《幾個(gè)三角恒等式》設(shè)計(jì)2

《幾個(gè)三角恒等式》教學(xué)設(shè)計(jì)●教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式，并對此有所了解．(2)能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會(huì)如何綜合利用這些公式解決問題．(3)揭示知識(shí)背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與建模意識(shí)．2．過程與方法讓學(xué)生自己導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會(huì)這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；同時(shí)讓學(xué)生初步體會(huì)如何利用三角函數(shù)研究簡單的實(shí)際問題．通過例題講解，總結(jié)方法．通過做練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對三角恒等變形公式的意義和作用有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)；理解并掌握三角函數(shù)各個(gè)公式的靈活變形，體會(huì)公式所蘊(yùn)涵的和諧美，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：積化和差公式、和差化積公式、萬能公式及半角公式的推導(dǎo)．難點(diǎn)：綜合運(yùn)用公式進(jìn)行三角恒等變換．●課時(shí)安排2課時(shí)●教學(xué)建議1．關(guān)于積化和差公式的教學(xué)建議教師首先讓學(xué)生復(fù)習(xí)兩角和與差的正、余弦公式，觀察公式左邊的結(jié)構(gòu)形式，如：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.引導(dǎo)學(xué)生自己導(dǎo)出三角函數(shù)的積化和差公式及sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．關(guān)于和差化積問題的教學(xué)建議教師要強(qiáng)調(diào)把兩個(gè)三角函數(shù)式的和差化為積的形式，最后結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的積的最簡形式．●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合公式Sα±β、Cα±β推導(dǎo)出三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式.)?eq\x(結(jié)合倍角公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出萬能代換公式并探究公式的特征及用途.)?通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握利用三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值計(jì)算的方法.?eq\x(通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握解決三角函數(shù)式化簡問題中的化簡技巧及化簡要求.)?eq\x(通過例3及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握三角恒等式證明的基本思路和方法.)?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正.)課標(biāo)解讀1.能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)積化和差與和差化積公式、萬能公式．2.能利用所學(xué)公式進(jìn)行三角恒等變換．(重點(diǎn)、難點(diǎn))積化和差與和差化積公式【問題導(dǎo)思】利用兩角和與差的正弦公式能否用sin(α＋β)與sin(α－β)表示sinαcosβ和cosα·sinβ？【提示】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ))，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．eq\x(積化和差公式)sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]eq\x(和差化積公式)sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)萬能代換公式【問題導(dǎo)思】結(jié)合前面所學(xué)倍角公式，能否用taneq\f(α,2)表示sinα？【提示】sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，即sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).設(shè)taneq\f(α,2)＝t，則sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2).三角函數(shù)式求值問題求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.【思路探究】首先將三角函數(shù)化為余弦形式，代入特殊值后進(jìn)行積化和差．【自主解答】原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)[eq\f(1,2)(cos60°＋cos40°)·cos70°]＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16).1．三角函數(shù)的求值主要有三種類型，即給角求值、給值求值、給值求角．(1)給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而化為特殊角的三角函數(shù)．(2)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的角運(yùn)算及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用．同時(shí)也要注意變換欲求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的．(3)給值求角關(guān)鍵是先求出該角的某一三角函數(shù)式的值，其次判斷該角在對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，從而達(dá)到解題的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性質(zhì)法等．求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．【解】法一原式＝eq\f(1－cos40°,2)＋eq\f(1＋cos100°,2)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝1＋eq\f(1,2)(cos100°－cos40°)＋eq\f(1,2)sin70°－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)(－2sin70°sin30°)＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin70°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4).法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°，則x＋y＝2＋sin70°，①x－y＝－cos40°＋cos100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin30°－eq\f(1,2)，即x－y＝－eq\f(1,2)－sin70°，②①＋②得2x＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴x＝eq\f(3,4).即sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4).三角函數(shù)式化簡問題化簡(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))(1＋tanα·taneq\f(α,2))．【思路探究】題目中有角eq\f(α,2)，也有角α，利用正切的半角公式的有理表達(dá)式可以把eq\f(α,2)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)，然后將角α的正切轉(zhuǎn)化為α的正、余弦函數(shù)，化簡即得．【自主解答】(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))(1＋tanαtaneq\f(α,2))＝(eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα))(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(2cosα,sinα)(1＋eq\f(1－cosα,cosα))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(1,cosα)＝eq\f(2,sinα).1．三角恒等變換常用技巧：(1)常值代換；(2)切化弦，弦化切；(3)降冪變倍角，升冪變半角；(4)角的變換；(5)公式的正用、逆用和變形用．2．對于三角函數(shù)式的化簡有下面的要求：(1)能求出值的應(yīng)求出值；(2)使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；(3)使三角函數(shù)式中的項(xiàng)數(shù)盡量少；(4)盡量使分母不含有三角函數(shù)；(5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)．化簡：cos2A＋cos2(eq\f(2π,3)＋A)＋cos2(eq\f(4π,3)＋A)．【解】原式＝eq\f(1－cos2A,2)＋eq\f(1－cos\f(4π,3)＋2A,2)＋eq\f(1－cos\f(8π,3)＋2A,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A＋cos(eq\f(4π,3)＋2A)＋cos(eq\f(8π,3)＋2A)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A＋2cos(2π＋2A)coseq\f(2π,3)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A－cos(2π＋2A)]＝eq\f(3,2).三角恒等式的證明求證：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝eq\f(1,4)sin3α.【思路探究】恒等式的左邊是函數(shù)積的形式且各三角函數(shù)的角不一樣，應(yīng)根據(jù)積化和差公式對左邊變形整理，進(jìn)行角的統(tǒng)一．【自主解答】左邊＝sinα[－eq\f(1,2)(cos120°－cos2α)]＝eq\f(1,4)sinα＋eq\f(1,2)sinαcos2α＝eq\f(1,4)sinα＋eq\f(1,4)[sin3α＋sin(－α)]＝eq\f(1,4)sin3α＝右邊，∴原等式成立．1．當(dāng)對三個(gè)或三個(gè)以上的正弦或余弦函數(shù)因式的積通過積化和差公式進(jìn)行化簡時(shí)，選擇因式的依據(jù)是使兩因式的和或差是特殊角或與其他因式的角相同或相關(guān)．2．證明三角恒等式的基本思路是根據(jù)等式兩端特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右歸一、變更論證等方法，使等式兩端的“異”化為“同”，分式不好證時(shí)，可變形為整式來證．在△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)coseq\f(C,2).【證明】由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即eq\f(C,2)＝90°－eq\f(A＋B,2).∴coseq\f(C,2)＝sineq\f(A＋B,2).∴sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A＋B,2)＝2sineq\f(A＋B,2)(coseq\f(A－B,2)＋coseq\f(A＋B,2))＝2coseq\f(C,2)·2coseq\f(A,2)·cos(－eq\f(B,2))＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)coseq\f(C,2).∴原等式成立.進(jìn)行三角恒等變換時(shí)忽略角的取值范圍致誤已知α為第三象限角，且coseq\f(α,2)＞0，tanα＝3，求taneq\f(α,2)的值．【錯(cuò)解】∵tanα＝3，∴eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝3，∴3tan2eq\f(α,2)＋2taneq\f(α,2)－3＝0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(10),3)或taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).【錯(cuò)因分析】本題由于忽略角的取值范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，應(yīng)對eq\f(α,2)的范圍進(jìn)行討論．【防范措施】在進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，忽略了角的取值范圍，出現(xiàn)前、后取值范圍不一致的情況．【正解】∵tanα＝3，所以eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝3，∴3tan2eq\f(α,2)＋2taneq\f(α,2)－3＝0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(10),3)或taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).∵coseq\f(α,2)＞0，α為第三象限角，∴eq\f(α,2)為第四象限角，所以taneq\f(α,2)＜0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).1．三角函數(shù)式化簡結(jié)果的三大要求(1)能求值的求值；(2)不能求值的要保證三角函數(shù)的種類最少、項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低；(3)分式的分母中盡量不含根號(hào)．2．三角恒等式證明的常用方法(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡；(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“eq\f(左邊,右邊)＝1”；(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，一直到探求出已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．1．sin105°＋sin15°＝________.【解析】原式＝2sineq\f(105°＋15°,2)·coseq\f(105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值是________．【解析】原式＝eq\f(1,2)[sin90°＋sin(－50°)]－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－40°)]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin50°－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)3．化簡cosα＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________.【解析】cosα＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝cosα＋2cosαcos120°＝cosα－cosα＝0.【答案】04．求證：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos2β－cos2α；(2)eq\f(cosα－cosβ,sinα＋sinβ)＝taneq\f(β－α,2).【證明】(1)∵左邊＝－eq\f(1,2)[cos2α－cos2β]＝－eq\f(1,2)[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝右邊，∴原等式成立．(2)∵左邊＝eq\f(－2sin\f(α＋β,2)sin\f(α－β,2),2sin\f(α＋β,2)cos\f(α－β,2))＝－eq\f(sin\f(α－β,2),cos\f(α－β,2))＝－taneq\f(α－β,2)＝taneq\f(β－α,2)＝右邊，∴原等式成立.一、填空題1．sin°cos°＝________.【解析】原式＝eq\f(1,2)[sin°＋°)＋sin°－°)]＝eq\f(1,2)(sin45°＋sin30°)＝eq\f(1,2)×(eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2)＋1,4).【答案】eq\f(\r(2)＋1,4)2．化簡：eq\f(sin15°＋cos65°,cos15°＋sin65°)＝________.【解析】原式＝eq\f(sin15°＋sin25°,cos15°＋cos25°)＝eq\f(2sin20°cos5°,2cos20°cos5°)＝tan20°.【答案】tan20°3．函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3))cos(2x＋eq\f(π,3))的周期是________．【解析】∵f(x)＝eq\f(1,2)[sin4x＋sin(－eq\f(2π,3))]＝eq\f(1,2)sin4x－eq\f(\r(3),4)，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)4．(2013·臨沂高一檢測)求值：sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝________.【解析】sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝2sin30°cos(－10°)＋sin60°－sin80°＝2×eq\f(1,2)×sin80°＋eq\f(\r(3),2)－sin80°＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(\r(3),2)5．已知α－β＝eq\f(2π,3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，則cos(α＋β)等于________．【解析】∵cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，∴2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,3)，∵α－β＝eq\f(2,3)π，∴coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2).∴coseq\f(α＋β,2)＝eq\f(1,3)則cos(α＋β)＝2cos2(eq\f(α＋β,2))－1＝－eq\f(7,9).【答案】－eq\f(7,9)6．已知等腰三角形頂角的余弦值等于eq\f(4,5)，則這個(gè)三角形底角的正弦值為________．【解析】設(shè)該等腰三角形頂角為α，底角為β，則有α＋2β＝π，β＝eq\f(π,2)－eq\f(α,2)，∴sinβ＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(α,2))＝coseq\f(α,2).∵2cos2eq\f(α,2)－1＝cosα，∴coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(cosα＋1,2))＝eq\f(3\r(10),10).【答案】eq\f(3\r(10),10)7．直角三角形中兩銳角為A和B，則sinAsinB的最大值為________．【解析】∵A＋B＝eq\f(π,2)，sinAsinB＝eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)cos(A－B)，又－eq\f(π,2)＜A－B＜eq\f(π,2)，∴0＜cos(A－B)≤1，∴sinAsinB有最大值eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)\f(1,sin40°)＋eq\f(cos80°,sin80°)＝________.【解析】原式＝eq\f(2cos40°＋cos80°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋2cos60°cos20°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋cos20°,sin80°)＝eq\f(2cos30°cos10°,sin80°)＝2cos30°＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)二、解答題9．已知θ∈(π，eq\f(3,2)π)且sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，求：(1)eq\f(sinθ,1＋cosθ)；(2)sinθ＋2cosθ.【解】∵sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，θ∈(π，eq\f(3,2)π)，∴eq\f(θ,2)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3,4)π)．∴coseq\f(θ,2)＝－eq\r(1－sin2\f(θ,2))＝－eq\r(1－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5).設(shè)t＝taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝eq\f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,4).(1)eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(\f(2t,1＋t2),1＋\f(1－t2,1＋t2))＝eq\f(2t,2)＝t＝－eq\f(3,4).(2)sinθ＋2cosθ＝eq\f(2t,1＋t2)＋2·eq\f(1－t2,1＋t2)＝eq\f(2t＋2－2t2,1＋t2)＝eq\f(2×－\f(3,4)＋2－2×－\f(3,4)2,1＋－\f(3,4)2)＝－eq\f(2,5).10．求函數(shù)f(x)＝sinx[sinx－sin(x＋eq\f(π,3))]的最小正周期與最值．【解】f(x)＝sinx[sinx－sin(x＋eq\f(π,3))]＝sinx·2cos(x＋eq\f(π,6))sin(－eq\f(π,6))＝－sinxcos(x＋eq\f(π,6))＝－eq\f(1,2)[sin(2x＋eq\f(π,6))＋sin(－eq\f(π,6))]＝－eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,4).∴最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.∵sin(2x＋eq\f(π,6))∈[－1,1]，∴f(x)max＝eq\f(3,4)，f(x)min＝－eq\f(1,4).11．已知3tan(α－eq\f(π,12))＝tan(α＋eq\f(π,12))，求證：sin2α＝1.【證明】∵3tan(α－eq\f(π,12))＝tan(α＋eq\f(π,12))，∴eq\f(3sinα－\f(π,12),cosα－\f(π,12))＝eq\f(sinα＋\f(π,12),cosα＋\f(π,12)).∴3sin(α－eq\f(π,12))cos(α＋eq\f(π,12))＝sin(α＋eq\f(π,12))cos(α－eq\f(π,12))．∴eq\f(3,2)(sin2α－sineq\f(π,6))＝eq\f(1,2)(sin2α＋sineq\f(π,6))．∴3sin2α－eq\f(3,2)＝sin2α＋eq\f(1,2)，∴sin2α＝1.求函數(shù)f(x)＝eq\f(sin\f(5,2)x,2sin\f(x,2))－eq\f(1,2)的值域．【思路探究】先通分，再將sineq\f(5,2)x－sineq\f(x,2)和差化積，約去分母sineq\f(x,2)，再變形為只含一個(gè)三角函數(shù)符號(hào)的形式．然后在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求值域．【自主解答】