第一章 誤差理論基礎

2023/2/1第一章誤差理論基礎①等精度測量：測量條件不變（完全一致）的一系列重復測量。②非等精度測量：測量條件不完全一致的一系列重復測量。1.1測量誤差一、常用術語根據(jù)中華人民共和國計量器具檢定規(guī)程JJG1001-82（試行）《常用計量名詞術語及定義》2023/2/1③真值：被測量本身所具有的真正的值。在不同的時間和空間條件下，被測量的真值往往是不同的。真值是客觀存在的，也是一個理想的概念，通常不可知，特殊可知（三角形的三角之和180，人為定義）。可以說，被測對象的真值是不可知的。④實際值：是可知的，它趨近于真值，通常用它來代替真值，故亦稱為約定真值。如算數(shù)平均值（由有限次測量得到），上一級標準器具等等，它們的準確度均高于當前測量值。標準器具及其等級的概念，如砝碼。實際值與真值都是獲得測量誤差的基準。不過，通常情況下，實際值往往用于工程計算，而真值則往往用于理論分析。2023/2/1⑤標稱值：測量器具或元件上標明的數(shù)值，亦稱為名義值。如砝碼。⑥示值：測量器具的讀數(shù)裝置所指示的被測量的數(shù)值。如電壓表、卡尺、直尺等等。標稱值和示值都是實際測量出來的數(shù)值，統(tǒng)稱為給出值，亦可稱為測量值或實測值。⑦測量誤差：被測量的給出值與其真值（或實際值）之間的差值，簡稱誤差。任何測試系統(tǒng)的測量結果都有一定的誤差，即所謂精確度。不存在沒有誤差的測量結果，也不存在沒有精確度要求的測試系統(tǒng)。誤差是一項非常重要的技術指標。2023/2/11．按表示方法分類⑴絕對誤差定義：絕對誤差＝示值（或標稱值）－真值，即Δx＝x－A0

（1-1）式中，x表示被測量的給出值（示值或標稱值），Δx表示絕對誤差，A0表示被測量的真值。實際應用中常用實際值（約定真值）來代替真值，此時的絕對誤差也常稱為示值誤差：示值誤差＝給出值（示值或標稱值）－實際值 Δx＝x－A

（1-2）二、誤差分類2023/2/1修正值：絕對（示值）誤差的負值C＝－Δx＝A－x

（1-3）檢定→修正值已知→實際值（砝碼）A＝x＋C

（書中p4的“－”錯了） （1-4）有了修正值，就能在測試過程中得到更為準確的結果了。絕對誤差和修正值均與給出值具有相同的量綱，其大小和符號分別表示給出值偏離真值的程度和方向。2023/2/1⑵相對誤差定義：絕對誤差與被測量的某一約定值（不是約定真值?。┲取Ｏ鄬φ`差以百分比的形式表示（無量綱），它往往比絕對誤差更能確切地說明測量質量，作為一項技術指標，它的使用也往往比絕對誤差更多。①實際相對誤差＝絕對誤差/實際值×100% A=Δx/A×100% （1-5）②示值相對誤差＝絕對誤差/給出值×100% x=Δx/x×100% （1-6）2023/2/1③

滿度（引用）相對誤差＝絕對誤差/滿度值×100%（簡稱：“相對”二字可省略）m=Δx/xm×100% （1-7）滿度值亦稱為量程。在相對誤差中，引用誤差是應用最多的表示方法。常用電工儀表系列利用最大引用誤差的概念定義了7級標準：±0.1、±0.2、±0.5、±1.0、±1.5、±2.0、±5.0。⑶容許誤差根據(jù)技術條件的要求，規(guī)定某一類測量器具最大允許誤差的范圍。工程上常簡稱為允差。2023/2/12．按誤差的出現(xiàn)規(guī)律分類⑴

系統(tǒng)誤差（系差）在同一條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。變化規(guī)律服從某種已知函數(shù)。表明了偏離真值的程度，故常用正確度（不能稱為準確度）來表征系統(tǒng)誤差的大小。2023/2/1⑵隨機誤差（隨差，偶然誤差）在同一條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化著的誤差稱為隨機誤差。造成隨機誤差的因素很多也很復雜，往往難以進行具體的分析。其變化規(guī)律未知，但服從統(tǒng)計規(guī)律，因此可以估計。隨機誤差表明了測量結果的分散性。常用精密度（簡稱為精度）來表征隨機誤差的大小。⑶粗大誤差（粗差、寄生誤差）測量結果明顯偏離實際值（約定真值）時所對應的誤差，該測量結果稱為壞值，應予舍棄不用。2023/2/1⑷測量誤差的描述如前所述，系統(tǒng)誤差的大小可以用正確度來表征，隨機誤差的大小可以用精密度來表征。如果測量的正確度和精密度均高，則稱為測量的準確度高。準確度亦稱為精確度。正確度系統(tǒng)誤差 精密度隨機誤差；準確度＝正確度＋精密度2023/2/1如圖所示（射擊的彈著點）：圖（a）表示正確度較高而精密度很差；圖（b）表示精密度雖較好，但正確度不高；圖（c）表示正確度和精密度都不錯，即準確度高。（a）精密度（b）正確度（c）準確度2023/2/13．按誤差來源分類⑴工具誤差：測量工具本身不完善引起的誤差。①讀數(shù)誤差：a.校準誤差；b.分辨率不高②內部噪聲引起的誤差。電子的、機械的等等。③其他誤差：器件老化、測試系統(tǒng)條件變化等等。⑵方法誤差（理論誤差）：所依據(jù)的理論本身不嚴密、采用的測量方法不完善或被測量定義不明確等因素引起的誤差。2023/2/14．按被測量隨時間的變化分類⑴靜態(tài)誤差：被測量隨時間變化很緩慢或基本不變時的測量誤差。⑵動態(tài)誤差：在被測量隨時間變化很快的過程中測量時產(chǎn)生的附加誤差。是在動態(tài)測量時產(chǎn)生的。2023/2/15．按使用條件分類⑴基本誤差：測試系統(tǒng)在標準條件下測量時產(chǎn)生的誤差。測試系統(tǒng)的精確度是由基本誤差決定的。標準條件也稱為額定條件，通常由國家、地方、企業(yè)等各級制定的標準文件規(guī)定，如電源電壓220±5%V、電源頻率50±0.5Hz、溫度20±5℃、濕度＜80%等等。⑵附加誤差：使用條件偏離標準條件時產(chǎn)生的除基本誤差之外的誤差。它們疊加在基本誤差之上。2023/2/16．按誤差與被測量的關系分類⑴定值誤差：不隨被測量變化的誤差。為一定值，既可能是系差，也可能是隨差。⑵累積誤差：誤差與被測量成比例變化，故此得名Δx＝sx

（1-8）2023/2/1

［例1.1］被測電壓實際值大約為21.7V，現(xiàn)有1.5級、量程為0～30V的A表，1.5級、量程為0～50V的B表，1.0級、量程為0～50V的C表，0.2級、量程為0～360V的D表，四種電壓表，請問選用哪種規(guī)格的電壓表進行測量所產(chǎn)生的測量誤差較小?

［解］：分別用四種表進行測量由此可能產(chǎn)生的最大絕對誤差分別如下所示。2023/2/1A表有,B表有,C表有,D表有,

答：四者比較，選用A表進行測量所產(chǎn)生的測量誤差通常較小。

2023/2/11.2隨機誤差概率密度的正態(tài)分布只考慮隨機誤差，獨立等精度測量（各次測量不相關，但測量條件完全相同）；共進行了150次測量，得到了分布于11個不同區(qū)間的測量值xi及該值屬于某區(qū)間的次數(shù)ni，隨差為i=xi–x0，實際值（約定真值）x0＝5.26；誤差等間隔值Δxi＝Δi＝0.01；由p7表1-1，以頻率ni/n為縱坐標，隨差δi為橫坐標，可得頻率直方圖（亦稱為統(tǒng)計直方圖），如p7圖1-1和圖1-2所示。一、頻率直方圖圖1-1隨機誤差的頻率直方圖圖1-2隨機誤差的概率密度分布曲線2023/2/1當n→∞時，Δδi→dδ，ni→dn，則可定義隨機誤差的概率密度為:（1-9）頻率直方圖變?yōu)閳D1-2（p7）所示的f(δ)－δ的光滑曲線。概率元（陰影Ⅰ的面積）f(δ)dδ＝dn/n，即:P{δ，δ＋dδ}＝f(δ)dδ （1-10）概率分布函數(shù)定義為（圖1-2陰影Ⅱ的面積）（1-11）2023/2/1概率密度f(δ)與其分布概率函數(shù)F(δ)互為微積分關系，即f(δ)＝F'(δ)。F(δ)的統(tǒng)計特性：⑴對稱性：對稱于縱軸。⑵抵償性：當測量次數(shù)n→∞時，全體誤差的代數(shù)和為0，即正、負誤差相互抵消。⑶單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差的概率密度大，且有f(0)＝fmax(δ)。⑷有界性：實際上，絕對值很大的誤差幾乎不會出現(xiàn)，故可認為隨差具有一定的界限（注意：理論上是無界的，但實際上一定是有界的）。2023/2/1其中，令σ為均方根誤差（標準偏差），為精密度指數(shù)，它們決定了正態(tài)分布曲線的形狀，如圖1-3（p9）所示:

根據(jù)概率論的中心極限定理可知，隨差服從正態(tài)分布:(1-14)二、概率密度的正態(tài)分布2023/2/10 σ<σ<σ δσ<σ<σh＞h＞h拐點f(δ)圖1-3隨機誤差的正態(tài)分布曲線2023/2/1除了前述的4個特點外，還有以下幾個特點。⑴標準偏差σ越小（即精密度指數(shù)h越大），則正態(tài)分布曲線越陡，即小誤差的概率密度越大。這意味著小誤差出現(xiàn)的概率更大，測量值更集中、即測量精密度更高。故σ的大小表明了測量值的離散性，等精度測量就是一種σ值相同的測量。⑵令f(δ)＝0，可得峰點坐標：δ＝0（xi＝x0），f(0)＝fmax(δ)＝1/(σ)2023/2/1最后需要指出的是，并非所有的隨機誤差都服從正態(tài)分布。⑶

令f(δ)＝0，可得拐點fg(δ)的坐標：δ＝±σ，fg(δ)＝f(±σ)＝1/(σ )⑷

隨機誤差在區(qū)間（－，＋）取值的概率為1，即

P{－，＋}＝2023/2/1若以測量值x作為隨機變量，則它與隨差一樣，也服從正態(tài)分布，且其概率密度為:曲線如右圖所示?？梢姡瑴p去真值之后（即δ＝x－x0）就是隨機誤差的正態(tài)分布曲線。被測量的真值x0及標準偏差σ為測量值正態(tài)分布中的兩個重要特征量，它們決定了正態(tài)分布曲線的形狀。fmax(x)f(x)x0-σ x0

x0+σ

x1.3算術平均值與標準偏差2023/2/1由上式說明，數(shù)學期望就是全體測量值依概率的平均數(shù)。將正態(tài)分布式（1-15）代入式（1-17）積分后可得Mx＝x0，即全體測量值的數(shù)學期望就是測量值的真值，這是正態(tài)分布的重要特征之一。一、算數(shù)平均值與數(shù)學期望算數(shù)平均值公理：以等精度測量列的平均值作為測量結果。那么，算數(shù)平均值x與真值x0之間有什么關系呢？由概率論可知，數(shù)學期望定義為隨機變量的一階原點矩，它表示了隨機變量的中心位置，即2023/2/1通常，測量值往往是離散型隨機變量，此時的f(x)當然也不是連續(xù)的，故數(shù)學期望為當測量次數(shù)n→∞時，得到的所有可能測量值（無限測量列）的總體稱為母體。實際測量均是有限的，測量中只能得到母體的若干測量值（有限測量列），稱之為子樣。2023/2/1當n→∞時，有限測量列→無限測量列，子樣→母體。由正態(tài)分布的抵償性，且考慮到隨差δi＝xi－x0，則：即當n→∞時，x→x0。因此，子樣的算數(shù)平均值x就是被測量真值x0的最佳估值＾x0，即通常，在進行誤差處理時，以子樣的算數(shù)平均值x作為約定真值代替母體的真值x0，以子樣的殘余誤差（測量值與約定真值之差，簡稱為殘差）vi＝xi－x代替母體的測量誤差δi＝xi－x0。2023/2/1方差定義為隨機變量ζ的二階中心矩，表征了隨機變量相對于數(shù)學期望的離散程度。對于連續(xù)型隨機變量，母體的方差為（右邊的式子展開后，中間一項積分為Mζ）二、方差與標準偏差2023/2/1對于全體測量值來說，母體的方差Dx表征了測量值相對于其真值x0的離散程度。方差越小，正態(tài)分布曲線越陡峭，表明測量誤差越小、測量精密度越高?！? (1-22)∴ σ＝Dx→即標準偏差是方差的均方根值→故亦稱為均方根誤差。對于等精度無限測量列，即離散型隨機變量，母體的均方根誤差可表示為（理論表達式）2023/2/1對于子樣，標準偏差的計算略有不同（實際應用，工程表達式）：①當真值（或約定真值）x0已知（如象砝碼那樣的上一級標準器具的值）時，可參考上式計算，僅n為有限值（不取極限）；②當真值（或約定真值）x0未知時，必須以子樣的算數(shù)平均值x代替真值x0（最佳估值x＝?x0），以殘差vi代替測量誤差δi。因此，不能再用上式計算。n次測量有n個自由度，因為計算x已失掉1個自由度，所以測量值的標準偏差的估值如下：（貝塞爾公式）2023/2/1當n→∞時，（n－1）→n，子樣→母體，?σ→σ，于是，子樣和母體的計算公式就趨于一致了。母體的均方根誤差σ稱為標準偏差，子樣的均方根誤差?σ稱為標準偏差的估計值。當n較小時，必須用貝塞爾公式計算σ值。由于測量次數(shù)有限，因此x與x0仍有一定的誤差?？梢宰C明，算數(shù)平均值的標準偏差?S是測量值的標準偏差?σ的1/n倍，即2023/2/1式中，殘差vi＝xi－x。?S是隨n的增加而減小的，?S的變化比n慢，當n≥50時，?S減小的效果就不明顯了。故通常取n為10～20即可，實際應用中的測量次數(shù)很少會超過50次。下面介紹貝塞爾公式的另一種形式。當n較大時，用該式計算比較方便?？紤]到 x＝(1/n)xi，由式（1-24）可得：2023/2/12023/2/1若xi值太大，可任選一與xi接近的B，作變換：yi＝xi－B，∵yi－y＝xi－x＝vi，∴有優(yōu)點：①由于不需要事先求出算數(shù)平均值，因此在實際計算中，不會因求算數(shù)平均值時除不盡而產(chǎn)生舍入誤差；②在舍棄壞值之后（后面§1.5將介紹），不需要重復計算每個vi及vi2值，大大簡化了計算；③在設計計算機應用系統(tǒng)時（如利用單片機），由于計算更簡單、且不需要準備n個單元來存放所有測量值xi，因而有效地節(jié)約了計算機內存單元。2023/2/11.4置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間：定義為隨機變量的取值范圍，用符號±l或（－l～＋l）來表示。由于標準偏差σ是正態(tài)分布的重要特征，因此常以均方根誤差σ的倍數(shù)來表示置信區(qū)間：±l＝±Zσ

。其中，Z稱為置信系數(shù)（常取整數(shù)，但也可以取小數(shù)），l＝Zσ稱為置信限。置信概率：隨機變量ζ在置信區(qū)間（－l～＋l）內取值的概率，其表示方法為（σ為常量）2023/2/1置信區(qū)間和置信概率二者結合起來稱之為置信度，即可信程度。由此可見，從統(tǒng)計學的角度正確說明一個測量結果，必須指明其可信程度——即必須同時給出置信區(qū)間和置信概率這兩個重要指標。置信水平（亦稱顯著性水平）：隨機變量ζ在置信區(qū)間以外取值的概率，即(Z)＝1－(Z)＝P{||＞Zσ} （1-28）2023/2/1正態(tài)分布的置信區(qū)間和置信概率如右圖所示。顯然，置信區(qū)間越寬，置信概率就越大，隨機誤差的范圍也越大，對測量準確度的要求就越低；反之，置信區(qū)間越窄，置信概率就越小，隨機誤差的范圍也越小，對測量準確度的要求就越高。f(δ)置信概率P=φ(Z)=1-α圖1-5置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間±l

δ0.5α0.5α2023/2/1下面討論：當置信區(qū)間取不同大小時，或者說當均方根誤差σ一定、置信系數(shù)Z取不同的典型值時，置信概率有多大，它們有什么意義。當置信區(qū)間為±l＝±Zσ時，正態(tài)分布的置信概率為：做變量代換，令δ＝Zσ，則dδ＝σdZ，積分限由0～Zσ變?yōu)?～Z，故有：2023/2/1此即表示置信概率的拉普拉斯函數(shù)，它是置信系數(shù)Z的函數(shù)。當已知標準偏差σ時，置信度——即置信區(qū)間和置信概率就由拉普拉斯函數(shù)給出了。下表是一組典型值，注意Z取典型值的幾個特殊情況。Z

置信區(qū)間

置信概率

置信水平

1±σ

(Z)＝P{|δ|≤σ}＝0.6827≈2/3(Z)＝0.3173≈1/32±2σ

(Z)＝P{|δ|≤2σ}＝0.9545≈21/22(Z)＝0.0455≈1/223±3σ

(Z)＝P{|δ|≤3σ}＝0.9973≈369/370(Z)＝0.0027≈1/370通常將2σ或3σ稱為極限誤差（最大可能出現(xiàn)誤差）：＝δlim＝2σ或3σ2023/2/11.5粗差的判別準則根據(jù)“統(tǒng)計法”來判別：給出一個置信水平值，常給定α＝0.05或0.01，然后確定相應的置信區(qū)間，在置信區(qū)間外的誤差即為粗差，它所對應的測量值即為壞值，應予舍棄。設有一等精度獨立測量列xi（i＝1，2，…，n），其算數(shù)平均值為x，殘差為vi＝xi－x；按貝塞爾公式計算出的測量值的標準偏差為σ，取極限誤差為3σ，則拉依達準則（通常亦稱為3σ準則）可由下式表示：|vb|＝|xb－x|＞3σ

（1-31）

一、拉依達準則（3σ準則）2023/2/1式中，b為整數(shù)且1≤b≤n，xb為壞值，vb為壞值的殘差，x為包括壞值在內的全部測量值的算數(shù)平均值，3σ為準則的判別值。使用3σ準則需要注意以下幾點：①計算σ值時也應包括壞值的殘差vb在內，因為此時尚不知道哪個值是壞值。②建議采用式（1-26）所示的貝塞爾公式計算σ。③舍棄1個壞值后應重新應用拉依達準則檢查，直至無新的壞值出現(xiàn)為止。拉依達準則簡便易用，應用廣泛。但在理論上它是基于重復測量次數(shù)n→∞的，故當n較小時就不夠可靠了，此時應采用下面的格拉布斯準則。2023/2/1格拉布斯準則也是基于正態(tài)分布理論的，并考慮了測量次數(shù)n及標準偏差本身有誤差等影響因素，理論上比較嚴格，使用也比較方便。它利用了置信水平（顯著性水平）α。格拉布斯準則：凡大于格拉布斯鑒別值（與3σ準則不同之處）的殘差視為粗差。即|vb|＝|xb－x|＞[g(n,α)]?σ

（1-32）式中，n為測量次數(shù)，α為顯著性水平，[g(n,α)]?σ為格拉布斯鑒別值，g(n,α)為格拉布斯準則判別系數(shù)，它與測量次數(shù)n和顯著性水平α有關，如下表所示。二、格拉布斯準則2023/2/1α

n0.050.01α

n0.050.01α

n0.050.0131.151.15142.372.66252.663.0141.461.49152.412.71302.75—51.671.75162.442.75352.82—61.821.94172.472.79402.87—71.942.10182.502.82452.92—82.032.22192.532.85502.96—92.112.32202.562.88603.03—102.182.41212.582.91703.09—112.232.48222.602.94803.14—122.292.55232.622.96903.18—132.332.61242.642.991003.21—表1-3格拉布斯準則判別系數(shù)g(n,α)2023/2/1下面，通過一個例子來具體討論一下粗差的判別與壞值的舍棄方法。例1-1

n＝16，取α＝0.05。注意：書上p17下面的印刷有3處錯誤，分別為：①表1-4中第6列第12行的－0.23應為－0.21；②倒數(shù)第4行的公式中，中括號中的內容應該再除以（15－1）；③倒數(shù)第3行的第2個“按拉依達準則復查”應改為“按格拉布斯準則復查”。解：先作變換，令yi＝xi－39.50，列表計算如下。三、粗差判別舉例2023/2/1ixiyiy2ivi①vi②139.44－0.060.0036－0.18－0.12239.27－0.230.0529－0.35－0.29339.940.440.19360.320.38439.44－0.060.0036－0.18－0.12538.91－0.590.3481－0.71－0.65639.690.190.03610.070.13739.48－0.020.0004－0.14－0.08840.561.061.12360.94—939.780.280.07840.160.22表1-4（p17）：2023/2/1續(xù)前表：1039.680.180.03240.060.121139.35－0.150.0225－0.27－0.211239.710.210.04410.090.151339.46－0.040.0016－0.16－0.101440.120.620.38440.500.561539.760.260.06760.140.201639.39－0.110.0121－0.23－0.17計算①Σy①

1.980.1242.4050.060計算②Σy②

0.920.0611.28142023/2/1由式（1-26）計算標準偏差（表1-4的計算①，n＝16）：⑴按3σ準則判別計算殘差：平均值y＝0.124，vi＝y(tǒng)i－y＝y(tǒng)i－0.124；列入表1-4中。鑒別值為3?σ1＝1.14。檢查結果表明，沒有任何一個測量值的殘差的絕對值超過判別值3?σ1，即對于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.124|＜3?σ1＝1.14第一次檢查這組測量數(shù)據(jù)未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。2023/2/1⑵按格拉布斯準則判別由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯準則的判別系數(shù)為g(n,α)＝g(16，0.05)＝2.44。于是，可得格拉布斯鑒別值為g(n,α)?σ1＝2.44×0.38＝0.927≈0.93。由前面的殘差計算結果可見，第8個殘差v8的絕對值超過了鑒別值0.93，即|v8|＝|y8－y|＝|1.1236－0.124|＝0.936≈0.94＞0.93因此，v8為粗差，第8個測量值x8為壞值，應予舍棄。舍棄后應進一步檢查計算?？梢姡?σ準則判斷沒有發(fā)現(xiàn)的壞值，被格拉布斯準則發(fā)現(xiàn)了。2023/2/1第二次計算（表1-4的計算②）：去掉了壞值x8之后，還剩下15個數(shù)據(jù)，即n＝15。首先重新計算標準偏差（下式中?σ2的下標2表示第二次計算）：注意小數(shù)部分最后一位的“0”，下同。⑴按3σ準則判別重新計算殘差：平均值y＝0.061，vi＝y(tǒng)i－y，列入表1-4中。鑒別值為3?σ2＝0.90。檢查結果表明，沒有任何一個測量值的殘差的絕對值超過判別值3?σ2＝0.90，即對于所有的i，均有|vi|＝|yi－y|＜3?σ1＝0.90因此，第二次檢查這組測量數(shù)據(jù)未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。2023/2/1⑵按格拉布斯準則判別由于取α＝0.05，故由表1-3可查得格拉布斯準則的判別系數(shù)為g(n,α)＝g(15，0.05)＝2.41。于是，鑒別值為g(n,α)?σ2＝2.41×0.30＝0.723≈0.72檢查結果表明，沒有任何一個測量值的殘差的絕對值超過鑒別值0.72，即對于所有的i，均有

|vi|＝|yi－y|＝|yi－0.061|＜0.72因此，第二次檢查這組測量數(shù)據(jù)亦未發(fā)現(xiàn)粗差及壞值。至此，粗差判別結束，全部測量值中僅x8為壞值，應予舍棄。2023/2/1由上述計算過程可見，使用式（1-26）計算標準偏差?σ比使用式（1-24）計算的確具有明顯的優(yōu)越性：①避免了求算數(shù)平均值時除不盡而引入的舍入誤差；②在舍棄壞值之后，又避免了重復計算每個vi及vi2值的麻煩。這里需要注意的是，雖然在判斷過程中也計算了算數(shù)平均值x和殘差vi，但這個計算與標準偏差＾σ的計算是無關的，它們的舍入誤差只與其本身有關，并不影響其它參數(shù)的計算。同時，也不需要計算vi2值。由此可見，這種計算方法使得測量值的處理具有更高的準確度，即具有更小的數(shù)據(jù)處理誤差。2023/2/11.6系統(tǒng)誤差1．恒定系差大小和符號恒定不變的系差。又可分為恒正系差和恒負系差。恒定系差用前述處理隨機誤差（偶然誤差）的方法是難以發(fā)現(xiàn)的。一、分類2023/2/1例如，對于某一等精度測量列x1，x2，…，xn，考慮到隨機誤差時，無恒定系差時的算術平均值為殘差為vi＝xi－x；存在恒定系差ε時的算術平均值為此時的殘差為vi＝xi－x＝(xi＋ε)－(x＋ε)＝vi。于是可見，無恒定系差和有恒定系差時的殘差vi值是完全相同的。標準偏差σ的情況也是如此。2023/2/12．變值系差按照已知的一定規(guī)律變化的系差。根據(jù)變化特點，還可分為以下幾類。⑴累積（累進）系差。隨時間增長誤差逐漸加大或減少的系差；線性系差，非線性系差。⑵周期系差。在測量過程中，大小和符號均按一定周期變化的系差。⑶復雜變值系差。即變化規(guī)律尚不清楚的系差。有時會向隨機誤差轉化，可按隨機誤差處理。2023/2/1產(chǎn)生系差的原因：①客觀原因測量儀器、系統(tǒng)或測量方法不完善；②主觀原因儀表使用不當、環(huán)境條件不滿足要求、經(jīng)驗及技術水平不足、操作不細心等等。2023/2/1最根本的還是要做好測量前的準備工作——防患于未然，以消除系差的來源。首先，應檢查測量儀器本身的性能是否符合要求。其次，應仔細檢查儀器是否處于正常工作條件下。此外，還要檢查測量系統(tǒng)和測量方法本身是否正確，等等。測量過程中為減少和消除系差常用的幾個方法如下。二、消除方法2023/2/11．交換法將引起系差的某些條件相互交換，并保持其它條件不變，使產(chǎn)生系差的因素對測量結果起相反作用，從而抵消系差。例如，當機械天平兩臂的長度不相等時，會帶來測量誤差，如果交換砝碼和被測物的位置，即可抵消這一誤差。2．換向法也稱為上下讀數(shù)法。機械式測量機構的空程或間隙等影響會造成測量誤差，取上行讀數(shù)和下行讀數(shù)的平均值即可消除這一類誤差。2023/2/13．校準法用上一級標準器具檢定。對恒定系差定期檢定即可，對累積系差則須經(jīng)常標定。4．補償法某項測量條件的變化或儀器某個環(huán)節(jié)的非線性會引入變值系差，此時可采取補償措施，自動消除系差。例如，環(huán)境溫度的變化是最常見的影響測量準確度的主要因素，采用溫度補償措施即可消除溫度變化所帶來的系差。2023/2/11．恒定系差的估計設n個測量值為xi（i＝1，2，…，n），其算數(shù)平均值為x，真值為x0，則測量誤差（即絕對誤差）為δi＝xi－x0＝(xi－x)＋(x－x0)＝vi＋ε

（1-33）式中，ε為測量過程的恒定系差，由式（1-33），它可表示為ε＝i－vi

（1-34）三、估計方法2023/2/1考慮到所有殘差之和為0，（由殘差定義vi＝xi－x，兩邊同時取i個值之和即可得此結論，是殘差的重要性質）并在式（1-34）兩邊求平均值，于是可得上式表明，測量值真誤差的平均值δ就是測量過程中的恒定系差，其修正值為：C＝－ε＝－δ

（1-36）

2023/2/12．變值系差的估計為了較精確地估計變值系差的影響，往往采用解析或實驗方法找出其變化規(guī)律。然而在很多情況下難以找到變值系差的數(shù)學模型；同時，在準確度要求不高的情況下也沒有必要找到精確的數(shù)學模型。此時，只要估計出變值系差的下限值a和上限值b即可。設a＜b，可將變值系差分為兩部分：ε＝(b＋a)/2，e＝(b－a)/2 （1-37）式中，ε稱為變值系差的恒定部分，e稱為變值系差的變化部分，用來估計系差的變化范圍。2023/2/11.7誤差的傳遞及誤差的合成與分配1．誤差的傳遞：間接測量的需要。例如測量某一物質的比重，首先要測量該物質樣品的質量，其次還要測量該樣品的體積，然后再用公式“質量÷體積”來計算該物質的比重。“質量”和“體積”的測量都是直接測量，而“比重”的測量就是間接測量?！氨戎亍钡臏y量誤差是由“質量”的測量誤差和“體積”的測量誤差共同決定的。確定間接測量誤差的過程中，就需要將直接測量的誤差“傳遞”過來。一、系差的傳遞，二、隨差的傳遞2023/2/12．誤差的合成用于測量結果的分析。任何測量結果都包含一定的測量誤差，這是測量過程中各個環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結果。如何正確地分析和綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響，就是誤差合成要研究的基本內容。一、隨差的合成，二、系差的合成，三、隨差與系差的合成，四、最后結果的表示2023/2/13．誤差的分配：用于測量系統(tǒng)（裝置、方案）的設計與綜合。在設計測量儀表和測量方案等情況下，需要事先給定測量結果的總允許誤差，然后據(jù)此確定各個單項誤差。如何合理地確定各個單項誤差，以保證測量準確度，這就是誤差分配要研究的基本內容。顯然，誤差分配的難度要高于誤差合成。2023/2/11.8最小二乘原理如前所述，由式（1-16）得到的等精度測量的子樣的算數(shù)平均值x，是母體的數(shù)學期望Mx或真值x0的最佳估值。即：當n→∞時，x→x0。理論上可以嚴格證明：真值x0的最佳估值＾x0即算數(shù)平均值x，具有殘差平方和最小的特性，這就是著名的最小二乘原理。下面，通過一個并不嚴格的證明來進一步了解這個著名的原理。2023/2/1設有一獨立等精度測量列xi（i＝1，2，…，n），其殘差為vi＝xi－x，殘差平方和為：（1-64）若不按式（1-16）計算算數(shù)平均值x，會有什么結果呢？例如，對n個獨立等精度的測量值，任取其中m個（m＜n＝或m＝n＋k，n個值中有k個重復使用）計算其平均值，記為x?（以區(qū)別于算數(shù)平均值x），并設其殘差為di＝xi－x?，則此時的殘差平方和為：2023/2/1（1-65）由式（1-64）和式（1-65），并注意到x≠x?，則有:2023/2/1可見，欲求真值的最佳估值，應使各測量值的殘差平方和最小。 證畢。由于殘差為實數(shù)，即各殘差的平方和必為正數(shù)，故由前面對方差和標準偏差的討論（參考式（1-23）～（1-26）的討論）可知，殘差平方和最小就保證了相應的標準偏差和方差為最小值，同時也說明了測量數(shù)據(jù)的離散度最小，測量準確度高。最小二乘原理在實驗數(shù)據(jù)處理中是個廣義的和普遍的原則，得到了相當廣泛的應用。2023/2/11.9曲線的擬合在實踐中，經(jīng)常需要通過一組實際測量數(shù)據(jù)來求得某些變量之間的最佳函數(shù)關系式，如y＝f(x)。這一過程就稱之為曲線擬合，該曲線方程稱為回歸方程。最小二乘原理和方法就是保證具有最佳擬合與回歸的最基本也是最常用的方法。2023/2/1一、直線擬合兩個變量之間的線性關系是一種最簡單也是最理想的函數(shù)關系，故先討論之。掌握了直線擬合的方法，曲線擬合就比較容易理解了。y6420