《函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)生長規(guī)律的描述》設(shè)計(jì)

《函數(shù)的應(yīng)用（二）及數(shù)學(xué)建模：生長規(guī)律的描述》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.通過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)函數(shù)三種模型應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，加深對(duì)三種函數(shù)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．通過數(shù)據(jù)的合理分析，能自己恰當(dāng)?shù)倪x擇函數(shù)模型，解決實(shí)際問題．【教學(xué)重點(diǎn)】通過指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)函數(shù)三種模型應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，加深對(duì)三種函數(shù)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．【教學(xué)難點(diǎn)】通過數(shù)據(jù)的合理分析，能自己恰當(dāng)?shù)倪x擇函數(shù)模型，解決實(shí)際問題．【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】認(rèn)知初探1.幾類常見的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0指數(shù)函數(shù)模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0冪函數(shù)模型y＝axn＋ma≠0，n≠1思考1:指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型都是遞增的嗎?提示:不一定,也可能是遞減的,根據(jù)底數(shù)的大小判斷.2.解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(1)審題；(2)建模；(3)求模；(4)還原．這些步驟用框圖表示如圖：小試牛刀1．某人騎自行車沿直線勻速前行，先前進(jìn)了akm，休息了一段時(shí)間，又沿原路返回bkm(b<a)，再前進(jìn)ckm，則此人離起點(diǎn)的距離s與時(shí)間t的關(guān)系示意圖是()ABCDC解析：[B與C的區(qū)別在于C中沿原路返回時(shí)耗費(fèi)了時(shí)間而B中沒有體現(xiàn)，故選C.2．已知某工廠12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的7倍，則該工廠這一年中的月平均增長率是()\r(11,7)－1 \f(7,12)\r(12,7)－1 \f(7,11)A解析：設(shè)月平均增長率為x,1月份產(chǎn)量為a，則有a(1＋x)11＝7a，則1＋x＝eq\r(11,7)，故x＝eq\r(11,7)－1.3．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為()ABCDD解析：設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋y，故y＝(x≥1)，函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為D中圖像，故選D.3．某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費(fèi)用y(千元)與時(shí)間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是()A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋bB解析：由散點(diǎn)圖和四個(gè)函數(shù)的特征可知，可選擇的模擬函數(shù)模型是y＝ax2＋bx＋c.4．計(jì)算機(jī)的價(jià)格大約每3年下降eq\f(2,3)，那么今年花8100元買的一臺(tái)計(jì)算機(jī)，9年后的價(jià)格大約是________元．解析：設(shè)計(jì)算機(jī)價(jià)格平均每年下降p%，由題意可得eq\f(1,3)＝(1－p%)3，∴p%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(1,3)，∴9年后的價(jià)格大約為y＝8100×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\f(1,3)－1))9＝8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝300(元)．答案：300例題講解指數(shù)函數(shù)模型【例1】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為%，試解答下面的問題：(1)寫出該城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到萬人)；(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人？(精確到1年)((1＋%)10≈，(1＋%)15≈，(1＋%)16≈[思路點(diǎn)撥]本題是增長率問題，可以分別寫第1年、第2年，依次類推得第x年的解析式．[解](1)1年后該城市人口總數(shù)為：y＝100＋100×%＝100×(1＋%)；2年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)＋100×(1＋%)×%＝100×(1＋%)2；3年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)3；x年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋%)10＝100×≈(萬人)．(3)令y＝120，則有100×(1＋%)x＝120，解方程可得x＝即大約16年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬人．方法總結(jié)：在實(shí)際問題中，常常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為P，則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y，可以用下面的公式y(tǒng)＝N1＋Px表示.當(dāng)堂練習(xí)1⑴某單位職工工資經(jīng)過六年翻了三番，則每年比上一年平均增長的百分率是()(下列數(shù)據(jù)僅供參考：eq\r(2)＝，eq\r(3)＝，eq\r(3,3)＝，eq\r(6,6)＝A．38%B．41%C．44%D．73%⑵某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是________小時(shí)．⑴B⑵24解析:⑴設(shè)年平均增長率為p，由題意得(1＋p)6＝23,1＋p＝eq\r(2)＝，∴p＝.故選B.⑵由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))所以當(dāng)x＝33時(shí)，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24.對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】有一種候鳥每年都按一定的路線遷徒,飛往繁殖地產(chǎn)卵,科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=,單位是km/min,其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù),代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù):lg2=,=,=. (1)當(dāng)=2,候鳥每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí),候鳥的飛行速度是多少km/min?(2)當(dāng)=5,候鳥停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為多少單位?(3)若雄鳥的飛行速度為km/min,同類雌鳥的飛行速度為km/min,則此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍?【解析】(1)由題意,,x=8100,得故此時(shí)候鳥的飛行速度為km/min.(2)由題意得,當(dāng)候鳥停下休息時(shí),它的速度是0,可得,即=2lg5,解得:x=466,故候鳥停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為466個(gè)單位.(3)設(shè)雄鳥的耗氧量為,雌鳥的耗氧量為,由題意得兩式相減可得,解得:=9,故此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍.方法總結(jié)：對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路(1)依題意,找出或建立數(shù)學(xué)模型.(2)依實(shí)際情況確定解析式中的參數(shù).(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.(4)得出結(jié)論.當(dāng)堂練習(xí)2燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位？(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？[解](1)由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度為0，代入題目所給公式可得0＝5log2eq\f(Q,10)，解得Q＝10，即燕子靜止時(shí)的耗氧量為10個(gè)單位．(2)將耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)，即當(dāng)一只燕子耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，速度為15m/s.擬合函數(shù)模型的選擇【例3】某跨國飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在～8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等水平的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減．(1)下列幾個(gè)模擬函數(shù)中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L)．用哪個(gè)模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由；(2)若人均GDP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷售量為2L，人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷售量為5L，把(1)中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個(gè)地區(qū)中，年人均A飲料的銷售量最多是多少？[思路點(diǎn)撥](1)理解題意，根據(jù)所給函數(shù)模型的增長趨勢來選擇；(2)根據(jù)(1)中所選擇的函數(shù)模型，求出其解析式并求最大值．[解](1)用①來模擬比較合適．因?yàn)樵擄嬃显谌司鵊DP處于中等水平的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減．而②③④表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以②③④都不合適，故用①來模擬比較合適．(2)因?yàn)槿司鵊DP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為2L；人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷量為5L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y(tǒng)＝ax2＋bx，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝a＋b，,5＝16a＋4b，))解得a＝－eq\f(1,4)，b＝eq\f(9,4)，所以函數(shù)解析式為y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(9,4)x(x∈[,8])．∵y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(9,4)x＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))eq\s\up20(2)＋eq\f(81,16)，∴當(dāng)x＝eq\f(9,2)時(shí)，年人均A飲料的銷售量最多是eq\f(81,16)L.方法總結(jié)：數(shù)學(xué)知識(shí)來源于客觀實(shí)際，服務(wù)于實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的工具，其中函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來描述．面臨一個(gè)實(shí)際問題，選擇合適的數(shù)學(xué)模型是一件非常重要的事情，根據(jù)三種不同的增長模型的特點(diǎn)，選擇符合自己的模型，才能產(chǎn)生更大的經(jīng)濟(jì)效益．當(dāng)堂練習(xí)3某皮鞋廠今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬雙，萬雙，萬雙，萬雙．由于產(chǎn)品質(zhì)量好、款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好．為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受訂單不至于過多或過少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程．廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人．假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量為y給出三種函數(shù)模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？【解析】由題意，將產(chǎn)量隨時(shí)間變化的離散量分別抽象為A(1,1)，B(2,，C(3,，D(4,這4個(gè)數(shù)據(jù)．(1)設(shè)模擬函數(shù)為y＝ax＋b時(shí)，將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝，,2a＋b＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝，,b＝1.))所以有關(guān)系式y(tǒng)＝＋1.由此可得結(jié)論為：在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會(huì)每月上升1000雙，這是不太可能的．(2)設(shè)模擬函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c時(shí)，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝，,9a＋3b＋c＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝.))所以有關(guān)系式y(tǒng)＝－＋＋.結(jié)論為：由此法計(jì)算4月份的產(chǎn)量為萬雙，比實(shí)際產(chǎn)量少700雙，而且由二次函數(shù)性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開始將每月下降(圖像開口向下，對(duì)稱軸為x＝，不合實(shí)際．(3)設(shè)模擬函數(shù)為y＝abx＋c時(shí)，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，①,ab2＋c＝，②,ab3＋c＝.③))由①，得ab＝1－c，代入②③，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1－c＋c＝，,b21－c＋c＝.))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\f－b,1－b)，,c＝\f－b2,1－b2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,c＝.))則a＝eq\f(1－c,b)＝－.所以有關(guān)系式y(tǒng)＝－×＋.結(jié)論為：當(dāng)把x＝4代入得y＝－×＋＝.比較上述三個(gè)模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實(shí)際，如：增產(chǎn)的趨勢和可能性．經(jīng)過篩選，以指數(shù)函數(shù)模擬為最佳，一是誤差小，二是由于廠房新建，隨著工人技術(shù)和管理效益逐漸提高，一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量會(huì)明顯上升，但經(jīng)過一段時(shí)間之后，如果不更新設(shè)備，產(chǎn)量必然趨于穩(wěn)定，而該指數(shù)函數(shù)模型恰好反映了這種趨勢．因此