第六章IIR濾波器的設計方法

第六章

IIR數(shù)字濾波器設計方法第六章IIR濾波器的設計方法學習目標理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握沖激響應不變法掌握雙線性變換法掌握Butterworth、Chebyshev低通的特點了解利用模擬濾波器設計IIR濾波器的設計過程了解利用頻帶變換法設計各種類型數(shù)字濾波器的方法本章作業(yè)練習

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1(1)3456.1數(shù)字濾波器的基本概念一、濾波器的功能濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。a）時域說明b）頻域說明6.1數(shù)字濾波器的基本概念

二、數(shù)字濾波器的分類

經典濾波器：

現(xiàn)代濾波器：

選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應濾波器等按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器按實現(xiàn)的網絡結構或單位抽樣響應分：FIR濾波器（N-1階）IIR濾波器（N階）三、數(shù)字濾波器的技術要求選頻濾波器的頻率響應：

為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的幅度加權情況

為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后各頻率成分的信號延時情況6.2數(shù)字濾波器的實現(xiàn)步驟（2）用一個因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標（1）按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標（3）利用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算結構、字長的選擇等（4）實際技術實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法 ：阻帶截止頻率（1）低通濾波器的容限圖6.3數(shù)字濾波器的技術指標 ：通帶截止頻率 ：通帶紋波 ：阻帶紋波2.數(shù)學描述式（誤差）阻帶：過渡帶：通帶：通帶最大衰減：阻帶最小衰減：其中：當時，稱為3dB通帶截止頻率（2）各種濾波器的幅度響應的容限圖及技術指標（2）各種濾波器的幅度響應的容限圖及技術指標（3）表征濾波器頻率響應的特征參量a.幅度平方響應

的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的H(z)的極點：單位圓內的極點b.相位響應相位響應：（3）群延遲響應相位對角頻率的導數(shù)的負值若濾波器通帶內=常數(shù)， 則為線性相位濾波器7.4IIR數(shù)字濾波器的設計方法分類先設計模擬濾波器，再轉換為數(shù)字濾波器用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：即為求濾波器的各系數(shù)：計算機輔助設計法

s平面逼近：模擬濾波器z平面逼近：數(shù)字濾波器7.4IIR數(shù)字濾波器的設計方法分類7.5用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器一、設計思想：

s平面z平面 模擬系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)（1）H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)映射到因果穩(wěn)定的H(z)，即s平面的左半平面Re[s]<0，映射到z平面的單位圓內|z|<1二、設計要求：7.5.1概述三、設計方法：-沖激響應不變法-階躍響應不變法-雙線性變換法7.5.2沖激響應不變法數(shù)字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應（1）、變換原理T—抽樣周期（2）、混迭失真僅當數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為

實際系統(tǒng)不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當濾波器的設計指標以數(shù)字域頻率給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象（3）、模擬濾波器的數(shù)字化方法系數(shù)相同：極點：s平面z平面穩(wěn)定性不變：s平面z平面不是所有的點都按照上述映射關系。當T很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正令：由于：試用沖激響應不變法，設計IIR數(shù)字濾波器例：設模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設T=1s，則模擬濾波器的頻率響應：數(shù)字濾波器的頻率響應：（4）、優(yōu)缺點優(yōu)點：缺點：線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應 時域逼近良好頻率保持線性關系：解：沖激響應不變法：例：用沖激響應不變法將以下變換為抽樣周期為T。，（1）將部分分式分解：經沖激響應不變法變換后得：7.5.3階躍響應不變法（1）變換原理數(shù)字濾波器的階躍響應 模仿模擬濾波器的階躍響應 T—抽樣周期階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現(xiàn)象但比沖激響應不變法要小。7.5.4雙線性變換法（1）變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應 與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近 缺點是產生頻率響應的混疊失真為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數(shù)c（2）變換常數(shù)c的選擇b.某一特定頻率嚴格相對應：a.低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位置c.逼近情況1）

s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內

s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上d.優(yōu)缺點優(yōu)點：避免了頻率響應的混迭現(xiàn)象s平面與z平面為單值變換缺點：

除了零頻率附近，與之間嚴重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數(shù)型，不然會產生畸變1）線性相位模擬濾波器非線性相位數(shù)字濾波器e.模擬濾波器的數(shù)字化方法f.預畸變 給定數(shù)字濾波器的截止頻率w1，則按W1設計模擬濾波器，經雙線性變換后，即可得到w1為截止頻率的數(shù)字濾波器例：設有一模擬濾波器抽樣周期，試用雙線性變換法將它轉變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)解：由變換公式及，，可得可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)7.6常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器貝塞爾Bessel濾波器橢圓Ellipse濾波器7.6.1由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為的零點，虛軸上的零點一半歸特點：極點成象限對稱1）由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)2）將因式分解，得到各零極點3）對比和，確定增益常數(shù)4）由零極點及增益常數(shù)，得例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數(shù)為K07.6.2Butterworth低通逼近(1)幅度平方函數(shù)N取正整數(shù)，表示濾波器的階數(shù)為通帶截止頻率兩個參數(shù):(2).幅度函數(shù)的特點：

（2）

（3）

通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小

（4）過渡帶及阻帶內快速單調減小

（1）稱為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬通帶內，N值越大，衰減越慢，幅度越平坦；阻帶內，N值越大，衰減越快。Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：(3)系統(tǒng)函數(shù)的求解a.極點分布特點極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點；

極點間的角度間隔為

極點不落在虛軸上；N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點（2）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：（3）濾波器的設計步驟：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術指標：由得：同理：令則：其中技術指標給出或由下式求出：阻帶指標有富裕或通帶指標有富裕寫出系統(tǒng)函數(shù)例：設計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選T=1sa）確定參數(shù) 用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)4）將展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數(shù) 用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)4）將變換成Butterworth數(shù)字濾波器：三、Chebyshev低通逼近N：濾波器的階數(shù)1.幅度平方函數(shù)：截止頻率，不一定為3dB帶寬，表示通帶波紋大小，越大，波紋越大：N階Chebyshev多項式三個參數(shù)：

2.幅度函數(shù)特點：通帶外：迅速單調下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù)通帶內：在1和間等波紋起伏

3.三個參量的確定：通帶截止頻率，給定：表征通帶內波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于通帶內最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率4.確定系統(tǒng)函數(shù)（1）極點分布特點（2）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：其中：5.濾波器的設計步驟 歸一化：確定技術指標：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N及：其中：由下式求出：求出極點：根據(jù)N確定系數(shù)，寫出系統(tǒng)函數(shù)例：用雙線性變換法設計Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于rad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率到之間的阻帶內，衰減大于15dB。1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數(shù)3）設計Chebyshev模擬低通濾波器b)求左半平面極點c)構造系統(tǒng)函數(shù)c’)去歸一化b’)由N=4，直接查表得或者：4）將變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：②將數(shù)字濾波器的技術指標轉變成模擬濾波器的技術指標小結：利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字濾波器的步驟

通帶截止頻率、通帶衰減 阻帶截止頻率、阻帶衰減通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率①確定數(shù)字濾波器的技術指標：沖激響應不變法雙線性變換法③按模擬濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器Butterworth低通濾波器Chebyshev低通濾波器④將模擬低通濾波器轉換成數(shù)字低通濾波器沖激響應不變法雙線性變換法四、設計IIR型濾波器的頻率變換法例：二階Butterworth歸一化模擬濾波器（LPF）為：設計對應3dB截止模擬頻率為50Hz的二階Butterworth數(shù)字濾波器。設數(shù)字系統(tǒng)采樣頻率為500Hz，并采用階躍響應不變法來設計。解：求模擬系統(tǒng)函數(shù)：最后得（用在z-1表示）代入T=1/500，計算ZT得五、模擬濾波器數(shù)字化方法可分解成級聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)的低階子系統(tǒng)6.8常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術指標，設計模擬濾波器，再轉換成數(shù)字濾波器模擬濾波器巴特沃斯Butterworth濾波器切比雪夫Chebyshev濾波器橢圓Ellipse濾波器貝塞爾Bessel濾波器1、由幅度平方函數(shù)確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(t)是實函數(shù)將左半平面的的極點歸Ha(s)將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的零點一半歸Ha(s)Ha(s)Ha(-s)的零極點分布由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)對比和，確定增益常數(shù)由零極點及增益常數(shù)，得例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數(shù)為K01）巴特沃爾斯濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設計幅度平方函數(shù)：當稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數(shù)Wc為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點：

3dB不變性通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小過渡帶及阻帶內快速單調減小當W＝Wst（阻帶截止頻率）時，衰減的d1為阻帶最小衰減Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：2）幅度平方特性的極點分布：極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上，共2N點極點間的角度間隔為極點不落在虛軸上

N為奇數(shù)，實軸上有極點，N為偶數(shù)，實軸上無極點Ha(s)Ha(-s)的零極點分布(a)N=4(三階）(b)N=4（四階）3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，得4）濾波器的設計步驟：根據(jù)技術指標求出濾波器階數(shù)N：確定技術指標：由得：同理：令則：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)： 或者由N，直接查表得其中技術指標Wc給出或由下式求出： 其中極點：去歸一化阻帶指標有富?；蛲◣е笜擞懈辉＠涸O計Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于0.2prad的通帶內幅度特性下降小于1dB。在頻率0.3p到p之間的阻帶內，衰減大于15dB。分別用沖激響應不變法和雙線性變換法。1、用沖激響應不變法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）得模擬濾波器的技術指標：選T=1sa）確定參數(shù) 用通帶技術指標，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)展成部分分式形式:變換成Butterworth數(shù)字濾波器：用沖激響應不變法設計出的Butterworth濾波器2、用雙線性變換法設計1）由數(shù)字濾波器的技術指標：2）考慮預畸變，得模擬濾波器的技術指標：a）確定參數(shù) 用阻帶技術指標，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設計Butterworth模擬低通濾波器b)求出極點（左半平面）c)構造系統(tǒng)函數(shù)或者b’)由N=6，直接查表得c’)去歸一化4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2）切貝雪夫濾波器（Chebyshev）N：濾波器的階數(shù)Wc：截止頻率，不一定為3dB帶寬0<e<1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大CN(x)：N階Chebyshev多項式TypeIChebyshevN為偶數(shù)N為奇數(shù)

通帶內：在1和間等波紋起伏通帶外：迅速單調下降趨向0Chebyshev濾波器的三個參量：Wc：通帶截止頻率，給定

e：表征