模型中的Logistic模型，我們得到在無(wú)捕撈情況下的關(guān)于x(t)的微分方程假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與漁場(chǎng)的魚量成正比，捕撈率為K，則在有捕撈的情況下，x(t)應(yīng)滿足但是，我們并不關(guān)心方程的解的表達(dá)，因?yàn)槲覀冎灰婪€(wěn)定的魚群時(shí)最大的捕撈量或經(jīng)濟(jì)效益，那么如何知道什么時(shí)候魚群x（t）穩(wěn)定呢？對(duì)于方程我們把代數(shù)方程f(x)=0的實(shí)根x0稱為上面方程的平衡點(diǎn)。顯然，x=x0是它的一個(gè)解。另外，在點(diǎn)x0附近，有taylor展開式若f’(x0)<0，故當(dāng)x>x0時(shí)，，從而當(dāng)t增加時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)，x(t)下降，x向x0方向減少；當(dāng)x<x0時(shí)，，從而當(dāng)t增加時(shí)，x向x0方向增大。故x(t)→x0，x0是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。反之，若f’(x0)>0，則x0是穩(wěn)定的不平衡點(diǎn)。

我們不難求出方程

的平衡點(diǎn)易得

根據(jù)上面關(guān)于平衡點(diǎn)的討論易知，當(dāng)K<r時(shí)，上面所求的x0即為平衡的穩(wěn)定點(diǎn)。換句話說(shuō)，只要不是“竭澤而魚”，K<r就是魚業(yè)生產(chǎn)所必須遵守的基本條件。下面我們用圖解法討論在保持魚量穩(wěn)定的前提下，如何選取捕撈率Ｋ使捕撈量最大。設(shè)

當(dāng)K<r時(shí)，曲線f1(x)與f2(x)必相交p，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0為穩(wěn)定平衡點(diǎn)（f（x0）=0），在所有與拋物線相交的直線中，選擇過(guò)拋物線的頂點(diǎn)Ｐ＊的直線將得到最大的捕撈量f(x0),此時(shí)，此時(shí)是能獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量

在保持魚場(chǎng)漁量穩(wěn)定的前提下，如何使經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)最大。設(shè)魚的單價(jià)為p，設(shè)開支與捕撈率成正比，比例系數(shù)為c，則在保持魚量穩(wěn)定的條件下單位時(shí)間內(nèi)捕撈利潤(rùn)是上面我們所得到的式子從此式中，我們可以解出將此式代入上面的式子中，得令Ｚ’(x0)=0，容易求得使Ｚ(x0)最大的x0為此時(shí)捕撈量為§3.3新產(chǎn)品的推銷與廣告

廣告模型

當(dāng)生產(chǎn)者生產(chǎn)出一批產(chǎn)品后，下一步便去思考如何更快更多的賣出產(chǎn)品。經(jīng)營(yíng)者在利用廣告這一手段時(shí)自然要關(guān)心：廣告與促銷到底有何關(guān)系，廣告在不同時(shí)期的效果如何？3.5VanMeegeren的藝術(shù)偽造品

在第二次世界大戰(zhàn)后，德國(guó)戰(zhàn)場(chǎng)安全部發(fā)現(xiàn)德國(guó)畫家HAVanMeegeren拍賣過(guò)17世紀(jì)荷蘭著名畫家JanVermeer的名畫。１９４５年５月２９日Meegeren以通敵罪被逮捕。然而，Meegeren一口咬定，他從未拍賣過(guò)JanVermeer的名畫，他聲稱這副畫是他偽造的。

為了證實(shí)這一切，他在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作幾乎要完成時(shí)，他獲悉他可能以偽造罪被判刑。于是，他拒絕將他的畫老化。

為了解決這一問(wèn)題，一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際調(diào)查小組調(diào)查此事。調(diào)查小組用X射線透視等現(xiàn)代手段在油畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立。VanMeegeren也因此被判處一年徒刑。１９４７年１月他在獄中心臟病發(fā)作死去。

但是，許多人還是不相信《Emmaus的信徒們》等名畫是偽造的。他們的理由是，VanMeegeren在獄中快要完成的畫《耶穌在學(xué)者們中間》的質(zhì)量很差。調(diào)查小組解釋說(shuō)，由于VanMeegeren對(duì)他在藝術(shù)界的三流畫家地位很不滿，因此帶著狂熱的決心臨摹了那副畫。當(dāng)他看到自己的“杰作＂未被識(shí)別而輕易出手后，他的決心也隨之消失了。這種解釋并不能使懷疑者滿意，直到１９６７年卡內(nèi)基梅龍大學(xué)的科學(xué)家們才利用微分方程模型等辦法基本解決了這一問(wèn)題。物理學(xué)家Ruther