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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),滿足約束條件,若的最大值為,則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A.60 B.80 C.90 D.1202.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.3.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則()A.12 B.11 C.6 D.35.若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.206.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.7.已知向量,滿足,在上投影為,則的最小值為()A. B. C. D.8.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點(diǎn)圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點(diǎn)圖可知與的相關(guān)關(guān)系為()A.正相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為B.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為C.負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為D.正相關(guān),相關(guān)負(fù)數(shù)的值為9.在正方體中,點(diǎn),,分別為棱,,的中點(diǎn),給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.310.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.11.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.212.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.14.假設(shè)10公里長跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為________.15.若實(shí)數(shù),滿足,則的最小值為__________.16.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.18.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.19.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對的邊分別為,且,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請說明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是邊長為2的菱形,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱DC,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證:(1)直線平面EFG;(2)直線平面SDB.22.(10分)已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到,再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,故表示直線與截距的倍,根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),的最大值為,故.展開式的通項(xiàng)為:,取得到項(xiàng)的系數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值,二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2.B【解析】
由三視圖判斷出原圖,將幾何體補(bǔ)形為長方體,由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑,進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),然后轉(zhuǎn)化求解,即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,令,由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)(時(shí)有三個(gè),時(shí)有兩個(gè)),所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根(若有兩個(gè)根,則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根),由,可得的值分別為,則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于??碱}型.5.B【解析】
化簡得到,再計(jì)算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6.C【解析】
試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,即可得到結(jié)論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價(jià)于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點(diǎn):不等式的應(yīng)用點(diǎn)評:本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題7.B【解析】
根據(jù)在上投影為,以及,可得;再對所求模長進(jìn)行平方運(yùn)算,可將問題轉(zhuǎn)化為模長和夾角運(yùn)算,代入即可求得.【詳解】在上投影為,即又本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的運(yùn)算,對于含加減法運(yùn)算的向量模長的求解,通常先求解模長的平方,再開平方求得結(jié)果;解題關(guān)鍵是需要通過夾角取值范圍的分析,得到的最小值.8.C【解析】
根據(jù)正負(fù)相關(guān)的概念判斷.【詳解】由散點(diǎn)圖知隨著的增大而減小,因此是負(fù)相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負(fù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系,考查正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的區(qū)別.掌握正負(fù)相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).9.C【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的方法對四個(gè)命題逐一分析,由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實(shí)數(shù)使,故不成立,故②錯(cuò)誤.③,,,故平面不成立,故③錯(cuò)誤.④,,設(shè)和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.10.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.11.C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積,再計(jì)算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個(gè)等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
對函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù),數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),,等價(jià)于函數(shù)恰有兩個(gè)公共點(diǎn),作出大致圖象:要有兩個(gè)交點(diǎn),即,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于對函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形,等價(jià)轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合求解.14.【解析】
分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問題,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由約束條件先畫出可行域,然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當(dāng)平行線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取到最小值,由可得,此時(shí),所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識,解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標(biāo)函數(shù),結(jié)合圖形求出最值,需要掌握解題方法.16.【解析】
先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡,然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.第(Ⅰ)問,對求導(dǎo),再對a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構(gòu)造函數(shù)=(),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當(dāng)時(shí),<0,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),>0,單調(diào)遞增.(Ⅱ)令=,則=.當(dāng)時(shí),>0,所以,從而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),當(dāng)時(shí),>0.當(dāng),時(shí),=.故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí),必有.當(dāng)時(shí),>1.由(Ⅰ)有,而,所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí),令=().當(dāng)時(shí),=.因此,在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)?0,所以當(dāng)時(shí),=>0,即>恒成立.綜上,.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力.求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求,解方程,再通過的正負(fù)確定的單調(diào)性;要證明不等式,一般證明的最小值大于0,為此要研究函數(shù)的單調(diào)性.本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎,學(xué)生不易想到,有一定的難度.18.(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)求得的導(dǎo)函數(shù),對分成兩種情況,討論的單調(diào)性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,利用差比較法,計(jì)算,通過構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得,進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由解得或,∵是增函數(shù),∴此時(shí)在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)由(1)知.,,,不妨設(shè),∴,,令,∴,∴在上是減函數(shù),,∴,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19.(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)運(yùn)用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得因此,那么【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.(1)答案見解析(2)【解析】
(1)假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于,根據(jù)相切可得方程組,看方程是否有解即可;(2)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè)(),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無實(shí)數(shù)解.故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(shè)(),恒大于零.在上單調(diào)遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時(shí),時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,無極值,不合題意.②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在處取得極大
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