導(dǎo)體和電介質(zhì)

1靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)一靜電場中的導(dǎo)體2導(dǎo)體的靜電平衡條件

當(dāng)一帶電體系中的電荷靜止不動，從而電場分布不隨時間變化時，該帶電體系就達(dá)到了靜電平衡。導(dǎo)體的特點(diǎn)是其體內(nèi)存在自由電荷，它們在電場作用下可移動，從而改變原有電荷分布。反過來電荷分布的改變又會影響到原有的電場分布?？梢娪袑?dǎo)體存在時電荷的分布和電場的分布是相互影響、相互制約的。并不是電荷和電場的任何一種分布都是靜電平衡分布。導(dǎo)體的靜電平衡條件

此平衡條件可論證如下：若導(dǎo)體內(nèi)的電場E不處處為零，則在E不為零的地方，自由電荷將會移動，亦即導(dǎo)體沒有達(dá)到靜電平衡。換句話說，當(dāng)導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時，其內(nèi)部場強(qiáng)必定處處為零。體內(nèi)場強(qiáng)處處為零3--++-+-+

上面只證明了上述平衡條件是必要的，關(guān)于它同時也是充分條件的證明需用到靜電場的唯一性定理，這將在電動力學(xué)中講述。另外也未涉及導(dǎo)體從非平衡態(tài)趨于平衡態(tài)的過程，這樣的過程通常都很復(fù)雜，下面只舉個例子說明一下。導(dǎo)體的靜電平衡條件體內(nèi)場強(qiáng)處處為零4

如圖，把一不帶電的導(dǎo)體放在電場E0中，在導(dǎo)體所占據(jù)的那部分空間本來是有電場的，各處電勢不相等。-+-+-+--++-+-+在電場的作用下，導(dǎo)體中的自由電荷將發(fā)生移動，結(jié)果使導(dǎo)體的一端帶上正電，另一端帶上負(fù)電，此即靜電感應(yīng)現(xiàn)象。然而這樣的過程不會繼續(xù)下去的，因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)體的兩端積累了正負(fù)電荷后，就產(chǎn)生了一個附加電場E’，E’與E0迭加的結(jié)果使導(dǎo)體內(nèi)外的電場發(fā)生了重新分布。5-+-+-+--++-+-+

在導(dǎo)體內(nèi)E’的方向與外電場E0的方向相反，當(dāng)導(dǎo)體兩端的正負(fù)電荷積累到一定程度時，E’的數(shù)值就會大到足以把E0完全抵消。此時導(dǎo)體內(nèi)部的總電場處處為零，即自由電荷不再移動，導(dǎo)體兩端正負(fù)電荷不再增加，于是達(dá)到了靜電平衡。顯然，若導(dǎo)體內(nèi)的總場強(qiáng)不處處為零，那么場強(qiáng)不為零的地方，自由電荷仍將繼續(xù)移動，直到場強(qiáng)處處為零時為止。6從上述導(dǎo)體靜電平衡條件出發(fā)，可直接得到以下幾點(diǎn)推論：①在達(dá)到靜電平衡以后，導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。因?qū)w內(nèi)任意兩點(diǎn)P、Q之間的電勢差為若場強(qiáng)E處處為零，則導(dǎo)體內(nèi)部所有各點(diǎn)的電勢相等，從而導(dǎo)體表面是個等勢面。②在達(dá)到靜電平衡以后，導(dǎo)體外的場強(qiáng)處處與它的表面垂直。

因?yàn)殡娏€處處與等勢面正交，所以導(dǎo)體外的場強(qiáng)必定與它的表面垂直。7電荷分布

可用高斯定理證明。假定導(dǎo)體內(nèi)部某處有未被抵消的凈電荷q，則可取一個完全在導(dǎo)體內(nèi)部的閉合高斯面S，將它完全包圍起來。據(jù)高斯定理，通過S的電通量為q/0是一非零值。即在S上面至少有些點(diǎn)的場強(qiáng)E不等于零。S面上場強(qiáng)不為零的這些地方就達(dá)不到靜電平衡，電荷就會重新分布，直到場強(qiáng)處處為零體內(nèi)電荷完全抵消為止。所以據(jù)靜電平衡條件的要求，在達(dá)到靜電平衡狀態(tài)后，導(dǎo)體內(nèi)部必定處處沒有未被抵消的凈電荷，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。

在達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。Sq.8S導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）上面是實(shí)心導(dǎo)體的情況。如果是一個導(dǎo)體殼，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)沒有其它帶電體時

在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)的電勢處處相等。證明：在導(dǎo)體殼內(nèi)、外表面之間取一閉合曲面S將空腔包圍起來。由于閉合面S完全處于導(dǎo)體內(nèi)部，據(jù)平衡條件其上場強(qiáng)處處為零，因此沒有電通量穿過它。按照高斯定理，在S內(nèi)部（即導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上）電荷的代數(shù)和為零。9--++S

進(jìn)一步還需證明，在導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上不僅電荷的代數(shù)和為零，而且各處的面電荷密度也為零。

利用反證法，假定內(nèi)表面上不處處為零，由于電荷的代數(shù)和為零，必然有些地方＞0，有些地方＜0，而電力線只能從正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷，不能在沒有電荷的地方中斷。這樣空腔內(nèi)就有電力線從＞0的地方出發(fā)終止于內(nèi)表面上＜0的地方。10--++S

如果存在這樣一根電力線，電場沿此電力線的積分必不為零。即這電力線的兩個端點(diǎn)之間有電勢差，但這電力線的兩端都在同一導(dǎo)體上，靜電平衡要求這兩點(diǎn)的電勢相等，因此上述結(jié)論與平衡條件相違背。

可見在達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上必須處處為零，既然內(nèi)表面上沒有電荷，腔內(nèi)就不可能有電力線，即腔內(nèi)的場強(qiáng)為零。沒有電場就沒有電勢差，故腔內(nèi)空間各點(diǎn)的電勢處處相等。11導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）

導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。例如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。證明：如圖，在導(dǎo)體殼內(nèi)、外表面之間作一高斯面S，由于高斯面處在導(dǎo)體內(nèi)部，在靜電平衡時場強(qiáng)處處為零。所以通過S的電通量為零。據(jù)高斯定理，高斯面內(nèi)∑q=0。若導(dǎo)體殼內(nèi)有一帶電體帶電q，則內(nèi)表面必定帶電-q。--------q++++q+S12BA+3++++--------3+++++++例如，導(dǎo)體球B被同心的導(dǎo)體球A所包圍。若分別給A、B兩導(dǎo)體以電量+5微庫侖和+3微庫侖，那么A球的外表面帶電多少？

設(shè)想先不給A球帶電，則它的內(nèi)表面必定要出現(xiàn)－3微庫侖的電量，這實(shí)際上是一種靜電感應(yīng)現(xiàn)象。由于內(nèi)球B帶正電而把－3微庫侖的電量吸引到A球的內(nèi)表面，多余的+3微庫侖的電量排斥到外表面。當(dāng)再給A球+5微庫侖的電量時，它將分布在外表面，使外表面共獲得+8微庫侖的電量。5+3=813面電荷密度與場強(qiáng)的關(guān)系尖端放電

在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面之外附近空間的場強(qiáng)E與該處導(dǎo)體表面的面電荷密度有如下關(guān)系14?SP證明：如圖所示，P點(diǎn)是導(dǎo)體表面之外附近空間的一點(diǎn)，在P點(diǎn)附近的導(dǎo)體表面上取一面元S，這面元取得充分小，使得其上的面電荷密度可以認(rèn)為是均勻的。作一扁圓柱形高斯面，使圓柱側(cè)面與S垂直。圓柱的上底通過P，下底在導(dǎo)體內(nèi)部，兩側(cè)都與S平行，并無限靠近它，因此它們的面積都是S。通過高斯面的電通量為?SP15?SP

由于導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，所以第二項(xiàng)沿下底的積分為零；而導(dǎo)體表面附近場強(qiáng)與導(dǎo)體表面相垂直，所以第三項(xiàng)積分中cos=cos/2=0，從而第三項(xiàng)的積分也為零。在第一項(xiàng)沿上底的積分中cos=1。又由于S很小，其上場強(qiáng)可以認(rèn)為都與P點(diǎn)的場強(qiáng)E相等，所以有16?SP在高斯面內(nèi)包圍的電荷為eS，因此即

由此結(jié)果可看出，導(dǎo)體表面面電荷密度大的地方場強(qiáng)大，面電荷密度小的地方場強(qiáng)小。17例：半徑分別為R和r的兩個球形導(dǎo)體，（R＞r）用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來。使這個導(dǎo)體組帶電，電勢為U。求兩球表面電荷面密度的比值。RrQq

設(shè)兩球相距很遠(yuǎn)，所以可以認(rèn)為兩球表面上的電荷分布都是均勻的，即互不影響。因?yàn)樗鼈冎g用導(dǎo)線連接起來，所以它們的電勢應(yīng)相等，均為U。設(shè)大球帶電Q，小球帶電q，則有即或18RrQq可見，大球所帶電量多于小球所帶電量。兩球的電荷面密度分別為所以或可以看出，與曲率半徑成反比。曲率半徑越小，電荷面密度越大。19++++++++++++++++BAC

上述規(guī)律可用一實(shí)驗(yàn)演示出來。帶電體A帶有正電荷，用帶有絕緣棒的金屬球B依次接觸A上各點(diǎn)后再與驗(yàn)電器C接觸，按金箔張開的角度就可知各點(diǎn)帶電的多少。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，凸出而尖銳的地方電荷比較密集；表面平坦的地方電荷較少；表面凹進(jìn)的地方更小。20++++++++++++++++BAC

由E=/0知，導(dǎo)體附近的場強(qiáng)E與面電荷密度成正比，所以孤立導(dǎo)體表面附近的場強(qiáng)分布也有同樣的規(guī)律，即尖端附近場強(qiáng)大，平坦的地方次之，凹進(jìn)去的地方最弱。

導(dǎo)體尖端附近的場強(qiáng)特別強(qiáng)，它會導(dǎo)致一個重要的結(jié)果就是尖端放電21尖端放電++++---+++

在一導(dǎo)體尖端附近放一根點(diǎn)燃的蠟燭，當(dāng)不斷給導(dǎo)體充電時，火焰就好像被風(fēng)吹動一樣，朝著背離尖端的地方傾斜。這就是尖端放電引起的結(jié)果。因在尖端附近強(qiáng)電場的作用下，空氣中殘留的離子會發(fā)生劇烈的運(yùn)動。在運(yùn)動過程中它們和空氣分子相碰撞時，會使空氣分子電離，從而產(chǎn)生大量新的離子，使得空氣變得易于導(dǎo)電。與尖端上電荷異號的離子受到吸引而趨向尖端最后與尖端上的電荷中和。與尖端上的電荷同號的離子，受到排斥而飛向遠(yuǎn)方。蠟燭火焰的偏斜就是受到這種離子流形成的“電風(fēng)”吹動的結(jié)果。2223++++---+++

上述實(shí)驗(yàn)中不斷地給導(dǎo)體充電，就是為了防止尖端上的電荷因不斷與異號電荷的離子中和而逐漸消失，使得“電風(fēng)”持續(xù)一段時間，便于觀察。尖端放電時，在它周圍往往隱隱地籠罩著一層光暈，叫做電暈，在黑暗中看得出特別明顯。在夜間高壓輸電線附近往往會看到這種現(xiàn)象。由于輸電線附近的離子與空氣分子相碰撞時會使分子處于激發(fā)狀態(tài)，從而產(chǎn)生光輻射，形成電暈。24

高壓輸電線附近的電暈放電浪費(fèi)了很多電能，把電能消耗在氣體分子的電離和發(fā)光過程中，這是應(yīng)該盡量避免的。為此高壓輸電線表面應(yīng)作得極其光滑，其半徑也不能太小。25375KV高壓輸電線的防鳥裝置處的空間電暈放電26

此外一些高壓設(shè)備的電極常做成光滑的球面，也是為了避免尖端放電漏電，以維持高電壓。高壓實(shí)驗(yàn)室中觀察1.2兆伏串極放電27

尖端放電也有可利用的一面，最典型的就是避雷針。當(dāng)帶電的云層接近地面時，由于靜電感應(yīng)使地面上的物體帶異號電荷。這些電荷比較集中地分布在突出的物體，如高大的建筑物、煙囪、大樹上，當(dāng)電荷積累到一定程度，就會在云層和這些物體之間發(fā)生強(qiáng)大的火花放電，這就是雷擊現(xiàn)象。2829

為避免雷擊，可在建筑物上安裝尖端導(dǎo)體，即避雷針。用粗銅纜將它通地，通地的一端埋在幾米深的潮濕泥土里或接于金屬板上，以保持避雷針與大地接觸良好。當(dāng)帶電云層接近時，放電就通過避雷針和導(dǎo)線這條最易于導(dǎo)電的通路局部持續(xù)不斷地進(jìn)行，以免損壞建筑物。30導(dǎo)體殼的應(yīng)用舉例①庫侖平方反比定律的精確驗(yàn)證

電荷只分布在導(dǎo)體表面的結(jié)論，是建立在高斯定理的基礎(chǔ)之上的，而高斯定理又是由庫侖平方反比律推導(dǎo)出來的。如果點(diǎn)電荷之間的相互作用偏離了平方反比律，即其中叫指數(shù)偏差，≠0。則高斯定理不成立，從而導(dǎo)體上的電荷也不完全分布在外表面上。用實(shí)驗(yàn)方法來研究導(dǎo)體內(nèi)部是否確實(shí)沒有電荷，可以非常精確地驗(yàn)證平方反比律。31

這類實(shí)驗(yàn)首先是開文迪許在1773年，也就是庫侖定律（1785年）建立之前完成的。裝置如圖所示，金屬球殼由兩個半球組成，上有一小孔，里面的小金屬球由絕緣支架支撐，由絕緣絲線懸掛的一段導(dǎo)線可探進(jìn)小孔將球殼和小球連接起來。這樣小球的表面就成為球殼內(nèi)表面的一部分。

實(shí)驗(yàn)時先使聯(lián)結(jié)在一起的小球和球殼帶電，帶電的多少可由靜電計檢驗(yàn)。然后將導(dǎo)線抽出，將球殼的兩半分開并移去，再用靜電計檢驗(yàn)球上的電荷。反復(fù)實(shí)驗(yàn)表明，小球上總是沒有電荷。32

卡文迪什的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，若靜電力對距離的依賴關(guān)系是1/r2+，則││<0.02，卡文迪什的儀器如卡文迪什所畫草圖所示，圖是根據(jù)他本人的草圖摹擬的。

大約100年以后,J.C.麥克斯韋在劍橋完成了一個同卡文迪什實(shí)驗(yàn)相類似的實(shí)驗(yàn)，得到的上限為││≤1／21600。1936年，S.J.普林頓和W.E.勞頓的實(shí)驗(yàn)給出｜｜<2×10-9。最近的一個結(jié)果是E.R.威廉斯、J.E.費(fèi)勒和H.A.希爾在1971年提供的，他們求得的極限值為(2.7±3.1)×10-16。

物理實(shí)驗(yàn)和地球物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兩點(diǎn)電荷之間距離的數(shù)量級在10-15～109厘米的范圍內(nèi),庫侖定律是極其精確的。33②范得格喇夫起電機(jī)

利用導(dǎo)體殼的性質(zhì)，可以將電荷不斷地由電勢較低的導(dǎo)體一次一次地傳遞給另一電勢較高的導(dǎo)體，使后者電勢不斷升高。范得格喇夫起電機(jī)就是利用這種原理制成的。范德格喇夫起電機(jī)是R.J.范德格喇夫于1931年發(fā)明的。起電機(jī)的主要部分是一個裝在直立的絕緣管上的巨大空心金屬球和一個裝在管內(nèi)上下兩個滑輪上的絕緣傳送帶,如圖所示。34下滑輪PL用電機(jī)帶動旋轉(zhuǎn)，使傳送帶左上右下地運(yùn)動。在下滑輪旁放置一臺高壓電源，電源一端的尖端導(dǎo)體c1產(chǎn)生的電暈放電將電荷噴射到傳送帶上。在上滑輪PU旁放置有另一與金屬球相連的尖端導(dǎo)體c2。由于靜電感應(yīng)和電暈放電作用，傳送帶上的電荷轉(zhuǎn)移到金屬球上。當(dāng)橡皮帶不斷運(yùn)動時，電荷就被不斷傳送到金屬球的表面，球的電位隨之不斷升高。35

范德格喇夫起電機(jī)能產(chǎn)生的最高電壓視金屬球半徑的大小而異。半徑為1米的金屬球約可產(chǎn)生1兆伏(對地)的高電壓。為了減少大氣中的漏電，提高電壓，減小體積，可以將整個裝置放在充有10～20個大氣壓的氮?dú)獾匿摴拗小．a(chǎn)生正極性的范德格喇夫起電機(jī)在科學(xué)研究中用作正離子的加速電源。產(chǎn)生負(fù)極性的范德格喇夫起電機(jī)應(yīng)用在高穿透性X射線發(fā)生器中。有時也稱范德格喇夫加速器。36③靜電屏蔽（electrostaticshielding）

如圖所示，當(dāng)接地的金屬導(dǎo)體2完全包圍了帶電導(dǎo)體1但又互相絕緣時，導(dǎo)體2將使其里面的導(dǎo)體1與其外面的導(dǎo)體之間無靜電感應(yīng)現(xiàn)象,此時稱導(dǎo)體2起了屏蔽作用。因此，在需要帶電體不受外界電場影響或不影響外界的場合下，都可用一個接地的金屬殼將它包圍起來。該殼稱為靜電屏蔽裝置。排除或抑制靜電場干擾的措施。37

在工程技術(shù)中，如果需要屏蔽的區(qū)域較大，還可采用金屬屏蔽網(wǎng),也有良好的屏蔽效果。在電子儀器中,為了免受靜電干擾，常利用接地的儀器金屬外殼作屏蔽裝置。電測量儀器中的某些聯(lián)接線的導(dǎo)線絕緣外面包有一層金屬絲網(wǎng)做為屏蔽。某些用途的電源變壓器中，常在初級繞組與次級繞組之間放置一不閉合的金屬薄片作為屏蔽裝置。38帶電作業(yè)

liveworking

靜電屏蔽還有一個作用是等電勢高壓帶電作業(yè)。帶電作業(yè)時，對人造成威脅的并不是高電壓而是電勢梯度大。等電位作業(yè)時，人體直接接觸高壓帶電部分。處在高壓電場中的人體，會有危險電流流過，危及人身安全，因而所有進(jìn)入高電場的工作人員,都應(yīng)穿全套屏蔽服,包括衣褲、鞋襪、帽子和手套等。全套屏蔽服的各部件之間，須保證電氣連接良好，使人體外表形成等電位體。這樣對人就不會造成傷害了。394041

山東科技大學(xué)和天津市電力公司研制的10千伏電力線路帶電作業(yè)機(jī)器人。帶電作業(yè)機(jī)器人可提高工作效率和帶電作業(yè)人員的安全性，杜絕人為誤操作造成的重大事故。42圖為帶電作業(yè)人員穿上厚重的均壓服，沿著絕緣軟梯進(jìn)入11萬伏強(qiáng)電場進(jìn)行帶電作業(yè)。43導(dǎo)體的靜電平衡條件:體內(nèi)場強(qiáng)處處為零幾點(diǎn)推論：①導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。②導(dǎo)體外的場強(qiáng)處處與它的表面垂直。電荷分布:在達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）

在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)的電勢處處相等。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）

導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。例如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。44電容和電容器

capacitanceandcapacitor

電容是描述導(dǎo)體或?qū)w系容納電荷的性能的物理量。451孤立導(dǎo)體的電容

所謂孤立導(dǎo)體，就是說在這導(dǎo)體的附近沒有其他導(dǎo)體和帶電體。+++++++++++q

設(shè)想使一個孤立導(dǎo)體帶電q，它將具有電勢U。理論和實(shí)驗(yàn)都表明，隨著q的增加U將按比例地增加。這樣一個比例關(guān)系可以寫成式中C與導(dǎo)體的尺寸和形狀有關(guān)，它是一個與q、U無關(guān)的常數(shù)，稱為孤立導(dǎo)體的電容。它的物理意義是每升高單位電勢所需的電量。46對于一個孤立的導(dǎo)體球故它的電容為

電容的國際制單位為法拉，簡稱法，用F表示，這是一個非常大的單位。如將地球看作孤立導(dǎo)體，其電容只有709×10-6法，所以通常采用微法F(=10-6F)或微微法pF(=10-12F)為單位。47

為了了解電容的意義，可以打個比喻。許多盛水的容器，向容器灌水時，容器內(nèi)水面便升高。可看到對于a、b、c三個容器來說，為使水面都增加一個單位的高度，需灌入的水量是不同的。使容器中的水面每升高一個單位所需灌入的水量是由容器本身的性質(zhì)（即它的截面積）所決定的。abc

導(dǎo)體的電容與此類似。若一個導(dǎo)體的電容比另一個大，就表示每升高一單位電壓時，該導(dǎo)體上面所需增加的電量比另一個多。48ACDqAqDqC2電容器及其電容

如果在一個導(dǎo)體A附近有其它導(dǎo)體，則這導(dǎo)體的電勢UA不僅與它自己所帶電量qA的多少有關(guān)，還取決于周圍其他導(dǎo)體的相對位置和形狀。這是由于qA使鄰近導(dǎo)體的表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，它們將影響周圍空間的電勢分布和每個導(dǎo)體的電勢。

在這種情況下，不可能再用一個常數(shù)C=qA/UA來反映UA和qA之間的依賴關(guān)系了。要想消除其它導(dǎo)體的影響，可采用靜電屏蔽的方法。49ABCDqA-qA

如圖所示，用一個封閉的導(dǎo)體殼B把A包圍起來，并將B接地（UB=0）。這樣一來，殼外的導(dǎo)體C、D等就不會影響A的電勢了。這時若使A帶電qA

，導(dǎo)體殼B的內(nèi)表面將帶電-qA

，隨著qA的增加，UA將按比例地增大，因此可定義它的電容為當(dāng)然這時CAB已與導(dǎo)體殼B有關(guān)了。50ABCDqA-qA

其實(shí)導(dǎo)體殼B也可不接地，此時它的電勢UB≠0。雖然這時UA

、UB都與外界的導(dǎo)體有關(guān)，但電勢差UA

－UB仍不受外界的影響，且正比于qA

，比值不變。這種由導(dǎo)體殼B和腔內(nèi)的導(dǎo)體A所組成的導(dǎo)體系，叫做電容器。比值叫做它的電容。電容器的電容與兩導(dǎo)體的尺寸、形狀和它們的相對位置有關(guān)，與q和U無關(guān)。組成電容器的兩導(dǎo)體叫做電容器的極板。51

實(shí)際中，對電容的屏蔽性的要求并不象上面所述的那樣苛刻。如圖，一對平行平面導(dǎo)體，A、B的面積很大而且靠得很近，電荷將集中在兩極板相對的表面上，電力線集中在兩極板之間狹窄的空間里。這時外界的干擾對二者之間電勢差的影響實(shí)際上是可以忽略的，也可把這種裝置看成電容器。+++++++-----AB--52電容器的分類按可調(diào)分類：可調(diào)電容器、微調(diào)電容器、雙連電容器、固定電容器按介質(zhì)分類：空氣電容器、云母電容器、陶瓷電容器、紙質(zhì)電容器、電解電容器按體積分類：大型電容器、小型電容器、微型電容器按形狀分類：平板電容器、圓柱形電容器、球形電容器電容器的作用在電路中：通交流、隔直流；與其它元件可以組成振蕩器、時間延遲電路等；儲存電能的元件；真空器件中建立各種電場；各種電子儀器。53電容器電容的計算計算電容的一般步驟為：設(shè)電容器的兩極板帶有等量異號電荷；求出兩極板之間的電場強(qiáng)度的分布；計算兩極板之間的電勢差；根據(jù)電容器電容的定義求得電容。+++++++-----AB--d+-S54ⅰ平行板電容器

實(shí)際常用的絕大多數(shù)電容器可看成是由兩塊彼此靠得很近的平行金屬極板導(dǎo)體A、B所組成，設(shè)兩極板的面積均為S，分別帶有+q、-q的電荷，內(nèi)表面之間的距離是d，在極板面的線度遠(yuǎn)大于它們之間的距離(S＞＞d2)的情況下，除邊緣外兩極板之間的電場可視為勻強(qiáng)電場。+++++++-----AB--d+-S電容定義55電荷的面密度分別為電場強(qiáng)度兩極板間電勢差電容對于電容器的電容常略去腳標(biāo)不寫，即+++++++-----AB--d+-S56+++++++-----AB--d+-S

此式表明，C正比于極板面積S，反比于極板間隔d。它指明了加大電容器電容量的途徑。首先必須使電容器的極板間的間隔小，但由于工藝制作的困難，這有一定的限度；其次要加大極板的面積，勢必要加大電容器的體積。為得到體積小、電容量大的電容器，需要選擇適當(dāng)?shù)慕^緣介質(zhì)。這個問題留待下節(jié)討論。57ⅱ同心球形電容器0RARBAB

如圖所示，電容器由兩個同心球形導(dǎo)體A、B所組成，其半徑分別為RA和RB（RA＜RB）。設(shè)A、B分別帶電荷±q，利用高斯定理可知，兩導(dǎo)體之間的電場強(qiáng)度方向沿徑向兩球形電極A、B之間的電勢差為580RARBAB于是得電容為59ⅲ同軸柱形電容器LABRARB

如圖所示，電容器有兩個同軸圓柱形導(dǎo)體所組成，其半徑分別為RA和RB（RA＜RB

），長度為L。當(dāng)L＞＞RB－RA時，兩端的邊緣效應(yīng)可以忽略，計算場強(qiáng)分布時可以把圓柱體看成無限長的。由高斯定理可知，兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度為其中是每個極板在單位長度內(nèi)電荷的絕對值。場強(qiáng)的方向在垂直于軸的平面內(nèi)沿著輻向。60LABRARB兩極板間的電勢差為每個極板上的總電荷故電容61

從以上三例可看出，計算電容器電容的步驟是：先設(shè)電容器極板上分別帶電±q，再計算電容器兩極板間的場強(qiáng)分布，從而計算出兩極板間的電勢差UAB來，所得到的電勢差必然與q成正比。再利用C=q/U求電容，所得結(jié)果一定與q無關(guān)，完全是由電容器本身的性質(zhì)（如幾何形狀、尺寸大小等）所決定。623電容器的并聯(lián)和串聯(lián)電容器的并聯(lián)每個電容器兩端的電勢差相等總電量：等效電容：

即并聯(lián)電容器組的總電容等于各電容的總和。63電容器的串聯(lián)每個電容器極板所帶的電量相等總電壓等效電容

即串聯(lián)電容器的總倒電容等于各倒電容的總和。64并聯(lián)電容器的電容等于各個電容器電容的和。串聯(lián)電容器總電容的倒數(shù)等于各串聯(lián)電容倒數(shù)之和。當(dāng)電容器的耐壓能力不被滿足時，常用串并聯(lián)使用來改善。如串聯(lián)使用可用在稍高的電壓中，從而提高耐壓能力。并聯(lián)使用可以提高容量。電介質(zhì)的絕緣性能遭到破壞，稱為擊穿。所能承受的不被擊穿的最大場強(qiáng)叫做擊穿場強(qiáng)或介電強(qiáng)度。小結(jié)65

電容是電容器的主要性能參數(shù)之一。此外,實(shí)際電容器的性能參數(shù)還有耐壓(或工作電壓)、損耗和頻率響應(yīng),它們分別取決于所充電介質(zhì)的擊穿場強(qiáng)、媒質(zhì)損耗和對頻率的響應(yīng)。

實(shí)際電容器的種類繁多，用途各異。通常在電容器兩極板之間夾有一層絕緣介質(zhì)。大型的電力電容器主要用于提高用電設(shè)備的功率因數(shù)，以減少輸電損失和充分發(fā)揮電力設(shè)備的效率。電子學(xué)中廣泛采用電容器，以提供交流旁路穩(wěn)定電壓，用作級間交流耦合，以及用作濾波器、移相器、振蕩器等等。66

主要以極化方式而不是以傳導(dǎo)方式傳遞電的作用和影響的物質(zhì)。絕緣體和導(dǎo)體是這兩種方式的極端情形。在這兩種極端情形之間屬于半導(dǎo)體。過去曾認(rèn)為電介質(zhì)只是不導(dǎo)電的絕緣體，但是實(shí)際上許多半導(dǎo)體如高純的鍺和硅就是良好的電介質(zhì)。摻雜的鍺和硅是具有損耗的電介質(zhì),典型的半導(dǎo)體如碘硫化銻(SbSl)、砷化鎵(GaAs)、氧化鋅(ZnO)、硫化鎘(CdS)等也可歸入特殊類型的電介質(zhì):極性電介質(zhì)─壓電半導(dǎo)體；在高頻電場作用下,甚至金屬薄層也可看成是高損耗的電介質(zhì)。此外溫度足夠高時，半導(dǎo)體和電介質(zhì)卻成為導(dǎo)體。因此，物質(zhì)電學(xué)性質(zhì)的這種分類是相對的，得隨具體條件而定。電介質(zhì)dielectrics671電介質(zhì)的極化

下面僅討論絕緣介質(zhì)，它們是不導(dǎo)電的。前面曾討論過靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)，知道了導(dǎo)體與電場相互作用有如下特點(diǎn)：電場可以改變導(dǎo)體上的電荷分布，產(chǎn)生感應(yīng)電荷；反過來導(dǎo)體上的電荷又改變著電場的分布，即導(dǎo)體上的電荷和空間里的電場相互影響、相互制約，最后達(dá)到怎樣的平衡分布，由二者共同決定。本節(jié)我們討論電介質(zhì)與靜電場之間的相互作用，其特點(diǎn)有些方面與導(dǎo)體有相似之處，但也有本質(zhì)的區(qū)別。68

看一實(shí)驗(yàn)，把平行板電容器的兩極板接在靜電計的上端和地線之間，然后充上電。這時將觀察到靜電計指針有一偏轉(zhuǎn)角。由于所以靜電計指針偏轉(zhuǎn)角的大小就反映了電容器兩極板間電勢的大?。║∝q）。撤掉充電電源，然后把一塊玻璃板插入電容器兩極板之間，這時會發(fā)現(xiàn)靜電計指針的偏轉(zhuǎn)角減小，表明電容器極板間的電勢差減小了。由于電源已撤除，電容器極板是絕緣的，其上電荷數(shù)量不變，故電勢差U的減小意味著電容（C=q/U）的增大，即插入電介質(zhì)板可起到增大電容的作用。69------++++++-+

如果用導(dǎo)體板代替玻璃板可以觀察到類似現(xiàn)象，當(dāng)然不能使導(dǎo)體板與電容極板相接觸。但導(dǎo)體板增大電容的效果比玻璃板要強(qiáng)得多。定性地講，這時使電容增大的原因是因?yàn)椴迦雽?dǎo)體板之后兩極板間的電勢差下降了。導(dǎo)體板在電場E0的作用下產(chǎn)生了感應(yīng)電荷。+++++++-------

感應(yīng)電荷在導(dǎo)體板內(nèi)部產(chǎn)生的電場E’總是與E0的方向相反，將它全部抵消。在電容器極板上電量不變的情況下，兩極板間場強(qiáng)的任何消弱，都會導(dǎo)致電勢差的下降。70------++++++-++++++++-------

電介質(zhì)使電容增大的原因也可作類似的解釋?？梢栽O(shè)想把電介質(zhì)插入電場中后，由于同號電荷相斥，異號電荷相吸的結(jié)果，介質(zhì)表面上也會出現(xiàn)與上圖類似的正負(fù)電荷。我們把這種現(xiàn)象叫做電介質(zhì)的極化，它表面上出現(xiàn)的這種電荷叫做極化電荷。電介質(zhì)上的極化電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷一樣，起著減弱電場，增大電容的作用。不同的是，導(dǎo)體上出現(xiàn)感應(yīng)電荷是其中自由電荷重新分布的結(jié)果；而介質(zhì)上出現(xiàn)極化電荷是其中束縛電荷的微小移動造成的，故極化電荷亦稱束縛電荷。71------++++++-++++++++-------

由于束縛電荷的活動不能超出原子的范圍，因此電介質(zhì)上的束縛電荷比導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷在數(shù)量上要少得多。束縛電荷在電介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的電場E’不能把外電場E0全部抵消，只能使總電場有所削弱。綜上所述，導(dǎo)體板引起電容增大的原因在于自由電荷的重新分布；電介質(zhì)引起電容增大的原因在于束縛電荷的極化。因此有必要進(jìn)一步討論電介質(zhì)的極化機(jī)制。722極化的微觀機(jī)制

任何物質(zhì)的分子或原子都是由帶負(fù)電的電子和帶正電的原子核所組成的，整個分子中電荷的代數(shù)和為零。正負(fù)電荷在分子中都不是集中于一點(diǎn)的，但是在離開分子的距離比分子的線度大得多的地方，分子中全部負(fù)電荷對于這些地方的影響將和一個單獨(dú)的負(fù)點(diǎn)電荷等效。這個等效負(fù)點(diǎn)電荷的位置稱為此分子的負(fù)電荷中心。例如一個電子繞核作勻速圓周運(yùn)動時，它的負(fù)電荷中心就在圓心。同樣每個分子的正電荷也有一個正電荷中心。-+73

在一類電介質(zhì)中，當(dāng)外電場不存在時，電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷中心是重合的，這類分子叫無極分子。例如H2、N2、CCl4等。在另一類電介質(zhì)中，即使外電場不存在時，電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷中心也不重合，這樣雖然分子中正負(fù)電荷電量的代數(shù)和仍為零，但等量的正負(fù)電荷中心相互錯開，形成一定的電偶極矩，叫做分子的固有電矩。這類分子稱為有極分子。例如H2O、HCl等。±74ⅰ無極分子的位移極化

無外電場時，整個分子沒有電矩，加上外電場，在外電場的作用下，每一分子的正負(fù)電荷中心錯開了，形成一個電偶極子，分子電偶極矩的方向沿外電場方向，這種在外電場的作用下產(chǎn)生的電偶極矩稱為感應(yīng)電矩。在圖中用一小箭頭表示分子電偶極子，始端為正電荷，終端為負(fù)電荷。75-+----+++++-

對于一塊電介質(zhì)整體來說，由于介質(zhì)中每一分子形成了電偶極子，如圖所示，各個偶極子沿外場的方向排列成一條鏈子，鏈子上相鄰的偶極子間正負(fù)電荷互相靠近，因而對于均勻電介質(zhì)來說，其內(nèi)部各處仍是電中性的。但在和外電場垂直的兩個介質(zhì)端面上就不同了，從圖中可看出，一端出現(xiàn)負(fù)電荷，另一端出現(xiàn)正電荷。這種電荷與導(dǎo)體中的自由電荷不同，它們不能離開電介質(zhì)而轉(zhuǎn)移到其它帶電體上，也不能在電介質(zhì)內(nèi)部自由運(yùn)動，這就是束縛電荷。在外電場的作用下，電介質(zhì)出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象就是電介質(zhì)的極化。由于電子的質(zhì)量比原子核小得多，所以在外電場的作用下主要是電子位移。因而上面所講的無極分子的極化機(jī)制常稱為電子位移極化。76ⅱ有極分子的取向極化

水分子是有極分子的例子。在沒有外電場時，雖然每一分子具有固有電矩，但由于分子的不規(guī)則熱運(yùn)動，在任何一塊電介質(zhì)中，所有分子的固有電矩的矢量和，平均來說互相抵消。即電矩的矢量和∑P為零，宏觀上不產(chǎn)生電場?，F(xiàn)在加上外電場E0，則每個分子電矩都受到力矩作用，使分子電矩方向轉(zhuǎn)向外場方向，于是∑P不為零了。HHO+-1040----+++-++-+77

但由于分子熱運(yùn)動的緣故，這種轉(zhuǎn)向并不完全，即所有分子偶極子不是很整齊地依照外場方向排列起來。當(dāng)然外電場越強(qiáng)，分子偶極子排列得越整齊。對于整個電介質(zhì)來說，不管排列的整齊程度怎樣，在垂直于電場方向的兩端面上也產(chǎn)生了束縛電荷。在外電場作用下，由于絕大多數(shù)分子電矩的方向都不同程度地指向右方，所以圖中左端便出現(xiàn)了未被抵消的負(fù)束縛電荷；右端出現(xiàn)正的束縛電荷，這種極化機(jī)制稱為取向極化。----+++-++-+78

電子位移極化效應(yīng)在任何電介質(zhì)中都存在，而分子取向極化只是由有極分子構(gòu)成的電介質(zhì)所獨(dú)有的。但是在有極分子構(gòu)成的電介質(zhì)中，取向極化的效應(yīng)比位移極化強(qiáng)得多（大約一個數(shù)量級），因而其中取向極化是主要的。在無極分子構(gòu)成的電介質(zhì)中，位移極化則是唯一的極化機(jī)制。但在很高頻率的電場作用下，由于分子的慣性較大，取向極化跟不上外電場的變化，所以這時無論那種電介質(zhì)，只剩下電子位移極化機(jī)制起作用。因?yàn)橹挥袘T性很小的電子，才能緊跟高頻電場的變化產(chǎn)生位移極化。----+++-++-+79除了上述兩種極化機(jī)制外，還有以下兩種極化機(jī)制ⅲ離子極化（又稱為原子極化），是在正負(fù)離子組成的物質(zhì)中異極性離子沿電場向相反方向位移形成電偶極矩Pa。Pa與外電場成正比,離子極化同溫度無關(guān)。ⅳ界面極化，由于電介質(zhì)組分的不均勻性以及其他不完整性，例如雜質(zhì)、缺陷的存在等，電介質(zhì)中少量自由電荷停留在俘獲中心或介質(zhì)不均勻的分界面上而不能相互中和，形成空間電荷層，從而改變空間的電場。從效果上相當(dāng)于增強(qiáng)電介質(zhì)的介電性能。電介質(zhì)的極化應(yīng)是這四種極化機(jī)制的宏觀總效果。80三、電極化強(qiáng)度矢量

在電介質(zhì)內(nèi)取一宏觀小體積ΔV，在沒有外電場時，電介質(zhì)未被極化，此小體積元中各分子的電偶極矩的矢量和為零；當(dāng)有外電場時，電介質(zhì)被極化，此小體積元中的電偶極矩的矢量和將不為零。外電場越強(qiáng)，分子的電偶極矩的矢量和越大。因而可以用單位體積中分子的電偶極矩的矢量和來表示電介質(zhì)的極化程度。若電介質(zhì)的電極化強(qiáng)度大小和方向都相同，稱為均勻極化；否則，稱為非均勻極化。81四束縛電荷的分布與極化強(qiáng)度矢量的關(guān)系

前面講到，當(dāng)電介質(zhì)處于極化狀態(tài)時，一方面在它的體內(nèi)出現(xiàn)未抵消的電偶極矩，這一點(diǎn)是通過極化強(qiáng)度矢量P來描述的；另一方面，在電介質(zhì)的某些部位將出現(xiàn)未被抵消的束縛電荷?？梢宰C明，對于均勻的電介質(zhì)，束縛電荷集中在它的表面上（均勻指物理性能，如極化率或介電常數(shù)均勻，并不要求均勻極化）。電介質(zhì)產(chǎn)生的一切宏觀后果都是通過未抵消的束縛電荷來體現(xiàn)的。那么束縛電荷和極化強(qiáng)度這兩者之間的關(guān)系如何呢。-+----+++++-82

為了便于說明問題，以位移極化為模型。設(shè)想介質(zhì)極化時，每個分子的正電中心相對于負(fù)電中心有個位移l，用q代表分子中正負(fù)電荷的數(shù)量，則分子電矩設(shè)單位體積內(nèi)有n個分子，按照定義，極化強(qiáng)度矢量S如圖，在極化了的電介質(zhì)內(nèi)取一個面元矢量下面考慮因極化而穿過此面元的極化電荷。穿過ds的電荷所占據(jù)的體積是以ds為底，長度為l的一個斜柱體。此柱體的高為lcos，體積為ldscos。因?yàn)閱挝惑w積內(nèi)的極化電荷數(shù)量為nq，故此柱體內(nèi)極化電荷總量為這也就是由于極化而穿過ds的極化電荷。83?SP

現(xiàn)在我們?nèi)∫婚]合曲面S，可求得P通過整個閉合曲面的通量為即P通過整個閉合面S的通量應(yīng)等于因極化而穿出此面的極化電荷總量。根據(jù)電荷守恒定律，這應(yīng)等于S面內(nèi)凈余的極化電荷的負(fù)值，即此公式表達(dá)了極化強(qiáng)度矢量與極化電荷分布的一個普遍關(guān)系。84

若把閉合曲面S的面元dS取在電介質(zhì)內(nèi)，由于當(dāng)前面的極化電荷移出時，后面還有極化電荷補(bǔ)充進(jìn)來，可以證明：如果介質(zhì)是均勻的，其體內(nèi)不會出現(xiàn)凈余的極化電荷，即極化電荷的體密度’=0，對于非均勻電介質(zhì)，體內(nèi)是有可能有極化電荷的積累的。下面只考慮均勻電介質(zhì)的情況。S85

在電介質(zhì)的表面上，為銳角的地方將出現(xiàn)一層正極化電荷；為鈍角的地方將出現(xiàn)一層負(fù)極化電荷。表面電荷層的厚度是|lcos|，故面元dS上的極化電荷為從而極化電荷面密度為+++++++

-------86一均勻極化的介質(zhì)球表面的極化電荷的分布，已知極化強(qiáng)度為P

取球心0為原點(diǎn)，極軸與P平行的球坐標(biāo)系。由于球?qū)ΨQ性，表面上任一點(diǎn)A的極化電荷面密度’只與角有關(guān)，這也是A點(diǎn)外法線n與P的夾角。故這表明，在右半球’為正；在左半球’為負(fù)。0S+++++++-------兩半球的分界線（赤道線）上在兩極處87

如前所述，電介質(zhì)極化時出現(xiàn)束縛的極化電荷，這些極化電荷和自由電荷一樣，在周圍空間（無論是介質(zhì)內(nèi)部還是外部）產(chǎn)生附加的電場E’，E’亦稱為退極化場。因此根據(jù)場強(qiáng)迭加原理，在有電介質(zhì)存在時，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)E是外電場E0和極化電荷的電場E’的矢量和。------++++++-++++++++-------例如，對于插在平行板電容器中的電介質(zhì)板內(nèi)場強(qiáng)，若已知極化強(qiáng)度為P，電介質(zhì)表面的極化電荷面密度由于這些等量異號的極化電荷均勻地分布在一對平行平面上，它們在電介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的附加場為E’方向與外場E0方向相反。88五電介質(zhì)的極化規(guī)律極化率

前面的討論都是假定極化強(qiáng)度P已給定，然后由它求出極化電荷的分布和退極化場E’

。但實(shí)際上電介質(zhì)中任一點(diǎn)的極化強(qiáng)度P是由該點(diǎn)的總場強(qiáng)決定的。對于不同的物質(zhì)，極化規(guī)律即P與E的關(guān)系是不同的，這要由實(shí)驗(yàn)來確定。實(shí)驗(yàn)表明，對于大多數(shù)常見的各向同性電介質(zhì)，P與0E方向相同，數(shù)量上成簡單的正比關(guān)系。比例系數(shù)e叫極化率，它與場強(qiáng)E無關(guān)，與電介質(zhì)的種類有關(guān)，是介質(zhì)材料的屬性。89自發(fā)極化不能被外電場反轉(zhuǎn)的電介質(zhì)為熱電體；自發(fā)極化可被外電場反轉(zhuǎn)的電介質(zhì)稱為鐵電體，如碳酸鋇等。“鐵電”一詞是由于最初發(fā)現(xiàn)它的極化強(qiáng)度P同電場強(qiáng)度E之間存在電滯回線，形式上和鐵磁體的磁滯回線非常相似，因而得名，其實(shí)鐵電體中并不含鐵。鐵電體具有較大的介電常數(shù)。在實(shí)際中有些特殊的應(yīng)用，如晶體振蕩器（石英鐘）、電唱機(jī)頭等。

除了以上所述的電介質(zhì)之外，還有一大類電介質(zhì)，在一定的溫度下，即使沒有外加電場，也具有自發(fā)極化。90

駐極體是另外一類具有持久極化的固態(tài)電介質(zhì)，如石蠟。它是在強(qiáng)電場中使材料緩慢地冷卻，沿著電場方向的極化被“凍結(jié)”起來，是一種類似于永磁體的永電體。

近年來電介質(zhì)的研究有很大發(fā)展。新型的具有特殊性能的電介質(zhì)材料不斷被發(fā)現(xiàn)和制造出來，電介質(zhì)的應(yīng)用已不僅限于絕緣和儲能方面，而且涉及換能、熱電探測、電光調(diào)制、非線性光學(xué)、光信息存儲和實(shí)時處理等廣大領(lǐng)域。電介質(zhì)已成為完成和執(zhí)行特殊功能的重要材料。下面只考慮各向同性的線性電介質(zhì)。91六電位移矢量有介質(zhì)時的高斯定理介電常數(shù)

從前面幾節(jié)的討論中看到，靜電場中電介質(zhì)的性質(zhì)與導(dǎo)體有一定相似之處，這就是電荷與電場的平衡分布是相互決定的。然而電介質(zhì)的性質(zhì)比導(dǎo)體還要復(fù)雜，因?yàn)樵陔娊橘|(zhì)里極化電荷的出現(xiàn)并不能把體內(nèi)的電場完全抵消。因而在計算和討論問題時，電介質(zhì)內(nèi)部要用兩個物理量E和P來描述。但一般情況下極化強(qiáng)度和極化電荷的分布由于互相牽扯而事先不能確定。如果能制定一套辦法從頭起就使這些量不出現(xiàn)，從而有助于計算的簡化。為此我們引入一個新的物理量—電位移矢量D。92

高斯定理是建立在庫侖定律的基礎(chǔ)之上的，在有電介質(zhì)存在時，它也成立。只不過計算總電場的電通量時，應(yīng)計及高斯面內(nèi)所包含的自由電荷q0和極化電荷q’上式也可寫成前面曾給出：P通過整個閉合面S的通量等于因極化而穿出此面的極化電荷總量，或等于S面內(nèi)凈余的極化電荷的負(fù)值，即93帶入到下式中得到：94引入一個輔助性的物理量D，定義D叫做電位移矢量，因此上式可改寫為

有介質(zhì)時的高斯定理：在靜電場中，通過任意一個閉合曲面的電位移通量等于該面所包圍的自由電荷的代數(shù)和。95

把此式與原來的式子相比較，它優(yōu)越的地方在于其中不包含極化電荷（注意這并不表示D本身與極化電荷無關(guān)）將代入到得到96令代入上式變?yōu)槭街?/p>

有了上面的結(jié)果，對于電介質(zhì)中電場的計算就大為簡化。在有一定對稱性的情況下，可利用有介質(zhì)時的高斯定理先求出D，這里無需知道極化電荷有多少，然后再求場強(qiáng)E。介電常數(shù)相對介電常數(shù)真空中的介電常數(shù)97例平行板電容器內(nèi)充滿相對介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，求介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)，及電容器的電容C與無介質(zhì)時的電容C0之比+++++++--------0S1S2如圖所示，作一柱形高斯面S。它的一個底S2在電介質(zhì)中，側(cè)面與電力線平行。另一個底S1在導(dǎo)體內(nèi)，E=0，D=0，故S1上無通量；側(cè)面法線方向與D垂直，所以無通量，唯一有通量的是S2處。故按高斯定理有E0是自由電荷產(chǎn)生的電場即外電場。98+++++++--------0S1S2由

充滿介質(zhì)時電場是真空時的1/r倍。電容其中無介質(zhì)電容插入介質(zhì)后電容為真空電容的r倍，所以r亦叫做電容率。99例若在整個空間中充滿相對介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，其中有一點(diǎn)電荷q0，求場強(qiáng)分布。以q0為中心取任意半徑r作球形高斯面S，則有q0S故不難看出它是真空中點(diǎn)電荷場強(qiáng)的1/r倍。100q0S場強(qiáng)減小的原因是中心點(diǎn)電荷q0被一層正負(fù)與之相反的極化電荷包圍了，它的場把點(diǎn)電荷q0的場抵消了一部分。通常把這個效應(yīng)說成是極化電荷對q0起了一定的屏蔽作用。上面兩道題的結(jié)果都表明然而這是有條件的。可以證明當(dāng)電介質(zhì)充滿電場所在的空間，或均勻電介質(zhì)表面是等勢面時上式才成立。101例．一平板電容器充滿兩層厚度各為d1和d2的電介質(zhì)，它們的相對電容率分別為er1和er2，極板的面積為S。求：(1)電容器的電容；(2)兩層介質(zhì)的電位移。er1er2d1d2s0S解：(1)設(shè)兩電介質(zhì)中場強(qiáng)分別為E1和E2，選如圖所示的上下底面面積均為S'的柱面為高斯面，上底面在導(dǎo)體中，下底面在電介質(zhì)中，側(cè)面的法線與場強(qiáng)垂直，柱面內(nèi)的自由電荷為S'根據(jù)高斯定理所以102er1er2d1d2s0SS'電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度兩極板的電勢差為電容(2)電位移矢量為1031電容器儲能

如果把一個已充電的電容器兩極板用導(dǎo)體短路而放電，可見到放電的火花。利用放電的火花甚至可以熔焊金屬，即所謂“電容焊”。放電火花的勢能必然是由充了電的電容器中儲存的電能轉(zhuǎn)化而來的。那么電容器儲存的電能又是從哪里來的呢？下面會看到，在電容器充電的過程中，電源必須作功才能克服靜電場力把電荷從一個極板搬運(yùn)到另一個極板上。這能量以電勢能的形式儲存在電容器中，放電時就把這部分能量釋放出來。七靜電場的能量能量密度對于電場的能量以電容器為例來進(jìn)行討論+++++++--------0104--+-+-

設(shè)電容器每一極板所帶電量的絕對值為Q，兩極板間的電壓為U。為了計算這電容器儲存了多少電能，先分析一下電容器的充電過程。

充電過程可用下圖表示。電子從電容器一個極板被拉到電源，并從電源被推到另一極板上去。這時被拉出了電子的極板帶正電；推上電子的極板帶負(fù)電。如此逐漸進(jìn)行下去。

設(shè)充電完畢時，電容器極板上帶電量的絕對值達(dá)到Q。完成這個過程要靠電源作功，從而消耗了電源儲存的化學(xué)能，使之轉(zhuǎn)化為電容器儲存的電能。105--+-+-

設(shè)在充電過程中某一瞬間，電容器極板上帶電量的絕對值為q，電壓為u，這里的u是指正極板電勢u+減去負(fù)極板電勢u-，若在這一瞬間電源把-dq的電量從正極板搬運(yùn)到負(fù)極板，從能量守恒的觀點(diǎn)看來，這時電源所作的功應(yīng)等于電量-dq從正極板遷移到負(fù)極板后電勢能的增加，即繼續(xù)充電時，電池要繼續(xù)作功。此功不斷地積累為電容器的電能，所以在整個充電過程中儲存于電容器的電能總量應(yīng)由下列積分計算106--+-+-

積分下限0表示充電開始時電容器的電能總量，上限Q表示充電結(jié)束時每一極板上電量的絕對值。由得到這就是電容器儲能的公式。利用Q=CU，則可寫成及式中Q與U都是充電完畢時的最后值。107--+-+-

通常電容器充電后的電壓值都是給定的，這時用第三種表達(dá)式來討論比較方便。此式表明：在一定的電壓下，電容C大的電容器儲能多，在這個意義上說，電容C也是電容器儲能本領(lǐng)大小的標(biāo)志。對同一個電容器來講，電壓越高，儲能越多，但不能超過電容器的耐壓值，否則就會把里面的電介質(zhì)擊穿而燒毀電容器。1082電場的能量和能量密度

從前面的討論中看到，電容器儲能公式都是與電荷或電勢聯(lián)系在一起，這容易給人一個印象，似乎靜電能集中在電荷上或是電容器極板上。但靜電能是與電場的存在相聯(lián)系的，而電場是彌散在一定的空間里。能否認(rèn)為靜電能分布在電場中呢？這個問題需用實(shí)驗(yàn)來回答。然而在穩(wěn)恒條件下，這樣的實(shí)驗(yàn)是不可能的，因?yàn)樵诜€(wěn)恒狀態(tài)下，電荷和電場總是同時存在的，因而無法分辨電能是與電荷相聯(lián)系還是與電場相聯(lián)系。后面會看到，隨著時間迅速變化的電場和磁場將以一定的速度在空間傳播，形成電磁波。在電磁波中電場可以脫離電荷而傳播到很遠(yuǎn)的地方。電磁波攜帶能量已是無線電技術(shù)中人所共知的事實(shí)了。例如打開收音機(jī)時，由電磁波帶來的能量就從天線輸入，經(jīng)過電子線路放大的作用轉(zhuǎn)化為喇叭發(fā)出的聲能。大量事實(shí)證明，電能是定域于電場中的。109

既然電能分布于電場中，最好能將電能的公式通過描述電場的特征量--場強(qiáng)E表示出來。下面通過平行板電容器的特例來說明。由前面電容器儲能公式Q0是極板上的自由電荷，它與電位移矢量D的關(guān)系是電壓與場強(qiáng)的關(guān)系為+++++++--------00帶入上式，得到110+++++++--------00式中V=Sd是極板間電場所占空間的體積。上面雖然只作了數(shù)學(xué)上的代換，但物理意義變得更鮮明了：We正比于V表明，電能分布在電容器的兩極板之間的電場中。單位體積內(nèi)的電能，即能量密度或真空中r=1，則111

真空時，上式給出的純粹是電場的能量；有介質(zhì)時，上述能量中還包括介質(zhì)的極化能。

上述場能密度的表達(dá)式雖然是通過平行板電容器的特例推導(dǎo)出來的，但它卻是普遍成立的（普遍的推導(dǎo)需用矢量分析的方法，從略）。當(dāng)電場不均勻時，總電能We應(yīng)是電能密度we的體積分真空中

上面的積分遍及整個電場存在的空間，適用于任何靜電場能的計算。112例1一均勻帶電導(dǎo)體球，半徑為R，帶電量q，球外真空。求此帶電球體的靜電能。導(dǎo)體球上電荷均勻分布在表面，球內(nèi)無場，并等勢。球外的場強(qiáng)分布在球外取一半徑為r到r+dr之間的球殼，其體積故場能R0r113例2球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，所帶的電量為±Q。若在兩球之間充滿電容率為ε的電介質(zhì)，問此電容器電場的能量為多少。解：若電容器兩極板上電荷的分布是均勻的，則球殼間的電場是對稱的。由高斯定理可求得球殼間的電場強(qiáng)度的大小為電場的能量密度為R1R2114取半徑為r、厚為dr的球殼，其體積為dV=4πr2dr。所以此體積元內(nèi)的電場的能量為電場總能量為R1R2r115導(dǎo)體的靜電平衡條件:體內(nèi)場強(qiáng)處處為零幾點(diǎn)推論：①導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。②導(dǎo)體外的場強(qiáng)處處與它的表面垂直。電荷分布:在達(dá)到靜電平衡時，導(dǎo)體內(nèi)部處處沒有未被抵消的凈電荷（=0），電荷只能分布在導(dǎo)體的表面。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)無其它帶電體）

在靜電平衡條件下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面上處處沒有電荷，電荷只能分布在外表面，空腔內(nèi)沒有電場，或者說空腔內(nèi)的電勢處處相等。導(dǎo)體殼（殼內(nèi)有其它帶電體）

導(dǎo)體殼空腔內(nèi)有其它帶電體時，在靜電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體殼的內(nèi)表面所帶電荷與腔內(nèi)電荷的代數(shù)和為零。例如腔內(nèi)有物體帶電q，則內(nèi)表面帶電-q。116電容定義平行板電容器+++++++-----AB--d+-S電場強(qiáng)度兩極板間電勢差電容充滿介質(zhì)：117同心球形電容器0RARBAB兩導(dǎo)體之間的電場強(qiáng)度兩球形電極A、B之間的電勢差為電容118電容器的電能119本章(導(dǎo)體）作業(yè)題：計算題1上章(靜電場）作業(yè)題：計算題31201一個不帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R。在腔內(nèi)離球心的距離為a處(a<R)放一點(diǎn)電荷+q，如圖所示。用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球心0處的電勢為[]0R?+qa121一選擇題1一個不帶電的空腔導(dǎo)體球殼，內(nèi)半徑為R。在腔內(nèi)離球心的距離為a處(a<R)放一點(diǎn)電荷+q，如圖所示。用導(dǎo)線把球殼接地后，再把地線撤去，選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球心0處的電勢為[]D0R?+qa不接地內(nèi)表面帶電-q，外表面帶電+q，接地后再把地線撤去，外表面不帶電。q的場在0點(diǎn)產(chǎn)生電勢內(nèi)表面上電荷-q的場在0點(diǎn)產(chǎn)生的電勢球心0處總的電勢122*2三塊互相平行的導(dǎo)體板之間的距離d1和d2比板面積小得多，如果d2=2d1，外面二板用導(dǎo)線連接，中間板上帶電。設(shè)左右兩面上電荷面密度分別為1和2，如圖所示，則1/2為(A)1(B)2(C)3(D)4d1d221相當(dāng)于兩電容器并聯(lián)，U相等。由Q=CU知[]B1233.一均勻帶電球體如圖所示，總電荷+Q。其外部同心地罩一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2的金屬球殼，設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球殼內(nèi)半徑為r處的場強(qiáng)和電勢分別為?r1+Qpr2r[]1243.一均勻帶電球體如圖所示，總電荷+Q。其外部同心地罩一內(nèi)、外半徑分別為r1、r2的金屬球殼，設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則球殼內(nèi)半徑為r處的場強(qiáng)和電勢分別為?r1+Qpr2r靜電平衡，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)為零等電勢[]B1254.帶電導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時，其正確結(jié)論是（A）導(dǎo)體表面上曲率半徑小處電荷密度較?。˙）表面曲率較小處電勢較高（C）導(dǎo)體內(nèi)部任一點(diǎn)電勢都為零（D）導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)與其表面上任一點(diǎn)的電勢差等于零。[]1264.帶電導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時，其正確結(jié)論是（A）導(dǎo)體表面上曲率半徑小處電荷密度較?。˙）表面曲率較小處電勢較高（C）導(dǎo)體內(nèi)部任一點(diǎn)電勢都為零（D）導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)與其表面上任一點(diǎn)的電勢差等于零。[]D

尖端放電，與曲率半徑成反比。曲率半徑越小，電荷面密度越大。在達(dá)到靜電平衡以后，導(dǎo)體是個等勢體，導(dǎo)體表面是等勢面。1275兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為R1和R2(R2>R1)，若內(nèi)球殼帶上電荷Q，則兩者的電勢分別為（選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)）?，F(xiàn)用導(dǎo)線將兩球殼相連接，則它們的電勢為R1QR2-Q[]1285兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為R1和R2(R2>R1)，若內(nèi)球殼帶上電荷Q，則兩者的電勢分別為（選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)）?，F(xiàn)用導(dǎo)線將兩球殼相連接，則它們的電勢為R1QR2-Q[]D用導(dǎo)線將兩球殼相連接后，內(nèi)球殼變?yōu)橥馇驓?nèi)表面的一部分，即電荷Q全部分布在外球殼的表面。129*6當(dāng)平行板電容器充電后，去掉電源，在兩極板間充滿電介質(zhì)，其正確的結(jié)果是（A）極板上自由電荷減少（B）兩極板間電勢差變大（C）兩極板間電場強(qiáng)度變?。―）兩極板間電場強(qiáng)度不變兩極板間電場強(qiáng)度變小兩極板間電勢差變小[]C去掉電源，極板上自由電荷不變130*7一個大平行板電容器水平放置，兩極板間的一半空間充有各向同性均勻電介質(zhì)，另一半為空氣，如圖所示。當(dāng)兩極板帶上恒定的等量異號電荷時，其正確的結(jié)果是（A）極板左半邊電荷面密度大（B）左半邊電介質(zhì)內(nèi)電場強(qiáng)度大（C）極板右半邊電荷面密度大（D）左半邊電介質(zhì)內(nèi)電場強(qiáng)度小[]+Q-QA設(shè)極板上帶電荷Q，由于兩側(cè)所充電介質(zhì)電容率不同，故導(dǎo)體極板上自由電荷的分布不均勻，設(shè)左側(cè)極板帶電Q1，右側(cè)極板帶電Q2，達(dá)到靜電平衡時導(dǎo)體極板為等勢體，故有131+Q-Q解得極板左半邊電荷面密度大1328一個平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離變小，則兩極板間的電勢差U12、電場強(qiáng)度的大小E、電場能量W將發(fā)生如下變化：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減?。?/p>

[]1338一個平行板電容器，充電后斷開電源，使電容器兩極板間距離變小，則兩極板間的電勢差U12、電場強(qiáng)度的大小E、電場能量W將發(fā)生如下變化：(A)U12減小，E減小，W減?。?B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不變，W增大．(D)U12減小，E不變，W減小．

[]Dd減小，則C增大。電源斷開，電荷不變。E亦不變。C增大，則U減小。C增大，W減小。134*9兩空氣電容器C1和C2串聯(lián)起來接上電源充電，充滿電后將電源斷開，再把一電介質(zhì)板插入C1中，如圖所示。則（A）C1上電荷增加，C2上電荷減少（B）C1上電荷減少，C2上電荷增加（C）C1上電荷增加，C2上電荷增加（D）C1上電荷不變，C2上電荷不變。C1C2E[]D斷開電源后總電荷不變。串聯(lián)，每個電容器極板所帶的電量相等。插入介質(zhì)，C1增大，U1減小。電源斷開，Q不變。135*10C1、C2是兩空氣電容器并聯(lián)以后接電源充電，在電源保持連接的情況下，在C1中插入一電介質(zhì)板，如圖所示，則（A）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷減少（B）C1極板上電荷不變，C2極板上電荷增加（C）C1極板上電荷增加，C2極板上電荷不變（D）C1極板上電荷減少，C2極板上電荷不變。并聯(lián)U相同，Q1=C1U，Q2=C2U。電源保持連接，U不變，插入介質(zhì)板，C1電容增大，Q1增大，Q2不變。[]CC1C2E136*11有兩只電容器，C1=8F，C2=2F，分別把它們充電到2000V，然后將它們反接（如圖所示）此時