《變化率與導(dǎo)數(shù)》同步練習(xí)

《變化率與導(dǎo)數(shù)》同步練習(xí)一、選擇題1．下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的個數(shù)為()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝eq\f(1,x·ln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1 B．2 C．3 D．42．(2013·宿州模擬)若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)等于()A．2 B．0 C．－2 D．－43．(2013·濟南模擬)設(shè)曲線y＝eq\f(x＋1,x－1)在點(3，2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝()A．2 B．－2 C．－eq\f(1,2) \f(1,2)4．(2013·洛陽模擬)曲線y＝x2ex＋2x＋1在點P(0，1)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)是()A．1 \f(1,2) C．－1 D．－eq\f(1,2)5．(2013·臺州模擬)已知曲線y＝eq\f(1,4)x2－3lnx的一條切線的斜率為－eq\f(1,2)，則切點橫坐標(biāo)為()A．－2 B．3 C．2或－3 D．26．有一機器人的運動方程為s＝t2＋eq\f(3,t)(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為()\f(19,4) \f(17,4) \f(15,4) \f(13,4)二、填空題7．已知函數(shù)f(x)＝f′(eq\f(π,4))cosx＋sinx，則f(eq\f(π,4))的值為________．8．(2013·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則f′(0)＝________．9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，記f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，且n≥2)，則f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋…＋f2012(eq\f(π,2))＋f2013(eq\f(π,2))＝________．三、解答題10．已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；(2)求曲線過點P(2，4)的切線方程；(3)求斜率為1的曲線的切線方程．11．(2013·江門模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．12．設(shè)有拋物線C：y＝－x2＋eq\f(9,2)x－4，過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限，求切線方程．解析及答案一、選擇題1．【解析】①(3x)′＝3xln3；②(log2x)′＝eq\f(1,xln2)；③(ex)′＝ex；④(eq\f(1,lnx))′＝－eq\f(\f(1,x),（lnx）2)＝－eq\f(1,x·（lnx）2)；⑤(x·ex)′＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，故選B.【答案】B2．【解析】f′(x)＝2f′(1)＋2x,∴令x＝1，得f∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.故選D.【答案】D3．【解析】∵y′＝eq\f(x－1－（x＋1）,（x－1）2)＝－eq\f(2,（x－1）2)∴y′|x＝3＝eq\f(－2,（3－1）2)＝－eq\f(1,2)，∴－a＝2，即a＝－2.【答案】B4．【解析】∵y′＝2xex＋x2ex＋2，∴y′|x＝0＝2，∴曲線在點P(0，1)處的切線方程為y－1＝2x，即y＝2x＋1，令y＝0得x＝－eq\f(1,2)，故選D.【答案】D5．【解析】設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，∵y′＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,x)，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,2)x0－eq\f(3,x0)＝－eq\f(1,2)，即xeq\o\al(2,0)＋x0－6＝0，解得x0＝2或x0＝－3(舍)，故選D.【答案】D6．【解析】∵s(t)＝t2＋eq\f(3,t)，∴s′(t)＝2t－eq\f(3,t2)，∴機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為s′(2)＝4－eq\f(3,4)＝eq\f(13,4).【答案】D二、填空題7．【解析】∵f′(x)＝－f′(eq\f(π,4))sinx＋cosx，∴f′(eq\f(π,4))＝－f′(eq\f(π,4))sineq\f(π,4)＋coseq\f(π,4)，∴f′(eq\f(π,4))＝eq\r(2)－1，∴f(eq\f(π,4))＝(eq\r(2)－1)coseq\f(π,4)＋sineq\f(π,4)＝1.【答案】18．【解析】∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.【答案】－1209．【解析】f1(x)＝sinx＋cosx，f2(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，….因此，函數(shù)fn(x)(n∈N*)周期性出現(xiàn)且周期為4又f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1(eq\f(π,2))＋f2(eq\f(π,2))＋…＋f2012(eq\f(π,2))＋f2013(eq\f(π,2))＝f1(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋coseq\f(π,2)＝1.【答案】1三、解答題10．【解】(1)∵P(2，4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，且y′＝x2，∴在點P(2，4)處的切線的斜率為：y′|x＝2＝4.∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過點P(2，4)的切線相切于點A(x0，eq\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3))，則切線的斜率為：y′|x＝x0＝xeq\o\al(2,0).∴切線方程為y－(eq\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵點P(2，4)在切線上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)設(shè)切點為(x0，y0)，則切線的斜率為：xeq\o\al(2,0)＝1，x0＝±1.切點為(－1，1)或(1，eq\f(5,3))，∴切線方程為y－1＝x＋1或y－eq\f(5,3)＝x－1.即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.11．【解】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，∴關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－eq\f(1,2).∴a的取值范圍為(－∞，－eq\f(1,2))∪(－eq\f(1,2)，＋∞).12．【解】設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1，y1)，則y1＝kx1 ①y1＝－xeq\o\al(2,1)＋eq\f(9,2)x1－4 ②①代入②得xeq\o\al(2,