哈工程3系自控原理Bchap4

第四章線性系統(tǒng)根軌跡法穩(wěn)定性動(dòng)態(tài)性能即閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)特征方程的根引言問題：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何求??！閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)在復(fù)平面的位置決定，因此，分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)確定出閉環(huán)極點(diǎn)位置是十分有意義的。根軌跡法：根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)求出閉環(huán)極點(diǎn)（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。

一、根軌跡的基本概念【根軌跡】開環(huán)傳遞函數(shù)某一參數(shù)（如開環(huán)增益）從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式的根（閉環(huán)極點(diǎn)）在［s］平面上行走的軌跡。根軌跡是系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)的集合。例1：設(shè)有一單位負(fù)反饋的二階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函為K－開環(huán)增益(1)將G(s)轉(zhuǎn)化為零極點(diǎn)形式：K*=2K－根軌跡增益(2)求開環(huán)極點(diǎn)：s1=0，s2=－2。(3)求閉環(huán)極點(diǎn)：

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式：s1,s2與K*有關(guān)

K=0→∞,閉環(huán)極點(diǎn)s1,s2在在[s]平面上的變化規(guī)律如右圖所示。粗實(shí)線為系統(tǒng)的根軌跡,箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)。KK*s1s2000-20.250.5-0.3-1.70.51-1-112-1+j-1-j2.55-1+j2-1-j2∞∞-1+j∞-1-j∞二、性能分析1、當(dāng)K＝0→∞，根軌跡都分布在s平面的左半部，所有K值都是穩(wěn)定的。2、分析高階系統(tǒng)的根軌跡時(shí)，根軌跡有可能越過虛軸進(jìn)入s右半平面，3、根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值就是臨界開環(huán)增益。穩(wěn)定性分析動(dòng)態(tài)性能分析0<K<0.5，閉環(huán)極點(diǎn)位于實(shí)軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期單調(diào)上升過程；

K=0.5，兩個(gè)閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)重合，系統(tǒng)為臨界阻尼，單位階躍響應(yīng)仍為非周期過程；但響應(yīng)速度比0<K<0.5時(shí)快；

K>0.5時(shí)，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼震蕩過程。穩(wěn)態(tài)性能分析開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，一型系統(tǒng)；在斜坡輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差＝1/K。

如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點(diǎn)位置的容許范圍。

三、閉環(huán)零極點(diǎn)與開環(huán)零極點(diǎn)之間的關(guān)系

一般情況下，前向通路傳遞函數(shù)G(s)可表示為：

為前向通路增益；為前向通路根軌跡增益。反饋通路傳遞函數(shù)H(s)可表示為：

為反饋通路根軌跡增益。則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：稱為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。

對(duì)于有

m

個(gè)開環(huán)零點(diǎn)和n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng)，必有mG+mH=m和nG+nH=n

。則：閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系3)閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及開環(huán)根軌跡增益K*

均有關(guān)。1)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對(duì)單位反饋系統(tǒng)而言，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2)閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路零點(diǎn)與反饋通路極點(diǎn)組成。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)就是開環(huán)零點(diǎn)。（不隨K*變化，不必專門研究

）四、繪制根軌跡的依據(jù)

根軌跡方程1±G(s)H(s)＝0閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：G(s)——反饋系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)；H(s)——反饋系統(tǒng)主反饋通道傳遞函數(shù)；G(s)H(s)——反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)?！埃必?fù)反饋系統(tǒng)；“－”正反饋系統(tǒng)；常規(guī)根軌跡:根軌跡增益變化所對(duì)應(yīng)的軌跡。廣義根軌跡:其他參數(shù)變化所對(duì)應(yīng)的軌跡。繪制根軌跡的依據(jù):寫成復(fù)平面內(nèi)指數(shù)形式：s所滿足的條件為：幅值條件：|G(s)H(s)|=1聯(lián)解幅值條件和相角條件方程求解根軌跡方程。G(s)H(s)＝－1|G(s)H(s)|ej∠G(s)H(s)=1×ej(2k+1)

k=0,1,2…相角條件：∠G(s)H(s)=(2k+1)k=0,1,2…將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下零、極點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)形式：此時(shí)，幅值條件相角條件式中――可變參數(shù)，稱參變量，根軌跡增益。pi――系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)

zi――系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)幅值方程不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。注意：【結(jié)論】凡是同時(shí)滿足相角條件和幅值條件的復(fù)數(shù)s＝閉環(huán)特征方程式的根；根軌跡包含參變量K在0→∞范圍內(nèi)變化時(shí)特征方程的全部根，所以在s平面上只要能滿足相角條件的點(diǎn)si，都是對(duì)應(yīng)一定參變量Ki的系統(tǒng)特征方程的根。

繪制根軌跡的依據(jù)（充分必要條件）：

在s平面上，凡能滿足相角條件，就是閉環(huán)特征方程式的根。例1

S213例2單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)

P1=0

負(fù)實(shí)軸上點(diǎn)s1s2=-1-j負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn)！

負(fù)實(shí)軸外的點(diǎn)都不是根軌跡上的點(diǎn)！例3設(shè)有一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:1)利用幅角條件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O120O解:滿足幅角條件的點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn),所以檢驗(yàn)點(diǎn)s1=-1.5+j2.5是否在根軌跡上;

并確定與其相對(duì)應(yīng)

值.

2)由幅值條件求s1相對(duì)應(yīng)的

值=12.15五、常規(guī)根軌跡的繪制法則繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡方程：

G(s)H(s)＝－1充分必要條件：滿足相角條件幅值條件：相角條件：<規(guī)則一>根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)=D(s)的階數(shù)=Max(n,m)=特征根的個(gè)數(shù)n條分支閉環(huán)特征方程根的數(shù)目就等于m和n中的大者，所以根軌跡的分支數(shù)必與開環(huán)有限零、極點(diǎn)數(shù)中的大者相同。<規(guī)則二>根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性根軌跡是連續(xù)的：參變量k從0到∞連續(xù)變化；特征方程的某一系數(shù)連續(xù)變化；特征方程的根連續(xù)變化。根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸：特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根：實(shí)數(shù)＋共軛復(fù)數(shù)根根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸<規(guī)則三>根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起點(diǎn)：起始于開環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)＝開環(huán)極點(diǎn)終點(diǎn)：終止于開環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)＝開環(huán)零點(diǎn)如果m<n,一共有n條根軌跡，其中：m條趨向于開環(huán)零點(diǎn)n-m條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。<規(guī)則四>根軌跡的漸近線隨參變量K*＝0→∞,n-m條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。漸近線：

――n-m條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處的方位。漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)――漸近線與實(shí)軸夾角――(k=0,1,2,…，n-m-1)可以證明：所有的漸進(jìn)線共同交實(shí)軸于一點(diǎn)(σa，j0)約定：相角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。例：1零極點(diǎn)：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四條根軌跡3漸近線：n-m=3條k=060°k=1180°k=2300°或者-60°<規(guī)則五>實(shí)軸上的根軌跡確定實(shí)軸上那一段屬于根軌跡上的點(diǎn)1零極點(diǎn)：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四條根軌跡3漸近線：n-m=3條k=060°k=1180°k=2300°或者-60°對(duì)于S1：s1是根軌跡實(shí)軸上的點(diǎn)。對(duì)于S2：s2不是根軌跡實(shí)軸上的點(diǎn)。結(jié)論：

共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)確定實(shí)軸上的根軌跡無影響。規(guī)則五：在實(shí)軸上任取一點(diǎn)，若在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)極點(diǎn)與開環(huán)實(shí)零點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)，則該點(diǎn)所在線段構(gòu)成實(shí)軸上的根軌跡。例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。[-2，-1]右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=3[-6，-4]右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù)=7<規(guī)則六>根軌跡的分離點(diǎn)與分離角

分離點(diǎn)：根軌跡分支離開實(shí)軸進(jìn)入復(fù)平面時(shí)的點(diǎn)。

會(huì)合點(diǎn)：根軌跡分支由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時(shí)的點(diǎn)。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)==特征方程的實(shí)數(shù)重根。分離角為：分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解：顯然，當(dāng)l＝2時(shí)，分離角必為直角。會(huì)合點(diǎn)Convergingpoint分離點(diǎn)Breakawaypoint一般情況下，兩個(gè)極點(diǎn)間的根軌跡上必有一個(gè)分離點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)間的根軌跡上必有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)。在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)處，根軌跡分支與實(shí)軸垂直。根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間，其中一個(gè)可以是無限極點(diǎn)，則在這兩個(gè)極點(diǎn)之間會(huì)有一個(gè)分離點(diǎn)；根軌跡位于實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間，其中一個(gè)可以是無限零點(diǎn)，則在這兩個(gè)零點(diǎn)之間會(huì)有一個(gè)會(huì)合點(diǎn)?！咎攸c(diǎn)】例1sys=tf([14],[120]);rlocus(sys)例2Z1=-2P1=-1+jP2=-1-jsys=tf([12],[122]);pzmap(sys)rlocus(sys)<說明>由兩個(gè)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)或復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的圓。例3<規(guī)則七>根軌跡的起始角與終止角起始角：當(dāng)開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)處于復(fù)平面時(shí)，根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，以標(biāo)記。終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，以標(biāo)記在無限靠近待求起始角(或終止角)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)pi(或復(fù)數(shù)零點(diǎn)zj)的根軌跡上取一點(diǎn)s1。根據(jù)s1滿足的相角條件，有：得到：<注意：>

開環(huán)復(fù)極點(diǎn)或復(fù)零點(diǎn)都是共軛，所以入射角、出射角都有兩個(gè)±θ。例4<規(guī)則八>根軌跡與虛軸的交點(diǎn)代入到閉環(huán)特征方程式D(s)中令臨界穩(wěn)定點(diǎn)根軌跡與虛軸相交，即閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上，反饋系統(tǒng)特征方程有純虛根。方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：當(dāng)當(dāng)[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和。方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程的根。<規(guī)則九>閉環(huán)極點(diǎn)的和與積閉環(huán)極點(diǎn)的特征方程式：其根為s1,s2,s3,…sn（1）（2）比較（1）和（2），得到k＝0→∞變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)隨之變化，但是他們的和不變；如果一部分根軌跡分支向左移動(dòng)，那么另一部分必然向右移動(dòng)?！菊f明】：

對(duì)于穩(wěn)定的反饋系統(tǒng)，根據(jù)勞斯判據(jù)，代入上式，求得系統(tǒng)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)

為將已知對(duì)應(yīng)的參變量的值：例已知兩根求另一根。<規(guī)則十>開環(huán)增益的求取根軌跡分支上的某點(diǎn)sl，求對(duì)應(yīng)的根軌跡增益kl幅值條件：繪制根軌跡的十個(gè)規(guī)則：<規(guī)則一>根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)＝特征方程的階數(shù)n＝閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)目

＝開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目<規(guī)則二>根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性根軌跡是連續(xù)的，并對(duì)稱于實(shí)軸<規(guī)則三>根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)起始于開環(huán)極點(diǎn)終止于開環(huán)零點(diǎn)另外，n-m條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。<規(guī)則四>根軌跡的漸近線漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)――漸近線與實(shí)軸夾角――(k=0,1,2,…，n-m-1)<規(guī)則五>實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)鈾上任取一點(diǎn)，若在其右側(cè)的開環(huán)實(shí)極點(diǎn)與開環(huán)實(shí)零點(diǎn)的總數(shù)為奇數(shù)，則該點(diǎn)所在線段構(gòu)成實(shí)鈾上的根軌跡。<規(guī)則六>根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)

分離點(diǎn)：根軌跡分支離開實(shí)軸進(jìn)入復(fù)平面時(shí)的點(diǎn)。

會(huì)合點(diǎn)：根軌跡分支由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時(shí)的點(diǎn)。<規(guī)則七>根軌跡的起始角與終止角起始角：當(dāng)開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)處于復(fù)平面時(shí)，根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，以標(biāo)記。終止角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，以標(biāo)記臨界穩(wěn)定點(diǎn)<規(guī)則八>根軌跡與虛軸的交點(diǎn)<規(guī)則九