Ch8-桿類構件靜力學設計

第八章桿類構件靜力學設計

第八章桿類構件靜力學設計本部分主要內容失效和失效判據(jù)基本變形狀態(tài)下桿件強度計算連接件的強度計算（剪切和擠壓實用計算）基本變形狀態(tài)下桿件剛度計算壓桿穩(wěn)定性計算復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則提高桿件承載能力的措施構件中含裂紋時的斷裂設計準則*組合變形問題以專題進行教學PARTA失效和失效判據(jù)第八章桿類構件靜力學設計PARTA失效和失效判據(jù)

構件能正常使用，必須滿足強度要求、剛度要求和穩(wěn)定性要求。如果桿件不能滿足這些要求，即桿件在工作中喪失了它們應有的功能，稱之為失效。PARTA失效和失效判據(jù)強度失效:由于桿件材料屈服或斷裂引起的對于由塑性材料制成的桿件，由于在斷裂之前先已出現(xiàn)塑性變形，影響桿件的正常工作，因此工程上一般將材料屈服就視為失效。如果工程上對某些桿件允許出現(xiàn)一定的塑性變形，則可不將屈服視為失效，而將最后的斷裂視為失效。剛度失效:由于桿件過量的變形引起的失效。穩(wěn)定（屈曲）失效:由于桿件平衡形態(tài)的突然轉變而引起的失效。其他失效形式:疲勞失效，蠕變失效等。PARTA失效和失效判據(jù)失效判據(jù):為了保證所設計的桿件能正常地使用而不失效，必須根據(jù)所用材料性能，桿件受力狀況、工程要求建立判斷失效的依據(jù)。例如:脆性材料在單向拉伸應力狀態(tài)下，其強度失效判據(jù)為:轉動軸，剛度的失效判據(jù)為:其中，為工程中規(guī)定的允許值。一般應力狀況，其強度失效判據(jù)必須根據(jù)強度理論來建立。PARTA失效和失效判據(jù)有了失效判據(jù)，則根據(jù)不同的設計理論建立不同的設計準則。目前設計理論主要有:安全因（系）數(shù)法概率極限狀態(tài)法（可靠度方法）PARTA失效和失效判據(jù)安全因（系）數(shù)法

脆性材料斷裂時的應力是強度極限sb,塑性材料到達屈服時的應力是屈服極限ss，這兩者都是桿件失效時的極限應力。

為保證桿件具有足夠的強度，在載荷作用下的實際應力s(工作應力)顯然應當?shù)陀跇O限應力。

強度計算中，以極限應力除以大于1的因數(shù)，并將所得到的結果稱為許用應力（容許應力），用[s]表示。PARTA失效和失效判據(jù)安全因（系）數(shù)法對于塑性材料:對于脆性材料:上面兩式中，大于1的因數(shù)ns或nb稱為安全因數(shù)。把許用應力[s]作為構件工作應力的最高限度，即要求工作應力s不能超過許用應力[s]PARTA失效和失效判據(jù)安全因（系）數(shù)法

從安全的角度考慮，加大安全因數(shù)，降低許用應力，這就難免要增加材料的消耗和機器的重量，造成高成本和浪費；

從經(jīng)濟的角度考慮，減小安全因數(shù)，提高許用應力，可以少用材料，減輕自重，但是又有損于安全。

經(jīng)濟與安全的綜合考慮。PARTA失效和失效判據(jù)安全因數(shù)的選擇1、材料的素質，包括材料的均勻程度，質地好壞，塑性還是脆性；2、載荷情況，包括對載荷的估計是否準確，靜載荷還是動載荷；3、實際構件簡化過程和計算方法的精確程度；4、零件在設備中的重要性，工作條件，損壞后造成后果的嚴重程度，制造和修配的難易程度；5、對減輕設備自重和提高設備機動性的要求。

確定安全因數(shù)要綜合多方面的因素，很難做統(tǒng)一的規(guī)定。不過隨著人類對客觀事物的認識的不斷提高和完善，安全因數(shù)的選擇必然日益趨于合理。PARTA失效和失效判據(jù)安全因數(shù)的選擇

許用應力和安全因數(shù)的數(shù)值（或原則），可在有關業(yè)務部門的一些規(guī)范中查到。

例如:在齒輪的承載能力計算(ISO6336-1)中關于齒輪的安全因數(shù)提到:Anappropriateprobabilityoffailureandthesafetyfactorshallbecarefullychosentomeettherequiredreliabilityatajustifiablecost.Iftheperformanceofthegearscanbeaccuratelyappraisedthroughtestingoftheactualunitunderactualloadconditions,alowersafetyfactorandmoreeconomicalmanufacturingproceduresmaybepermissible.PARTA失效和失效判據(jù)安全因數(shù)的選擇

目前一般機械制造中[參考《安全系數(shù)和許用應力》，機械工業(yè)出版社，1981]，在靜載情況下，對塑性材料可取ns=1.2~2.5,脆性材料均勻性較差，且斷裂突然發(fā)生，有更大的危險性，所以取nb=2~3.5甚至3~9。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算第八章桿類構件靜力學設計PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算

桿件在基本變形下，危險點處一般只有正應力或切應力，因此只要使用以下兩式就可以進行強度計算:

根據(jù)工程要求的不同，強度計算一般有以下類型:

強度校核:驗證危險點的工作應力是否滿足強度條件；

截面設計:根據(jù)強度條件設計桿件的橫截面尺寸；

許用載荷確定:確定桿件或結構所能承受的最大載荷；

材料選擇:根據(jù)安全、經(jīng)濟的原則以及工程要求，選擇合理的材料。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算1、拉壓桿的強度計算

拉壓桿的特點是橫截面上的正應力均勻分布，而且各點均處于單向應力狀態(tài)，因此對于等截面直桿其強度條件為:

FNmax是桿中的最大軸力（內力）。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算例8-1

圖中所示的結構由兩根桿組成，設兩桿材料相同，許用拉應力[s]=170MPa.(1)如AC桿的截面積為400mm2

，BC桿的截面積為250mm2，試求許用載荷[F]；(2)如載荷F=60kN，試求兩桿所需的最小截面積。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算（1）求許可載荷[F]對節(jié)點C受力分析解得:PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算由強度條件:因此，結構的許可載荷為:PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算（2）兩桿所需要的最小面積PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算2、圓軸的強度計算

圓軸扭轉時，橫截面上每點都處于純剪切狀態(tài)，切應力沿徑向線性分布，橫截面上最大切應力位于圓軸表面，因此，等直圓軸的強度條件是:PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算例8-2

傳動軸如圖所示，設材料的許用切應力[t]=50MPa，軸的直徑100mm，轉速n=300rpm，試求該傳動軸所能傳輸?shù)墓β?。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算畫出扭矩圖，如圖所示(1)求出傳動軸所能承受的最大扭矩。(2)求傳動軸所能傳輸?shù)墓β?。顯然，該傳動軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內，其值與外力偶矩T相同

若將主動輪A與從動輪B的位置互換，則所傳遞的功率增大還是減少？是否有利？PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算3、梁的強度計算

一般情況下梁的各個橫截面上既有剪力又有彎矩，因此必須要進行正應力強度計算和切應力強度計算，對于等截面梁，其基本公式是:PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算3、梁的強度計算1)[s]是彎曲許用正應力，作為近似，可取為材料在軸向拉壓時的許用正應力。2)必須根據(jù)彎矩圖和剪力圖綜合判斷危險面，然后再確定危險點。梁上可能存在三種危險點：正應力最大的點；切應力最大的點；正應力和切應力都比較大的點。3)若材料的許用拉應力和許用壓應力不相等（如鑄鐵等脆性材料），以及中性軸不是截面的對稱軸，則需分別對最大拉應力和最大壓應力作強度計算。4)對于實心截面桿，在一般受力情況下，正應力強度起控制作用，不必校核切應力強度。但對于薄壁截面，如焊接工字型鋼梁，以及集中載荷作用在靠近支座處，從而使梁的最大彎矩較小而最大剪力較大等這些情況，則需要校核切應力強度。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算例8-3

如圖所示為一枕木的受力圖。已知枕木為矩形截面，其寬高比為b/h=3/4，許用應力為[s]

=9MPa,[t]

=2.5MPa，枕木跨度l

=2m，兩軌間距1.6m，鋼軌傳給枕木的壓力為F=98kN。試設計枕木的截面尺寸。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算基本思路:PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算1）畫出剪力圖和彎矩圖2)按正應力強度設計截面尺寸。枕木中的最大彎矩為PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算3）切應力強度校核。根據(jù)所選尺寸，校核切應力是否滿足強度條件。不滿足切應力強度要求，應重新設計。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算4）按切應力強度條件設計截面尺寸。根據(jù)切應力強度條件有PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算例8-4T型截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖所示。已知截面的慣性矩Iz=26.1×106mm4,y1=48mm,y2=142mm。材料的許用應力[s+]=40MPa,[s－]=110MPa。試校核梁的強度。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算1）作出梁的彎矩圖2）危險點分析B點彎矩絕對值最大，應校核拉、壓應力，C點下側受拉，但離中性軸較遠，其最大拉應力有可能比截面B的上側還要大，所以也可能是危險點。PARTB基本變形狀態(tài)下的桿件強度計算3）強度校核故該梁不安全。從本例可以看出，對于脆性材料梁，真正的危險點有時并不一定在彎矩最大截面上。PARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）第八章桿類構件靜力學設計PARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）1、連接件

工程中有時需將幾個構件連成一體，在連接部分，一般要有起連接作用的部件，稱為連接件。如螺栓、鉚釘、鍵等。PARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）2、連接件的受力變形特點受力特點:受到一對大小相等，方向相反，作用線很近而且平行的力作用PP變形特點:連接面沿著剪切面發(fā)生相對錯動nn（合力）（合力）PPPARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）3、連接件的失效形式A、沿著剪切面發(fā)生的剪切破壞B、構件與連接件的接觸面上（擠壓面）產(chǎn)生較大的擠壓應力，從而引起過量的塑性變形，導致失效。nn（合力）（合力）PPPARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）4、連接件的剪切強度計算

由于連接件剪切面上的切應力和接觸面上的擠壓應力分布比較復雜，因此工程上一般采用簡化計算。

假定切應力在剪切面上均勻分布

強度條件:PARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）5、連接件的擠壓強度計算假定:擠壓應力在有效擠壓面上均勻分布有效擠壓面是指接觸面在垂直于總擠壓力作用線平面上的投影。實際擠壓面有效擠壓面

強度條件:

AC是有效擠壓面面積；FC是接觸面上的總擠壓力；[sc]是許用擠壓應力。PARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）例8-5

齒輪與軸由平鍵b×h×l=20×12×100mm連接，它傳遞的扭矩M=2KN·m，軸的直徑d=70mm，鍵的許用切應力為[t]=60MPa，許用擠壓應力為[sc]=100MPa，試校核鍵的強度。MbhlPARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）Mbhl鍵的受力分析如圖MdFPARTC連接件的強度計算（剪切與擠壓）Mbhl切應力和擠壓應力的強度條件

MdF綜合以上，鍵滿足強度要求

PARTD基本變形狀態(tài)下的桿件剛度計算第八章桿類構件靜力學設計PARTD基本變形狀態(tài)下的桿件剛度計算

工程中有不少桿件，強度是足夠的，但由于有較大的變形從而影響機器或結構的正常工作。例如機床主軸的撓度過大會影響加工精度；吊車梁若變形過大，行使時會出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象，并會產(chǎn)生較大的振動，使吊車行使不平穩(wěn)；傳動軸在軸承處若轉角過大，會使軸承的滾珠產(chǎn)生不均的磨損，縮短軸承的使用期。因此，這些桿件的變形必須限制在一定的范圍內，亦即對這些桿件的剛度提出要求。其剛度條件統(tǒng)一可寫成如下形式

D是桿件在各種載荷情況下的變形量，可由具體的變形公式計算;[D]是規(guī)定的許用變形量，可在有關的設計規(guī)范或手冊中查到。PARTD基本變形狀態(tài)下的桿件剛度計算各種基本變形下，等直桿的剛度條件具體可表示為：軸向拉壓:扭轉:單位長度扭轉角彎曲:PARTD基本變形狀態(tài)下的桿件剛度計算例8-6

圖示為一鏜孔裝置，在刀桿端部裝有二把鏜刀，已知切削功率P=8kW，刀桿轉速n=60rpm,G=80GPa，材料的許用應力[t]=60MPa，刀桿的[q]=0.5°/m，試根據(jù)強度條件和剛度條件確定刀桿的直徑。PARTD基本變形狀態(tài)下的桿件剛度計算確定刀桿的扭矩根據(jù)強度條件確定刀桿件直徑根據(jù)剛度條件確定刀桿件直徑綜合強度和剛度條件，取d=66mmPARTE壓桿穩(wěn)定性計算第八章桿類構件靜力學設計PARTE壓桿穩(wěn)定性計算

壓桿穩(wěn)定問題和強度問題一樣，為了保證壓桿正常工作，允許壓桿承受的軸向壓力F必須小于臨界壓力Fcr,或允許承受的壓應力s必須小于臨界應力scr。

引進一個大于1的安全因數(shù):

穩(wěn)定安全因數(shù)［ncr］

壓桿的穩(wěn)定條件為：在工程中，常把穩(wěn)定條件改寫成如下形式進行計算：ncr被稱為工作安全因數(shù)PARTE壓桿穩(wěn)定性計算

一般來說，規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)應略高于強度安全因數(shù)。這是因為[ncr]的選取，除了要考慮在選取強度安全系數(shù)時的那些因素外，還要考慮影響壓桿失穩(wěn)所特有的不利因素，如壓桿不可避免存在的初曲率、載荷的偏心、材料不均勻等。這些不利因素，對穩(wěn)定的影響比對強度的影響大。鋼材:[ncr]=1.8~3.0鑄鐵:[ncr]=5.0~5.5可利用穩(wěn)定條件來進行穩(wěn)定性校核和確定許用載荷。對截面進行設計折減系數(shù)法對于折減系數(shù)法，參考教材149~150頁有關內容PARTF復雜應力狀態(tài)下的

強度理論和設計準則第八章桿類構件靜力學設計PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則

前面建立了桿件在基本變形下危險點為單向應力狀態(tài)和純剪切狀態(tài)下的強度條件，但是實際桿件，并非都是單向或者純剪切，而是復雜應力狀態(tài)。

復雜應力狀態(tài)下，人們不再通過試驗來建立強度條件，而是根據(jù)一定的試驗結果，對失效現(xiàn)象加以觀察、分析和歸納，尋找失效的規(guī)律，從而對失效的原因作一些假說，這些假說通常就稱為強度理論。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則強度理論認為:

無論何種應力狀態(tài)，也無論何種材料，只要失效形式相同，則失效原因就是相同的，且這個原因是應力、應變或變形能等中的一種。這樣，造成失效的原因就與應力狀態(tài)無關，從而便可由簡單應力狀態(tài)的實驗結果，來建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。失效現(xiàn)象主要有兩種:屈服和斷裂。相應的強度理論大致也分為兩類:一類是解釋斷裂失效的；另一類是解釋屈服失效的。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則四種主要的強度理論：1、最大拉應力理論（第一強度理論）2、最大拉應變理論（第二強度理論）3、最大切應力理論（第三強度理論）4、形狀改變比能理論（第四強度理論）PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則1、最大拉應力理論（第一強度理論）

認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。斷裂判據(jù):強度條件:

鑄鐵等脆性材料，無論是在單向拉伸、扭轉或雙向、三向應力狀態(tài)下，斷裂都發(fā)生于拉應力最大的截面上，與這一理論相符。但這一理論沒有考慮其它兩個主應力對斷裂的影響，對沒有拉應力的狀態(tài)（如單向、雙向壓縮等）也無法應用。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則2、最大拉應變理論（第二強度理論）

認為構件的斷裂是由最大拉應變引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。斷裂判據(jù):強度條件:

混凝土或石料等脆性材料軸向受壓時，如在試驗機與試塊的接觸面上添加潤滑劑，則試塊沿垂直于壓力的方向開裂，與這一理論相符。這一理論雖然考慮了其它兩個主應力對斷裂的影響，似乎比第一強度理論合理，但實際情況并不如此，除了上述的少數(shù)情況外，往往是第一強度理論更符合實際。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則3、最大切應力理論（第三強度理論）

認為構件的屈服是由最大切應力引起的。當最大切應力達到單向拉伸試驗的極限切應力時，構件就破壞了。單向拉伸情況下:屈服判據(jù):強度條件:PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則3、最大切應力理論（第三強度理論）

認為構件的屈服是由最大切應力引起的。當最大切應力達到單向拉伸試驗的極限切應力時，構件就破壞了。

這一強度理論可以較為滿意地解釋塑性材料的屈服現(xiàn)象，例如低碳鋼拉伸屈服時，沿著與軸線成45°方向出現(xiàn)滑移線，而這一方向斜面上的切應力也是最大。由于這一理論形式簡單，概念明確，且計算結果偏于安全，故在工程中廣泛應用。但是這一強度理論沒有考慮中間主應力s2

對屈服的影響。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則4、形狀改變比能理論（第四強度理論）

認為構件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構件就破壞了。單向拉伸情況下屈服判據(jù):任意應力狀態(tài)下:強度條件:

一些試驗表明，這一強度理論可以較好地解釋和判斷材料的屈服。由于全面考慮了三個主應力的影響，所以比較合理，它比最大切應力理論更符合實驗結果。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則上述四個強度理論的強度條件可寫成如下統(tǒng)一的格式sr稱為相當應力。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則

但是，必須指出材料的失效形式還與其所處的應力狀態(tài)、強度等有關。例如，低碳鋼在三向拉伸時，呈現(xiàn)脆性斷裂，應用第一強度理論；鑄鐵在三向壓縮時，呈現(xiàn)屈服，應用第三或第四強度理論。即無論是塑性或脆性材料，在三向拉應力相近的情況下，呈現(xiàn)斷裂失效，應用第一強度理論；而在三向壓應力相近的情況下，呈現(xiàn)屈服失效，應用第三或第四強度理論。因此，即使同一種材料，在不同的應力狀態(tài)，也不能采用同一種強度理論。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則例8-7試用強度理論導出許用切應力和許用拉應力之間的關系式[解]取一個純剪切狀態(tài)的單元體:切應力強度條件:計算主應力：PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則從而得到:由第一強度理論:由第二強度理論:由第三強度理論:由第四強度理論:PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則例8-8已知一鍋爐的平均直徑d=1000mm，蒸汽壓力壓強p=3.6MPa，如圖所示，設材料的許用應力[τ]=160MPa，試按照第三、第四強度理論設計鍋爐的壁厚d。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則參考第五章應力狀態(tài)分析二向應力狀態(tài)實例：任意一點都是二向應力狀態(tài)，則主應力:當采用第三強度理論時:PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則當采用第四強度理論時:比較第三強度理論得到的d=11.25mm，可以看出，第三強度理論比第四強度理論保守。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則例8-9簡支梁AB如圖所示。l=2m,a=0.3m。梁上的載荷為q=10kN/m，F(xiàn)=200kN。材料的許用應力為[s]=160MPa。試選擇合適的工字鋼型號。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則1)畫出剪力圖和彎矩圖2)根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號注:

對于既有正應力又有切應力的情況，一般先按照正應力強度選擇截面。查表可選擇I25b,其W=423cm3PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則3)最大切應力強度校核最大切應力位于A、B截面的中性軸上，該點為純剪切應力狀態(tài)。純剪切應力狀態(tài)的主應力:根據(jù)第四強度理論:超出了許用應力，應重新選擇。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則重新選用I28b考慮到C截面和D截面具有比較大的剪力和彎矩，在腹板和翼緣交界處正應力和切應力都較大，因此需要對其進行主應力強度校核。PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則校核C截面上的H點的強度PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則C截面上的H點的主應力PARTF復雜應力狀態(tài)下的強度理論和設計準則按照第四強度理論有由上述計算可得，選擇I28a合適.PARTG提高桿件承載能力的措施第八章桿類構件靜力學設計PARTG提高桿件承載能力的措施

桿件的設計除了滿足強度、剛度和穩(wěn)定性等要求以外，還應考慮如何充分利用材料，使設計更為合理。即材料在滿足要求的前提下，所用材料最少，或者說在用料一定的條件下，桿件承載能力最高。以下主要以梁為例介紹幾種工程上常用的措施。1）合理安排桿件的受力情況；

2）選用合理的截面形狀；

3）合理選擇材料；

4）減小桿件的計算長度；

5）增強支承的剛性。PARTG提高桿件承