《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案69927

?機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)?復(fù)習(xí)題解答一、填空題22+(1-x1)2〔0〕T1、用最速下降法求f(X)=100(x2-x1)的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X＝[-0.5,0.5]，第一步迭代的搜尋方向?yàn)閇-47,-50]T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜尋方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜尋區(qū)間時(shí)，最后獲得的三點(diǎn)，即為搜尋區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成高－低－高趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為n維優(yōu)化問題。、函數(shù)1XTTXC的梯度為B。62HXB7、設(shè)G為n×n對(duì)稱正定矩陣，假定n維空間中有兩個(gè)非零向量d0，d1，知足(d0)TGd1=0，那么d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、拘束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的根本要素。9、對(duì)于無拘束二元函數(shù)f(x1,x2)，假定在x0(x10,x20)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是?f(x10,x20)=0，充分條件是?2f(x10,x20)=0正定。10、K-T條件能夠表達(dá)為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各拘束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金切割法求一元函數(shù)f(x)x210x36的極小點(diǎn)，初始搜尋區(qū)間[a,b][10,10]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后獲得的新區(qū)間為[-2.3610]。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的根本要素有設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、拘束條件。13、牛頓法的搜尋方向dk=Hk1gk，其計(jì)算量大，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn)鄰近位置。14、將函數(shù)f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1XTHXBTXC的形式1[x1x2][2-1][x1]+[-10-4][x1]+602。2-12x2x215、存在矩陣H，向量d1，向量d2，當(dāng)知足d1THd2=0，向量d1和向量d2是對(duì)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解拘束優(yōu)化問題時(shí)，將拘束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橥恻c(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，擁有單一遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜尋，即求最優(yōu)步長(zhǎng)。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對(duì)于拘束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和拘束曲線，判斷X1[1,1]T為，X2[5,1]T。D22為A．內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)；外點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問題。無拘束優(yōu)化問題只含有不等式拘束的優(yōu)化問題只含有等式的優(yōu)化問題含有不等式和等式拘束的優(yōu)化問題4、對(duì)于一維搜尋，搜尋區(qū)間為[a，b]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1，a1<b1，計(jì)算出f(a1)<f(b1)，那么縮短后的搜尋區(qū)間為D。[a1，b1][b1，b][a1，b][a，b1]5、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的根本要素。設(shè)計(jì)變量拘束條件目標(biāo)函數(shù)最正確步長(zhǎng)6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-αkHk▽f(xk)，以下不屬于Hk必須知足的條件的是C。Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式擬牛頓條件與海塞矩陣正交對(duì)稱正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。A、最速上漲方向B、上漲方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四種無拘束優(yōu)化方法中，D在組成搜尋方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。梯度法牛頓法變尺度法坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且擁有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，那么f(X)在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。正定半正定負(fù)定半負(fù)定10、以下對(duì)于最常用的一維搜尋試探方法——黃金切割法的表達(dá)，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是D，假定要求在區(qū)間[a，b]插入兩點(diǎn)α1、α2，且α1<α2。A、其縮短率為0.618B、α1=b-λ〔b-a〕C、α1=a+λ〔b-a〕D、在該方法中縮短搜尋區(qū)間采用的是外推法。11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值B方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值C方向。A、上漲B、下降C、不變D、為零12、二維目標(biāo)函數(shù)的無拘束極小點(diǎn)就是B。A、等值線族的一個(gè)共同中心B、梯度為0的點(diǎn)C、全局最優(yōu)解D、海塞矩陣正定的點(diǎn)13、最速下降法相鄰兩搜尋方向dk和dk+1必為B向量。相切正交成銳角共軛14、以下對(duì)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的表達(dá)，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A?？捎脕砬蠼夂坏仁骄惺偷仁骄惺淖顑?yōu)化問題。懲罰因子是不斷遞減的正當(dāng)初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離拘束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)三、問答題〔看講義〕1、試述兩種一維搜尋方法的原理，它們之間有何區(qū)別？2、懲罰函數(shù)法求解拘束優(yōu)化問題的根來源理是什么？3、試述數(shù)值解法求最正確步長(zhǎng)因子的根本思路。4、試述求解無拘束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。6、什么是共軛方向？知足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？四、解答題1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x2+0.5x2(0)=[-2T12-x1x2-2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x，4],選代精度ε=0.02〔迭代一步〕。解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù)?f=[3?x1-x2-2],x2-x1計(jì)算目前迭代點(diǎn)的梯度向量值?f(X(0))=[-3?2-4-2]=[-12]4+26梯度法的搜尋方向?yàn)镾〔k〕=-?f,因此在迭代點(diǎn)x(0)的搜尋方向?yàn)閇12，－6]T在此方向上新的迭代點(diǎn)為：〔k+1〕〔k〕+〔k〕〔0〕〔0〕X=XαS=X+αS=[-212]=[-2+12α4]+α[-64-6α]把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)對(duì)于單變量α的函數(shù)F(α)f(X(k+1)-2+12α22(α)()=f([4-6α])=1.5(-2+12α)+0.5(4-6-2+124--)-62(-2+12α)＝F(α)αdF(α)令dα=-180+612α＝0，能夠求出目前搜尋方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)α＝175≈0.2941新的迭代點(diǎn)為X〕+αS0〕＝[1.5292]〔0〔2.2354目前梯度向量的長(zhǎng)度‖‖+6x6=13.4164>ε,因此持續(xù)進(jìn)行迭代。?f=√12x12第一迭代步達(dá)成。2、試用牛頓法求f(X)=(x1-2)2122的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)T+(x-2x)=[2,1]。解1：〔注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是改正題目后解法?！撑ｎD法的搜尋方向?yàn)镾(k)=-?2(f)-1?(f),因此首先求出目前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣?(f)＝[4?x1-4?x2-4]8?x2-4?x1?(f〔x(0)〕)=[0]0?2(f)＝[4-4]-482(f)-1121?=4[11]S(k)=-?2(f)-1?(f)=[00]不用搜尋，目前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下改正求解題目的初始點(diǎn)，以表達(dá)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，從頭采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜尋方向?yàn)镾(k)=-?2(f)-1?(f),因此首先求出目前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：?(f)＝[4?x1-4?x2-4]8?x2-4?x1初始點(diǎn)梯度向量：?(f〔x(0)〕)=[-8]12海色矩陣：2(f)＝[4-4?-48]海色矩陣逆矩陣：2(f)-1=1[21?41]1目前步的搜尋方向?yàn)椋?k)2()-1＝121-8-1S=-?f?(f)-4[11][12]＝[1]新的迭代點(diǎn)位于目前的搜尋方向上：〔k+1〕〔k〕〔k〕〔0〕+〔0〕X=X+αS=XαS-11-α[]＋α[]＝[]12＋α把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)對(duì)于單變量α的函數(shù)F(α)f(X(k+1)1-α2+(3α2＝F(α))=f([2＋α])=(α+1)+3)dF(α)令dα=20α+20＝0，能夠求出目前搜尋方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)α＝-1新的迭代點(diǎn)為X(1)〔0〕〔0〕＝[1-1＝2=X+αS]–[][]211目前梯度向量的長(zhǎng)度‖?f‖=12x12+8x8=14.4222>ε,因此持續(xù)進(jìn)行迭代?！痰诙剑?(f)＝[4?x1-4?x2-4]8?x2-4?x1?(f〔x(1)〕)=[0]0‖?f‖=0<ε因此不用持續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)抵達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。3、設(shè)有函數(shù)f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。解：首先利用極值必要條件(f)=[0]找出可能的極值點(diǎn)：0令?(f)＝[2?x1-2?x2-404?x2-2?x1]＝[0]求得[x1x2]=[42],是可能的極值點(diǎn)。再利用充分條件?2(f)正定〔或負(fù)定〕確認(rèn)極值點(diǎn)。?2(f)＝[2-2]-24|2|＝2>0|2-2|＝8-4＝4>0-24因此?2()正定?x14*)=-8f,X=[x2]=[2]是極小點(diǎn)，極值為f(X4、求目標(biāo)函數(shù)f(X)=x12+x1x2+2x22+4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上222T5、試證明函數(shù)f(X)=2x1+5x2+x3+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1，1，-2]處擁有極小值。4?x1+2?x3?(f)＝[10?x2+2?x3-6]2?x1+2?x2+2?x3將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得0(f)＝[0]0充分條件2()＝402f[]0102222|4|＝4>0|40|＝40>0010402|0102|＝80-40-16＝24>0222?2(f)正定。因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處擁有極小值6、給定拘束優(yōu)化問題minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)222＋5≥0s.t.g1(X)=－x1－x2g2(X)=－x1－2x2＋4≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0考證在點(diǎn)X[2，１]TKuhn-Tucker條件建立。解：首先，找出在點(diǎn)X[2，１]T起作用拘束：g1(X)＝0g2(X)＝0g3(X)＝2g4(X)＝1因此起作用拘束為g1(X)、g2(X)。然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用拘束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否能夠表示為起作用拘束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。?(f)＝[2?x1-6]＝[-2]2?x2-4-2()＝[-2?x1]＝[-4],?(g2)＝[-1]?g1-2?x2-2-2求解線性組合系數(shù)?(f)=λ1?(g1)+λ2?(g2)[-2]=-4]+-1-2λ1λ2[-2[-2]獲得λ1＝31,λ2=32,均大于0因此在點(diǎn)X[2，１]TKuhn-Tucker條件建立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題用K-T條件考證X*1,0T為其拘束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、目標(biāo)函數(shù)為f(X)=x1+x2，受拘束于：2g1(X)=-x1+x2≥021g(X)=x≥0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r(1)>r(2)>r(3)>r(k)>0是一個(gè)遞減的正當(dāng)數(shù)列r(k)＝Cr(k-1)，0＜C＜1因此罰函數(shù)為：?(X,r(k))=x1+x2+r(k)(1+12)-x1+x2x19、目標(biāo)函數(shù)為f(X)=(x-1)2+(x+2)212受拘束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0g2(X)=2-x1-x2≥0g(X)=x1≥03g4(X)=x2≥0試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問怎樣截法〔x取何值〕才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。311、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比率截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。213、求外表積為300m的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解〔寫出M文件和求解命令〕。15、梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為2c，高度為h，面積A=64516mm，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比率