備考南開以及復(fù)習(xí)數(shù)分高代的一點(diǎn)淺薄認(rèn)識

去年也考了南開，結(jié)果被英語拽下了馬，今年癡心未改。以下我先粗略地談?wù)剬?8南開專業(yè)課的整體感覺，再對以后考南開的朋友們說說我對數(shù)分高代復(fù)習(xí)的看法。我感覺南開今年的數(shù)分難度比去年有所下降。首先，去年的填空用計(jì)算替換了，這樣至少可以得過程分了，計(jì)算題也都比較常規(guī)。另外幾道證明題中，根的存在性證明方法很多比較簡單，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)那道題目很多書上都有，偏微分方程變換那道題目也是南開教材（復(fù)旦版）上的習(xí)題原題，收斂反常積分無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極限問題在裴禮文的書中討論的就相當(dāng)詳盡（一致連續(xù)，導(dǎo)數(shù)有界，利普希茲條件都是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)極限為零的充分條件），最后一道體積比的計(jì)算關(guān)鍵在于曲面分球體的具體情形不太好想象。高代感覺難度比去年略有提高。首先，幾道計(jì)算題不象往年僅僅計(jì)算就可以搞定，需要一些基本概念的支撐。其次，今年考到了雙線性函數(shù)對偶空間對偶基問題，估計(jì)很多人連學(xué)都沒學(xué)過（我就屬于此類），最后一道題目看著特別面熟，但還是沒能看透到底在考什么，其他幾道證明題目相對簡單一些。以上是我對今年考題的淺薄見解。同時，我也以一個連續(xù)兩年的考生給09年的考南開的朋友們說說我的感受。一、參考數(shù)目的選取。首先要有一本教材，自己本科所用教材或者復(fù)旦版均可，對于教材一定要保證每道題目都要不僅會做，而且需要去把握每道題目的內(nèi)涵。其次要有一本題集，我也強(qiáng)烈推薦裴禮文老師的書，他的書起點(diǎn)比較高，所以最好把教材弄透了再去研習(xí)，他的書上很多題目相當(dāng)?shù)湫?，不僅對考試尤為重要，更關(guān)鍵的是若要真的喜歡數(shù)學(xué)并進(jìn)行高一層的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那他的書上一些比較典型的題目以及思想（當(dāng)然別的書上也有）幾乎是必要的。最后要強(qiáng)調(diào)的是真題，包括南開往年的題目，以及北大、中科院、中科大、浙大、清華等名校近三五年的題目。不用做太多的真題，過猶不及，關(guān)鍵在于精做。細(xì)心一點(diǎn)就會發(fā)現(xiàn)，南開的命題有一定的規(guī)律性，比如每年都會考一個數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和反常積分也總是圍繞兩個原型每年適當(dāng)變換等。不過還是要全面學(xué)習(xí)，不要僅僅為了考試而學(xué)。二、 復(fù)習(xí)時間的安排。個人認(rèn)為最好來三輪，基礎(chǔ)好的第一二輪也可以合并。三輪所用時間比3：6：1。第一輪，扎實(shí)基礎(chǔ)。南開（不例外其他名校）很注重基礎(chǔ)知識，無論數(shù)學(xué)分析還是高等代數(shù)每年都有一大部分（至少有60%）考查基礎(chǔ)功。因此，第一輪需要把最基本的概念、方法掌握。以教材為主，做到教材上的每道題目不僅知其然而且知其所以然。第二輪，拓展視野，加深理解。這一階段從兩個方面展開：一個是拓展知識面，多見識一些題目，多學(xué)習(xí)一些方法，多練習(xí)一些習(xí)題；另一個是加深對各個知識板塊的理解，不要停留在表層的認(rèn)識上，遇題多想想，想想它的本質(zhì)是什么。第三輪，真題演練，查缺補(bǔ)漏。做一些真題，看看到底是怎么考的，特別是對南開近年題目要好好研習(xí)，你一定會發(fā)現(xiàn)金礦的。做了之后總結(jié)兩點(diǎn)，一是考點(diǎn)分布范圍和題目考察角度，二是自己掌握不太好的知識板塊。最后階段在這兩個方面加大力度。三、 數(shù)學(xué)分析的復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)分析有以下幾大板塊：實(shí)數(shù)完備性理論，極限理論，單變量連續(xù)性，單變量微分學(xué)，單變量積分學(xué)（包括反常），級數(shù)理論（包括函數(shù)項(xiàng)級數(shù)），多元連續(xù)性，多元微分學(xué)，多元積分學(xué)。其中實(shí)數(shù)完備性理論雖然可能不會直接考查，但實(shí)數(shù)完備性各定理等價證明的思想?yún)s每年都能有所涉及。極限作為數(shù)分的工具，其重要性怎么說也不為過，無論是導(dǎo)數(shù)還是定積分或者反常積分，級數(shù)等幾乎所有數(shù)分概念都是通過極限定義的。南開近幾年都有極限的計(jì)算題。極限的證明可以從以下幾條思路出發(fā)"-5定義，cauchy準(zhǔn)則，單調(diào)有界原則，級數(shù)（反常積分）收斂的必要性等。極限的計(jì)算可以從以下幾條思路出發(fā)：等價因子代換，洛必達(dá)法則，轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在某區(qū)間上的定積分，轉(zhuǎn)化為某收斂級數(shù)的和等。單變量連續(xù)性中連續(xù)往往比較簡單，實(shí)際就是一個極限問題，需要注意的是一致連續(xù)（如一直連續(xù)的幾個充分條件），一致連續(xù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)圖線在任意點(diǎn)都不會無窮陡。單變量微分學(xué)中要注意幾個微分中值定理（注意與實(shí)數(shù)完備性的聯(lián)系），泰勒公式（關(guān)鍵在于選取適當(dāng)?shù)恼归_點(diǎn)，階數(shù)以及余項(xiàng)形式），凸函數(shù)（幾個等價定義）等問題。單變量積分學(xué)中首先要對黎曼可積的條件有深刻認(rèn)識（用實(shí)函知識更能說明問題，即黎曼可積的充要條件是不連續(xù)點(diǎn)為零可測集），其次注意積分極限（如黎曼引理的證明就很典型），再就是反常積分的斂散性判別（數(shù)項(xiàng)級數(shù)類似），我曾經(jīng)編了個順口溜（不妨叫它《斂散歌》）:〃非無窮小定發(fā)散，判階看界尋優(yōu)級，達(dá)郎貝爾救柯西，萊布尼茲嫁阿狄，級數(shù)積分本一家?！保ㄗⅲ喊⒌鲜侵赴⒇悹柵袆e法和狄里克萊判別法，嫁是加的諧音'級數(shù)理論包括收斂問題（如反常積分收斂，已述）和一致收斂問題。一致收斂包括函數(shù)列一致收斂和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂，其判別大相徑庭。一致收斂一般可以尋求優(yōu)級數(shù)（或優(yōu)函數(shù)），一種簡便的方法上尋找上界級數(shù)，上界級數(shù)收斂是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的充分條件。特別地，能取到上界即最大值級數(shù)收斂與原級數(shù)一致收斂是充要的。多元連續(xù)性較一元連續(xù)性復(fù)雜，但思路極其類似，一元中有的性質(zhì)多元中也有對應(yīng)的性質(zhì)（如閉區(qū)間有界性，最值存在性等）。不同的一點(diǎn)在定義多元連續(xù)的多元極限是要在某點(diǎn)的一個多維區(qū)域里滿足￡-5定義，因此要特別注意單側(cè)極限存在和極限存在的區(qū)別與聯(lián)系。多元微分學(xué)主要有兩點(diǎn)，一是偏導(dǎo)數(shù)，一是taylor公式。對于偏導(dǎo)的計(jì)算，一般用鏈?zhǔn)椒▌t都可以得到結(jié)論，使用鏈?zhǔn)椒▌t時要注意各元之間的制約關(guān)系，最好畫個樹狀圖。對于taylor公式，和一元類似，關(guān)鍵要注意展開點(diǎn)、階數(shù)、余項(xiàng)形式，由于這塊內(nèi)容比較復(fù)雜，很少有學(xué)校直接考，但其思想很有可能被考到。另外，由taylor公式也可得出多元函數(shù)的介值性、以及其它中值定理，這和一元異曲同工。多元積分學(xué)包括重積分、線積分和面積分三類。這部分內(nèi)容需要搞清楚各類積分的計(jì)算方法以及各類積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系，弄清楚每一類積分的應(yīng)用背景可以加深對概念和方法的理解。這部分的題目首先要注意對稱性，利用對稱性化簡問題；其次注意轉(zhuǎn)化，可以利用格林公式、高斯公式或斯托克斯公式等進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)換，從而簡便運(yùn)算；最后要注意變換，一般有極坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換等，目的依然是簡化計(jì)算（或者簡化被積函數(shù)，或者簡化被積域），變換后的區(qū)域可以利用邊界定限?？傊?，數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)一定要注重思想的培養(yǎng)，有很多思想無論對考試有無用處，我覺得既然要選擇繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該掌握。數(shù)學(xué)分析也有人叫無窮小分析，是建立在實(shí)數(shù)完備的前提之下衍生出來的一個體系，因此極限思想、實(shí)數(shù)理論總是起著舉足輕重的作用。無論是微分學(xué)，還是積分學(xué)，或者是級數(shù)理論，無不都是一個極限過程，實(shí)數(shù)完備換個思維也是說實(shí)數(shù)可以是極限過程。從題目的角度，微分學(xué)題目的最本質(zhì)就是實(shí)數(shù)完備，如果直接考慮微分理論不好做的時候不妨用實(shí)數(shù)完備的角度去思考；積分實(shí)際是一種很特殊的極限，如果直接考慮積分理論不好做的時候也可以想想積分的定義（達(dá)布上下和，一般會用到夾逼思想）；級數(shù)同樣是一種特別的極限，可以將其視為數(shù)列或函數(shù)的極限。四、高等代數(shù)的復(fù)習(xí)。高等代數(shù)有以下幾個板塊：多項(xiàng)式、行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、線性變換、二次型、方矩陣、歐氏空間。多項(xiàng)式部分與初等數(shù)學(xué)聯(lián)系比較緊密，需要注意多項(xiàng)式相等、多項(xiàng)式的整除、最大公因式、互素多項(xiàng)式、不可約多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式的分解。其中整除和最大公因式比較關(guān)鍵。行列式表示一種特殊的計(jì)算方式，關(guān)鍵要搞清楚行列式的計(jì)算，一般地有遞推降級法、拆分組合法、滾動相消法、加邊法、冪級數(shù)變換法、逐行（列）相加（減）、利用特征值、利用降級公式、轉(zhuǎn)化為已知行列成如范德蒙行列式等'矩陣可以說是高等代數(shù)最基本的工具，由于線性變換問題與矩陣問題時對偶問題，二次型問題與矩陣問題也是對偶問題，因此高等代數(shù)中很多問題終究可以轉(zhuǎn)化為矩陣問題加以解決。首先，單純從矩陣角度需要特別注意的是矩陣幾種特殊運(yùn)算：轉(zhuǎn)置、伴隨、逆。轉(zhuǎn)置和伴隨都比較簡單，而逆這一問題包括可逆判定和逆矩陣求解，可逆判定只需驗(yàn)證行列式是否為零，當(dāng)然除了直接計(jì)算行列式以外，也可以判斷是否以零作為其特征值。其次，矩陣乘法規(guī)則比較特殊，至于為什么要如此定義，僅僅是因?yàn)榫仃囘@一概念是為了解決先行方程組問題而提出的，若把線性方程組也看成是矩陣方程，那矩陣乘法也就自然地需要用這種不是很好理解的方式定義了（對于矩陣乘法，也有一些其它的定義）另外，方便起見，引入了分塊矩陣的概念，分塊矩陣并無多少特別之處，僅僅是我們耳熟能詳?shù)钠毡?特殊思想的一個運(yùn)用罷了。最后，還有初等矩陣的概念，我們研究問題時，總希望研究對象能夠盡可能地簡單，初等矩陣則是最簡單的矩陣，因此，很多時候我們會試圖用這些簡單的矩陣來刻畫其它復(fù)雜的矩陣。不得不補(bǔ)充的是矩陣的分解，矩陣的分解就是把一個矩陣分解成若干個矩陣的和或者積的形式，顧名思義，矩陣分解一般包括加法分解和乘法分解。矩陣分解的思想是先利用適當(dāng)方式特殊化，再從特殊入手，最后還原為一般形式。特殊化的思路有等價轉(zhuǎn)換法、相似轉(zhuǎn)換法、合同轉(zhuǎn)換法（僅適用于對稱方陣），它們分別把一般矩陣特殊化為等價標(biāo)準(zhǔn)形、jordan標(biāo)準(zhǔn)形、合同標(biāo)準(zhǔn)形。具體的加法分解有：秩1分解，小秩分解，對稱反對稱分解，對角冪零分解等；乘法分解有：等價分解、相似分解、合同分解、滿秩分解、可逆幕零分解、voss分解等。另夕卜一些特殊矩陣有著特殊的分解，如可逆矩陣有qr分解，對陳陣有合同分解，正定陣有幕分解等。線性方程組是線性代數(shù)的主題，也是高等代數(shù)個知識點(diǎn)的銜接點(diǎn)，主要包括線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)兩部分。解的判定只需判斷系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩的關(guān)系，另外，線性方程組ax=b有解與b可由a的列向量線性表出。解的結(jié)構(gòu)也完全由系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相關(guān)，此處弓1入了極大線性無關(guān)組的概念，它有三層含義：首先是解，其次相互無關(guān)，另外任一組解可由它們線性表出。線性空間理論包括線性空間概念及其結(jié)構(gòu)。線性空間的定義由公理化體系給出了八條運(yùn)算規(guī)則，因此判定一個集合是否是線性空間也只能逐一驗(yàn)證這八條運(yùn)算規(guī)律。線性空間的結(jié)構(gòu)可以從維數(shù)、基、子空間、空間運(yùn)算等角度去理解，維數(shù)刻畫了空間的“大小〃，基刻畫了空間中元素的〃形狀”，子空間刻畫了空間中各個元件的關(guān)系，空間運(yùn)算（交、和、補(bǔ)）則是構(gòu)造新空間的基本方法。這里需要指出的是，空間運(yùn)算不像集合運(yùn)算（交、并、補(bǔ)），這是因?yàn)椴⑦\(yùn)算不能保證新集合的完備性，也就是說兩空間的并中某些元素進(jìn)行加法運(yùn)算后會在并集合之外，而和運(yùn)算避免了這點(diǎn)，另外和運(yùn)算也有很多實(shí)際原型，并非來的突兀。線性空間的子空間除了保加保數(shù)乘以外，還有兩個特殊的性質(zhì)：第一個我把它稱作子空間的不完全覆蓋性，具體含義是指，任意有限個子空間其并僅僅是原空間的一部分而非整體。例如二維平面空間的任一子空間就是過原點(diǎn)的直線，我們知道任意有限條過原點(diǎn)的直線都無法填滿平面。第二個我把它稱作補(bǔ)子空間的不唯一性，也就是說任意一個子空間，有一系列空間都可以成為其補(bǔ)子空間。、線性變換是研究線性空間的結(jié)構(gòu)的有力工具，在這塊的學(xué)習(xí)中一定要注意線性空間與矩陣一一對應(yīng)的關(guān)系。首先線性變換的判定比較簡單，只需按部就班地驗(yàn)證即可。其次，我們總是想讓線性變換變得簡單明了，比較簡單的一類是對應(yīng)矩陣為對角陣的線性變換，這就弓|發(fā)了特征值和特征向量的問題，反過來，特征值和特征向量又對矩陣或者說線性變換的對角化的研究相當(dāng)重要。這里只是說明矩陣可對角化的一些條件：有互異特征值是可對角化的充分條件，有完備的特征向量是可對角化的充要條件，零化多項(xiàng)式無重根是可對角化的充分條件，特征多項(xiàng)式無重根是可對角化的充要條件，最小多項(xiàng)式無重根是可對角化的充要條件。最后，要指出的是，線性變換的概念引出之后又有了一類特殊的空間，即不變子空間。不變子空間不僅要求是一個子空間，另外必須相對于線性變換來說要不變。常見的不變子空間有特征子空間、值域和核。特征子空間實(shí)際是一個其次線性方程組的解空間，這里需要注意一個矩陣的代數(shù)重?cái)?shù)不會超過其幾個重?cái)?shù)。值域與核是兩個非常重要的不變子空間，不僅要掌握它們各自基與維數(shù)的求法，還要理解其實(shí)際意義。值域與核對于一些空間分解也很有幫助。二次型是高等代數(shù)中比較特殊的一部分，它源于對曲面變換的研究，也要注意二次型問題與矩陣問題的對偶性。對于對稱方陣，我們有了一類特殊的變換，即合同變換。首先，對于具體二次型的正定性的判定，乃至求二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，低階的可以直接計(jì)算，對于高階的可以求其特征值，進(jìn)而判斷正負(fù)特征值的個數(shù)。其次，對于抽象二次型正定性的判定，并沒有以不變應(yīng)萬變的方法，但一般可以從以下兩個思路出發(fā):利用合同變換轉(zhuǎn)化為簡單矩陣或者利用二次型特殊性質(zhì)。另外，一個二次型正定有很多等價條件。最后，需要特別注意二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形的求解，其結(jié)果與數(shù)域相關(guān)。入-矩陣的研究的根本目的是研究矩陣結(jié)構(gòu)，我們總是希望矩陣能在某種意義下簡單化，而矩陣相似理論告訴我們?nèi)我庖粋€矩陣在相似關(guān)系下都有jordan標(biāo)準(zhǔn)形。入-矩陣不同于一般的矩陣（數(shù)字矩陣）之處在于其元素是的多項(xiàng)式，僅此而已。首先，jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求解是一項(xiàng)基本功，一般是先求特征值，再求對應(yīng)特征向量，判斷jordan標(biāo)準(zhǔn)形的形狀，過渡陣的求解有時需要解一個非齊次線性方程組。另外一個解決途徑就是求出行列式因子或不變因子，從而得出初等因子，進(jìn)而確定jordan標(biāo)準(zhǔn)形。其次，對于兩矩陣相似的判定，較為靈活，可以先嘗試用必要條件（跡或行列式相等）來判斷是否不相似，若無法確定則可利用充要條件（行列式因子、不變因子、初等因子或