邏輯第五章推理、簡(jiǎn)化真值表和形式證明

推理的構(gòu)成

前提、結(jié)論和推出關(guān)系①顯性部分：前提和結(jié)論前提與結(jié)論之間有個(gè)顯著的標(biāo)志——”所以”“所以”前面是前提，后面是結(jié)論?！八浴迸c“因此、因而、可見(jiàn)、因此可見(jiàn)、總之、總而言之”等相同。前提與結(jié)論倒置，則用“因?yàn)椤边B接。②隱性部分：推出關(guān)系必然性推出關(guān)系或然性推出關(guān)系推理的種類(lèi)

第一、按思維進(jìn)程方向推理演繹推理歸納推理類(lèi)比推理第二、按前提的數(shù)量推理直接推理間接推理第三、推出關(guān)系推理必然性推理或然性推理必然性推理演繹推理完全歸納推理或然性推理不完全歸納推理類(lèi)比推理有效式是前提蘊(yùn)涵結(jié)論的蘊(yùn)涵式有效式與蘊(yùn)涵式的共同點(diǎn)表現(xiàn)為：有效式前提真推出結(jié)論必真蘊(yùn)涵式前件真蘊(yùn)涵后件必真共同點(diǎn)前真后必真如果前提真，則結(jié)論必真的推理形式是有效式。如果要得出一個(gè)必然為真的結(jié)論，推理必須具備兩個(gè)條件：第一，前提內(nèi)容真實(shí)第二，推理形式有效3、前提真實(shí)性、形式有效式與結(jié)論真實(shí)性的關(guān)系真或假有效假真或假

無(wú)效假真或假無(wú)效真真有效真結(jié)論推理形式前提內(nèi)容前提真實(shí)性、形式有效式與結(jié)論真實(shí)性的關(guān)系復(fù)合命題推理有效式、無(wú)效式類(lèi)型有效式無(wú)效式負(fù)命題推理雙重否定聯(lián)言推理分解式合成式相容選言推理

否定肯定式肯定否定式不相容選言推理否定肯定式肯定否定式充分條件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式必要條件假言推理否定前件式肯定后件式肯定前件式否定后件式充分必要條件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式pp

∧

q復(fù)合命題推理有效性的判定例：寫(xiě)出下列推理的形式，并分析是否有效，簡(jiǎn)答理由。如果物體受到摩擦，那么物體生熱。物體受到摩擦。所以，物體生熱。（一）規(guī)則判定

例：寫(xiě)出下列推理的形式，并分析是否有效，簡(jiǎn)答理由。如果我努力用功了，那么只要考試不超出大綱范圍，我就能過(guò)關(guān)。因此等于說(shuō)，如果我努力用功了并且考試不超出大綱范圍，那么我就能過(guò)關(guān)。（二）真值表的判定作用判定原則：蘊(yùn)涵式是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式有效。蘊(yùn)涵式不是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式無(wú)效。步驟：第一步：把蘊(yùn)涵式放入真值表第二步：計(jì)算出蘊(yùn)涵式的真值第三步：判定pq

(pq)pq11

11110

01001

01100

010(pq)pq

pq

(pq)

pq11

01010

01101

10000

111(pq)

pq

判定下列推理形式是否有效：pq，rs，rt

┣tp簡(jiǎn)化真值表方法（歸謬賦值法）簡(jiǎn)化真值表方法首先假設(shè)一個(gè)推理形式無(wú)效，然后對(duì)表示這一推理形式的蘊(yùn)涵式賦值。

1.若賦值過(guò)程中無(wú)矛盾，則該推理形式無(wú)效。

2.若賦值過(guò)程中有矛盾（即qq)，則該推理形式有效。原理——?dú)w謬推理

pq,pq├p

pqq├p

1.轉(zhuǎn)換：把推理形式轉(zhuǎn)換成蘊(yùn)涵式。

pq，p├

q(pq)

p

q2.假設(shè)：假設(shè)該蘊(yùn)涵式為假。

(pq)

pq03.賦值：以蘊(yùn)涵為假為條件，逐層賦值。

注意：賦值過(guò)程中，無(wú)矛盾無(wú)效，有矛盾有效。1.(pq)

p

q

02.

(pq)

p

q

100

簡(jiǎn)化真值表方法的檢驗(yàn)過(guò)程例1：1(pq)

pq02(pq)

pq1003 (pq)

pq1110014(pq)

pq11110015(pq)

pq011110001判定：無(wú)矛盾，假設(shè)成立，該推理無(wú)效。即：當(dāng)p賦值為假，q賦值為真時(shí)，蘊(yùn)涵式為假。

例2：1(pq)pq02(pq)pq1003(pq)pq111004(pq)pq1111005(pq)pq1101100

06(pq)pq

0101100

判定：產(chǎn)生矛盾，該推理有效。

判定“(ppq)pq”是否有效。

賦值技巧1變項(xiàng)賦值一般從結(jié)論（后件）開(kāi)始。理由： 結(jié)論為假，容易賦值；結(jié)論比較簡(jiǎn)單。 2如果結(jié)論為假的變項(xiàng)組合不止一種：①如果一種組合在賦值過(guò)程中無(wú)矛盾，余下的組合不必再賦值，即可判定該推理形式無(wú)效。②如果所有組合在賦值過(guò)程中有矛盾，則該推理形式有效。判定“（p→q）∧（r→s）∧(q∨s)

p∧

r”是否有效。判定“（

p→q）∧（

p∨q）→（p?q）”是否有效。形式證明1.根據(jù)復(fù)合命題的邏輯特性，可產(chǎn)生基本的推理有效式和等值式。2.形式證明是一個(gè)推導(dǎo)序列，推理的有效性可以在一個(gè)推導(dǎo)序列中得到證明。3.形式證明的結(jié)構(gòu)分為三部分：序列號(hào)、真值形式和理由。形式證明就是運(yùn)用真值形式（人工符號(hào)）之間的“邏輯變形”表示必然性推理的全過(guò)程。例1：p∨q，q→r,r┣p序列號(hào)真值形式理由

1.p∨q前提

2.q→r前提

3.r前提

4.q2、3否后式

5.p1、4否肯式例2：p→q,p∨r,q

┣r∧

p

逆向思維例3：?(q∧s),r→s,p→q,?(t∧u)∨r,p∧u┣?t1.?(t∧u)∨r??t∨?u∨r2.p∧u┣u3.p∧u┣p4.p→q,p┣q5.?(q∧s)??q∨?s6.?q∨?s,q┣?s7.r→s,?s┣?r8.?t∨?u∨r,u∧?r┣?t?(q∧s),r→s,p→q,?(t∧u)∨r,p∧u┣?t1.?(q∧s)前提2.r→s前提3.p→q前提4.?(t∧u)∨r前提5.p∧u前提6.p5分解式7.u5分解式8.q3、6肯前式9.?q∨?s1德摩根律10.?s8、9否肯式11.?r2、10否后式12.?(t∧u)4、11否肯式13.?t∨?u12德摩根律14.?t7、13否肯式例4：p→?q,?q→?s,?r∨s,u∧(t→r∧p)┣t→x

1.p→?q前提

2.?q→?s前提

3.?r∨s前提

4.u∧(t→r∧p)前提

5.t→r∧p4分解式

6.r→s3蘊(yùn)涵定義律

7.?s→?r6假言易位律

8.p→?r1、2、7假言連鎖

9.?p∨?r8蘊(yùn)涵定義律

10.?r∨?p9交換律

11.?(r∧p)10德摩根律

12.?t5、11否肯式

13.?t∨x12附加律

14.t→x13蘊(yùn)涵定義律注意：如果前提中有聯(lián)言命題，那么聯(lián)言命題就做為形式證明的出發(fā)點(diǎn)。形式證明的方法，不但能證明推理的有效性，而且還可以在已知的前提下推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論。例5

一天夜里，某百貨商店被竊，經(jīng)偵查了解到并確認(rèn)以下情況：①盜竊者或者是甲(p)，或者是乙(q)。②如果甲是盜竊者，那么作案時(shí)間不在零點(diǎn)之前(r)。③零點(diǎn)時(shí)該商店的燈滅了(s)，而甲此時(shí)尚未回家(t)。④若乙的陳述是真的(u)，則作案時(shí)間在零點(diǎn)之前。⑤只有零點(diǎn)時(shí)刻該商店燈未滅，乙的陳述才是撒謊。問(wèn)：誰(shuí)是盜竊者？將前提符號(hào)化為：pq,pr,st,ur,su運(yùn)用形式證明推導(dǎo)如下：

1.pq前提

2.pr前提

3.st前提

4.ur前提

5.su前提

6.s3分解式

7.u5、6肯前式

8.r4、7肯前式

9.p2、8否后式

10.q1、9否肯式例6下面是一起殺人案的審訊記錄：偵查員：你剛才說(shuō)的都是實(shí)話嗎？受審者：是的，全是實(shí)話。偵查員：你再重復(fù)一遍。受審者：因?yàn)槟翘熘挥袕埲?p)和李四(q)到過(guò)死者的房間，殺人的肯定在他們之中。要是張三殺了人，他就會(huì)偽造現(xiàn)場(chǎng)(r)。要是當(dāng)時(shí)我在現(xiàn)場(chǎng)(s)，我也會(huì)被殺死(t)。除非我在現(xiàn)場(chǎng)，張三不會(huì)偽造現(xiàn)場(chǎng)。我知道的就這些，殺人犯是張三。問(wèn)：受審者說(shuō)的是否都是真話？將前提符號(hào)化為：pq,pr,st,sr,t根據(jù)上述前提作形式證明：

1.pq前提

2.pr前提

3.st前提

4.sr前提

5.t前提

6.s3、5否后式

7.r4、6否前式

8.p2、7否后式

9.q1、8否肯式從已知前提中導(dǎo)出結(jié)論：殺人者不是張三而是李四，所以受審者講的不全是真話。注意：1、充分利用已知條件。2、正確理解自然語(yǔ)言，熟練轉(zhuǎn)換符號(hào)語(yǔ)言。由自然語(yǔ)言翻譯成人工語(yǔ)言應(yīng)注意的問(wèn)題：1.“只要p就q”不同于“只有p才q”2.“或者p或者q”不同于“要么p要么q”3.“甲、乙兩人必須一個(gè)上場(chǎng)，一個(gè)不上場(chǎng)”不同于“甲、乙不同時(shí)上場(chǎng)”4.“甲、乙兩人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律”5.“并非如果買(mǎi)了股票就能發(fā)財(cái)”不同于“如果不買(mǎi)股票就不能發(fā)財(cái)”6.“除非p才q”，“除非p不q”不同于“只有p才不q”7.“甲、乙、丙三人去兩人”8.“甲、乙都去或者甲、乙都不去”9.“即使甲去乙也不去”10.“你聽(tīng)從地不是蘇格拉底，而是更多地在聽(tīng)從真理”不同于“你不是在圖書(shū)館，就是在去圖書(shū)館的路上”條件證明p→(q→r)?p∧q→r

p┣q→rp（前提集合）

q假設(shè)前提

...rq→r

若前提集合p加上假設(shè)前提q能推出r，則前提集合p必然能推出q→r。

例7p∨?q,?r→?p┣q→r1. p∨?q前提2.?r→?p前提3.q假設(shè)前提4.p1、3否肯式5.r2、4否后式6.q→r3-5條件證明例8請(qǐng)用形式證明的方法，證明下列推理的形式有效（不可使用簡(jiǎn)化真值表方法）

pq,rs,tr,(tp)┣qs證一：

1.pq前提

2.rs前提

3.tr前提

4.(tp)前提

5.tp4德摩根律

6.tp5蘊(yùn)涵定義律

7.rt3蘊(yùn)涵逆蘊(yùn)涵交換律

8.pq1蘊(yùn)涵定義律

9.rq6、7、8假言連鎖

10.qr9假言易位

11.rs2蘊(yùn)涵定義律

12.qs10、11假言連鎖

注意:如果給定的前提中沒(méi)有聯(lián)言命題,那么把析取式轉(zhuǎn)換成蘊(yùn)涵式,再利用假言連鎖進(jìn)行推理。證二：1.pq前提2.rs前提3.tr前提4.(tp)前提5.q假設(shè)前提6.p1、5否肯式7.tp4德摩根律8.t6、7否肯式9.r3、8否前式10.s2、9否肯式11.qs5—10條件證明

間接證明（歸謬證明）

p（前提集合）

?q假設(shè)前提

...r∧?rq

若前提集合p加上假設(shè)前提?q能推出r∧?r，那么就必然證明假設(shè)前提?q為假，從而間接證明了推理的結(jié)論q。例9p∨q,q→r∧s,r∨p→t

┣t1.

p∨q前提2.q→r∧s前提3.r∨p→t

前提4.?t假設(shè)前提5.?(r∨p)3、4否后式6.?r∧?p5德摩根律7.?p6分解式8.q1、7否后式9.r∧