線性多變量系統(tǒng)(鄭大鐘) 第1篇 時(shí)域理論

線性多變量系統(tǒng)選用教材：鄭大鐘線性系統(tǒng)理論清華大學(xué)出版社教學(xué)參考書：陳啟宗著線性系統(tǒng)理論與設(shè)計(jì)科學(xué)出版社何關(guān)鈺著線性控制系統(tǒng)理論遼寧人民出版社第一章緒論第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性第五章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論第一章緒論

1.1系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象系統(tǒng):是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個(gè)“整體”系統(tǒng)具有如下3個(gè)基本特征:

(1)整體性

(2)抽象性

作為系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象,系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理,自然和社會(huì)含義,而把它抽象為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究.(3)相對(duì)性

在系統(tǒng)的定義中,所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對(duì)屬性1/3,1/51+1>2動(dòng)態(tài)系統(tǒng):所謂動(dòng)態(tài)系統(tǒng),就是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間演化的一類系統(tǒng)——?jiǎng)恿W(xué)系統(tǒng)系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分類從機(jī)制的角度從特性的角度從作用時(shí)間類型的角度uxy2/3,2/5線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng),其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理.若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L系統(tǒng)模型是對(duì)系統(tǒng)或其部分屬性的一個(gè)簡化描述①系統(tǒng)模型的作用②模型類型的多樣性③數(shù)學(xué)模型的基本性④建立數(shù)學(xué)模型的途徑⑤系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則3/3,3/51.2線性系統(tǒng)理論的基本概貌線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科主要內(nèi)容:數(shù)學(xué)模型→分析理論→綜合理論發(fā)展過程:經(jīng)典線性系統(tǒng)理論,現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論主要學(xué)派:狀態(tài)空間法幾何理論把對(duì)線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問題,并采用幾何語言來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合代數(shù)理論把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問題多變量頻域方法1/2,4/51.3本書的論述范圍

1：狀態(tài)空間法2：多項(xiàng)式矩陣法2/2,5/5第一部分:線性系統(tǒng)時(shí)間域理論

第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間

線性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時(shí)間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述1/4,1/50(1).系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作為輸出—輸入描述例如.對(duì)SISO線性定常系統(tǒng):時(shí)間域的外部描述:復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程表征,——狀態(tài)方程和輸出方程(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較一般的說外部描述只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分.內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性.2/4,2/50狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義狀態(tài)變量組:狀態(tài)

一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組所組成的一個(gè)列向量一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組狀態(tài)空間

狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個(gè)集合,狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù)幾點(diǎn)解釋（1）狀態(tài)變量組對(duì)系統(tǒng)行為的完全表征性只要給定初始時(shí)刻t0的任意初始狀態(tài)變量組和t≥t0各時(shí)刻的任意輸入變量組那么系統(tǒng)的任何一個(gè)內(nèi)部變量在t≥t0各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)行為也就隨之而完全確定3/4,3/50(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征：少一個(gè)不行，多一個(gè)不多(3).狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征：線性無關(guān)極大變量組

(4).狀態(tài)變量組的不唯一性(5).系統(tǒng)任意兩個(gè)狀態(tài)變量組之間的關(guān)系(6)有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng)(7)狀態(tài)空間的屬性狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)向量空間Rn4/4,4/502.2線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例以上方程可表為形如描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。1/7,5/50機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例上式可表為形如2/7,6/50連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)3/7,7/50連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖4/7,8/50人口分布問題狀態(tài)空間描述的列寫示例假設(shè)某個(gè)國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村,2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個(gè)國家的人口的自然增長率為1%設(shè)k為離散時(shí)間變量,x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口,u(k)為第k年所采取的激勵(lì)性政策控制手段,設(shè)一個(gè)單位正控制措施可激勵(lì)5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個(gè)單位負(fù)控制措施會(huì)導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市,y(k)為第k年全國人口數(shù)寫成矩陣形式5/7,9/50離散時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)6/7,10/50狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性二是:描述方程的線性屬性三是:變量取值時(shí)間的離散屬性離散時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖7/7,11/502.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類

線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為向量函數(shù)若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)

若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

對(duì)于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)1/2,12/50時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)

若向量f,g顯含時(shí)間變量t,即該系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng)

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過程為時(shí)間的不連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng).確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)稱一個(gè)系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化的.稱一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量

2/2,13/502.4由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述

由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述對(duì)于單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng),其微分方程描述其傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為1/18,14/50結(jié)論1給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形設(shè)2/18,15/50可見3/18,16/50令有4/18,17/50(2)m<n,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形寫成矩陣形式：5/18,18/50結(jié)論2給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=0情形此時(shí)輸入輸出描述為:選取n個(gè)狀態(tài)變量6/18,19/50其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:7/18,20/50(2)m≠0情形此時(shí)輸入輸出描述為:a:8/18,21/50其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其中9/18,22/50b:改寫為令10/18,23/50結(jié)論3給定單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：其極點(diǎn)即分母方程的根為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1)m<n，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為11/18,24/50(2)m=n，即系統(tǒng)為真情形令對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：12/18,25/50由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述例1

設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述解上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：13/18,26/50寫成矩陣形式例2

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。14/18,27/50解可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫出變量之間的關(guān)系15/18,28/50寫成矩陣形式16/18,29/50也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為e11e13e12e2e3可寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為17/18,30/50例3

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)方程為18/18,31/502.5線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)

特征多項(xiàng)式

連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)特征多項(xiàng)式均為實(shí)常數(shù)(2)特征方程式(3)凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理1/6,32/50(4)最小多項(xiàng)式的各個(gè)元多項(xiàng)式之間互質(zhì)定義Φ(s)為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式Φ(s)也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即Φ(A)=0，是滿足凱萊-哈密爾頓定理的次數(shù)最小的首1多項(xiàng)式。(5)系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式α(s)和最小多項(xiàng)式Φ(s)之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。(6)特征多項(xiàng)式的計(jì)算2/6,33/50①基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法②基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法3/6,34/50特征值(1)特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。(3)特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)(4)特征值類型系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型4/6,35/50(5)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)(Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中對(duì)應(yīng)該特征值的所有Jordan塊的階數(shù)之和)代數(shù)重?cái)?shù)σi代表特征值集Λ中值為λi的特征值個(gè)數(shù)(6)特征值的幾何重?cái)?shù)(Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中對(duì)應(yīng)該特征值的Jordan塊的個(gè)數(shù))(7)特征值重?cái)?shù)和類型的關(guān)系對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若λi∈A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)σi和幾何重?cái)?shù)αi之間必有特征向量和廣義特征向量

5/6,36/50對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若λi∈A為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)σi和幾何重?cái)?shù)αi之間必有(1)特征向量的幾何特性(2)特征向量的不唯一性(3)單特征值所屬特征向量的屬性對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{λ1、λ2、…λn}的相應(yīng)一組特征向量{v1、v2、…vn}為線性無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值{λ1、λ2、…λn}為兩兩互異。廣義特征向量對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)λi為n×n維系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)σi重特征值，則6/6,37/50結(jié)論4

特征值為兩兩互異的情形2.6狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形對(duì)n個(gè)特征值{λ1、λ2、…λn}兩兩互異的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于n個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣p=[v1、v2、…vn]，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換而化為約當(dāng)規(guī)范形包含復(fù)數(shù)特征值情形的對(duì)角線規(guī)范形（略）1/3,38/50結(jié)論5

特征值包含重值的情形對(duì)包含重特征值的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形：2/3,39/50Jordan塊的個(gè)數(shù)等于特征值個(gè)數(shù)l其中，Ji為相應(yīng)于特征值λi的約當(dāng)塊：3/3,40/50Ji的維數(shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)σi，包含幾何重?cái)?shù)αi個(gè)Jordan小塊所有Jordan小塊的階數(shù)之和等于代數(shù)重?cái)?shù)σiJi為對(duì)角線矩陣的充要條件是相應(yīng)于特征值λi的代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù)；整個(gè)Jordan規(guī)范型為對(duì)角矩陣的充要條件是所有特征值的代數(shù)重?cái)?shù)=幾何重?cái)?shù)；2.7由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣定義：單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中1/4,41/50(1)G(s)的函數(shù)屬性傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的q×p有理分式矩陣。(2)G(s)的真性和嚴(yán)真性當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的(3)G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式(4)G(s)的極點(diǎn)G(s)的極點(diǎn)定義為方程式的根2/4,42/50(5)G(s)的循環(huán)性若稱G(s)是循環(huán)的(6)G(s)正則性和奇異性G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則設(shè)G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為αG(s)，A的特征多項(xiàng)式為α(s)，若必有若系統(tǒng)能控能觀測，則表G(s)的極點(diǎn)集合ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，則ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測，則ΛG=Λ。3/4,43/50結(jié)論7

G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式令則4/4,44/502.8線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性結(jié)論8坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的表征。坐標(biāo)變換的幾何含義和代數(shù)表征線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為引入坐標(biāo)變換則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為1/3,45/50結(jié)論9

線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個(gè)同維線性時(shí)不變系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系統(tǒng)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系。代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測性等。2/3,46/50結(jié)論10

線性時(shí)變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為3/3,47/50，2.9組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣設(shè)子系統(tǒng)并聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件1/3,48/50并聯(lián)后子系統(tǒng)串聯(lián)

兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：串聯(lián)后2/3,49/50

子系統(tǒng)反饋聯(lián)接設(shè)兩個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是反饋聯(lián)接后3/3,50/50第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析3．1引言從數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。解的存在性和唯一性條件

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間[t0,tα]上為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為：①系統(tǒng)矩陣A(t)的各個(gè)元aij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為絕對(duì)可積，即：②輸入矩陣B(t)的各個(gè)元bij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：1/2,1/29③輸入u(t)的各個(gè)元uk(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上絕對(duì)可積。2/2,2/29②輸入矩陣B(t)的各個(gè)元bij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：3．2連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程結(jié)論1.系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式其中若初始時(shí)間取為t0≠0則1/12,3/29矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

（4）設(shè)A和F為兩個(gè)同維可交換方陣，即AF=FA則有2/12,4/29矩陣指數(shù)函數(shù)的算法

1：定義法2：特征值法1）若則2）若則3/12,5/293）若其中則其中4/12,6/29例5/12,7/29例

6/12,8/293：有限項(xiàng)展開法設(shè)λ1、λ2、…λn為A的n個(gè)互異特征值而從中可求出α1、α2、…αn若λi為l重特征值，則相應(yīng)的l個(gè)方程為7/12,9/29例

令8/12,10/294：預(yù)解矩陣法系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為有表達(dá)式對(duì)初始時(shí)刻t0=0情形有表達(dá)式9/12,11/29基于特征結(jié)構(gòu)的狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為A的屬于λ1λ2…λn線性無關(guān)右特征向量組A的屬于λ1λ2…λn線性無關(guān)左特征向量組λ1λ2…λn為A的n個(gè)兩兩相異的特征值右特征向量矩陣10/12,12/29結(jié)論對(duì)特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的表達(dá)式：左特征向量矩陣顯然11/12,13/29結(jié)論

對(duì)特征值兩兩相異一類n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于特征結(jié)構(gòu)的零輸入響應(yīng)x0u(t)零初態(tài)響應(yīng)x0x(t)以及狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)的表達(dá)式為：12/12,14/293.3連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：基本解陣矩陣方程的解陣稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實(shí)常陣結(jié)論：(1).基本解陣不唯一(2).由系統(tǒng)自治方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。(3).連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣方程（2）的一個(gè)可能的基本解陣為1/7,15/29狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

矩陣方程的解陣ф(t-t0)

稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣ф(t-t0)唯一，與基本解陣的選取無關(guān)。3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式

2/7,16/29狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性3/7,17/29線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出為：假設(shè)初始條件為零，輸入信號(hào)中，ui(t)為單位脈沖信號(hào),其余的輸入信號(hào)為零。即：則輸出為3.4連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣4/7,18/29定義：表hij(t-τ)為第j個(gè)輸入端在時(shí)刻τ加以單位脈沖δ(t-τ)而所有其他輸入為零時(shí)，在第i個(gè)輸出端的脈沖響應(yīng)，對(duì)p維輸入，q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣定義為零初始條件下以脈沖響應(yīng)hij(t-τ)為元構(gòu)成的一個(gè)輸出響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)p維輸入，q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，假設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)在任意輸入u作用下的輸出響應(yīng)y(t)為5/7,19/29脈沖響應(yīng)矩陣和狀態(tài)空間描述

結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(A.B.C.D)，設(shè)初始狀態(tài)為零，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣為結(jié)論：①兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)具有相同的脈沖響應(yīng)矩陣

②兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)具有相同的“輸出零狀態(tài)響應(yīng)”和“輸出零輸入響應(yīng)”。結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)矩陣H(t)和傳遞函數(shù)矩陣G(s)之間有如下關(guān)系：6/7,20/29例

求脈沖響應(yīng)矩陣解

也可以利用傳遞矩陣的拉氏反變換求得7/7,21/293.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，矩陣方程：的解矩陣ф(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程的解矩陣Ψ(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。1/3,22/29結(jié)論：①基本解陣不唯一②對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的任意n個(gè)線性無關(guān)解為列構(gòu)成③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣結(jié)論：①狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一②2/3,23/29狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解脈沖響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)零初始狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)矩陣結(jié)論：對(duì)零初始狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其輸出響應(yīng)為：3/3,24/293.6連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化基本約定

1）對(duì)采樣方式的約定：采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間寬度△比采樣周期T小得多。2）對(duì)采樣周期T大小的約定：滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對(duì)保持方式的約定：零階保持方式基本結(jié)論

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為1/3,25/29其中其中結(jié)論

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中結(jié)論

①時(shí)間離散化屬性：時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變或時(shí)不變屬性②離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異。2/3,26/29例：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。解

3/3,27/293.7離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析不管是時(shí)變差分方程，還是時(shí)不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時(shí)刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個(gè)采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。定義：矩陣方程Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m),Φ(m,m)=I的解陣Φ(k,m)稱為離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程Φ(k+1)=GΦ(k),Φ(0)=I的解陣Φ(k),稱為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：Φ（k,m）=G(k-1)G(k-2)…G(m)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：結(jié)論：①Φ(k,m)非奇異〈==〉G(i),I=m,m+1,…k-1均為非奇異

②Φ(k)非奇異〈==〉G非奇異

③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異。1/2,28/29結(jié)論：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其解為：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其解為定義：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)脈沖傳遞函數(shù)矩陣

定義為零初始條件下，滿足的一個(gè)q×p有理分式矩陣結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為2/2,29/29第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性4．1能控性和能觀測性的定義線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，對(duì)任意給定的一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)，如果在t1>t0的有限時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，存在一個(gè)無約束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的?？梢娤到y(tǒng)的能控性反映了控制矢量u(t)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的控制性質(zhì),與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。定義1/3,1/45能控性，能達(dá)性定義

對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果存在一個(gè)時(shí)刻以及一個(gè)無約束的容許控制u(t)使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J,t1>t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。能控性，能達(dá)性定義

對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果存在一個(gè)時(shí)刻以及一個(gè)無約束的容許控制u(t)使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J,t1>t0,以及一個(gè)無約束的容許控制u(t),t∈[t0,t1],使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf≠0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。*對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0∈J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。2/3,2/45定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0∈J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)指定初始時(shí)刻t0∈J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0∈J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，或系統(tǒng)在任意初始時(shí)刻t0∈J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致完全能控/能達(dá)。能觀測性定義對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)和指定初始時(shí)刻t0∈J,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1∈J，t1>t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測；如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測；如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測；如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測，即能觀測性與初始時(shí)刻t0的選取無關(guān)，則稱系統(tǒng)為一致完全能觀測。該系統(tǒng)是不完全能觀測的由于可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測性與x(t0)的能觀測性是等價(jià)的。3/3,3/454．2連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣證明

充分性為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控說明系統(tǒng)是能控的1/8,4/45反證法必要性是奇異的，且系統(tǒng)能控，看能否導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。由于是奇異的，故的行向量在[t0,t1]上線性相關(guān)，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]區(qū)間成立，若選擇非零的初始狀態(tài)x(t0)=αT,則說明α=0,矛盾2/8,5/45結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：為非奇異。結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使3/8,6/45結(jié)論4

對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣滿秩，即rankQc=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：rank[SI-A∶B]=n,或?yàn)橄到y(tǒng)特征值結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值λi，使同時(shí)滿足αTA=λi

αT，αTB=0的左特征向量αT=0。4/8,7/45結(jié)論7：對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。結(jié)論8：對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：①特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。②特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無關(guān)。5/8,8/45例

圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件解

選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：6/8,9/45（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。例

系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組{bl11、bl12、bl13}線性無關(guān)以及{bl21}線性無關(guān)（即不為零）。7/8,10/45定義：令對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為：μ＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k。結(jié)論9：對(duì)完全能控單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則系統(tǒng)能控性指數(shù)μ＝n。結(jié)論10：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，且rankB=r,則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：8/8,11/454．3連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論1：線性時(shí)變系統(tǒng)在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣為非奇異矩陣結(jié)論2：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是，存在時(shí)刻t1>0，使格拉姆矩陣為非奇異。1/5,12/45結(jié)論3：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義則系統(tǒng)在時(shí)刻t0∈J完全能觀測的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1∈J，t1>t0，,使2/5,13/45結(jié)論4

對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為能觀測性判別矩陣滿秩，即rankQo=n結(jié)論5n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：或?yàn)橄到y(tǒng)特征值結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足的右特征向量3/5,14/45結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無關(guān)。4/5,15/45結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足的右特征向量定義：令完全能觀測n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)定義為υ＝使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)。結(jié)論9：對(duì)完全能觀測單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測性指數(shù)為υ＝n。結(jié)論10：對(duì)完全能觀測多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則設(shè)為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則結(jié)論11：對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：5/5,16/454.4離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)

時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù)定義

離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)如果對(duì)初始時(shí)刻h∈Jk和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到原點(diǎn)，即有X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控；如果對(duì)初始時(shí)刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時(shí)刻l∈Jk,l>h和對(duì)應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻l∈Jk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)。結(jié)論1離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異1/8,17/45結(jié)論2若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)一個(gè)或一些k∈[h,l-1]奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有k∈[h,l-1]非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。2/8,18/45結(jié)論1離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l∈Jk,l>h，使格蘭姆矩陣為非奇異時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù)

結(jié)論3離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l>0，使格蘭姆矩陣為非奇異。若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。3/8,19/45結(jié)論4n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。結(jié)論4n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣滿秩若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為rankQkc=n。若系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。結(jié)論5對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。4/8,20/45例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系統(tǒng)是能控的5/8,21/45令

令

若令

無解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。6/8,22/45例

設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=[2,1,0]T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。時(shí)變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)結(jié)論6離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h∈Jk完全能觀測的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l∈Jk,l>h,使格蘭姆矩陣為非奇異時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

結(jié)論7離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l>0,使格蘭姆矩陣為非奇異7/8,23/45結(jié)論8n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為滿秩結(jié)論8n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件為滿秩結(jié)論9若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài)8/8,24/454.5對(duì)偶性定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)其中,狀態(tài)X為n維行向量,協(xié)狀態(tài)Ψ為n維行向量輸入u為p維列向量,輸入η為q維行向量輸出Y為q維列向量,輸出φ為p維行向量結(jié)論10:原構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣與對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣之間滿足如下關(guān)系1/2,25/45結(jié)論11設(shè)Σ為原構(gòu)線性系統(tǒng),Σd為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有Σ完全能控Σd完全能觀測Σ完全能觀測Σd完全能控2/2,26/454.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測性的條件

設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)其中G=eATH=A的特征值結(jié)論12如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測）的。證明用反證法設(shè)連續(xù)系統(tǒng)不能控，而對(duì)于某采樣T離散化后的系統(tǒng)卻是能控的。則rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n1/3,27/45容易驗(yàn)證為可交換陣，故由于eAiT可用I、A、A2、…An-1線性表示，故連續(xù)系統(tǒng)是能控的，矛盾。本定理也可敘述為：如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測）的。2/3,28/45結(jié)論13：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測），則離散化后的系統(tǒng)也能控（能觀測）的必要條件是：不是A的特征值。其中k為非零整數(shù)結(jié)論14對(duì)時(shí)間離散化，使采樣周期T的值則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無關(guān)結(jié)論15連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測的一個(gè)充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值λ1、λ2，不存在非零整數(shù)k，使成立對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。3/3,29/454.7能控性、能觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

結(jié)論16如果A的特征值互不相同，則系統(tǒng)（A、B、C）為能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞矩陣G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消結(jié)論17單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。結(jié)論18單輸入、單輸出系統(tǒng)（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)或是狀態(tài)不能控或是狀態(tài)不能觀測的；若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控且完全能觀測的。證明：單輸入、單輸出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為如果A的特征值互不相同，則一定可利用非奇異線性變換，使A成為對(duì)角陣。即：1/4,30/45

狀態(tài)方程可寫為：在初始條件為零的情況下，拉氏變換得對(duì)輸出方程拉氏變換此式即為傳遞函數(shù)的部分分式2/4,31/45若傳遞函數(shù)存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中應(yīng)缺少相應(yīng)項(xiàng)。如傳遞函數(shù)中相消的零、極點(diǎn)為s-λk，則說明fkγk=0，γk=0，fk≠0系統(tǒng)是不能控的；fk=0，γk≠0，系統(tǒng)是不能觀測的；γk=0，fk=0，系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。若傳遞函數(shù)不存在零、極點(diǎn)對(duì)消，傳遞函數(shù)的部分分式中，應(yīng)有fkγk≠0（k=1、2、…n）系統(tǒng)是既能控又能觀測的。3/4,32/45例設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測的。結(jié)論19如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣的各行在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能控的。（充分必要條件）結(jié)論20如果多輸入、多輸出系統(tǒng)的輸出向量與初始狀態(tài)向量X（0）之間的傳遞矩陣的各列在復(fù)數(shù)域上線性無關(guān)，則系統(tǒng)是能觀測的。（充分必要條件）4/4,33/454．8能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形：SISO情形

結(jié)論21：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測性指數(shù)也保持不變。定義一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能控。這種形式的A、b陣稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形1/5,34/45結(jié)論22：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則通過變換矩陣2/5,35/45可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即導(dǎo)出3/5,36/45定義一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如下形式：則系統(tǒng)一定能觀測，此時(shí)的A、c陣稱為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形結(jié)論23：對(duì)完全能觀測的n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測規(guī)范形可基于線性非奇異變換導(dǎo)出4/5,37/45其中5/5,38/454．9能控規(guī)范形和能觀測規(guī)范形MIMO情形

旺納姆能控規(guī)范形，旺納姆能觀測規(guī)范形龍伯格能控規(guī)范形，龍伯格能觀測規(guī)范形1/1,39/454．10連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

系統(tǒng)按能控性分解

設(shè)不能控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其能控性矩陣的秩為r<n，選出其中r個(gè)線性無關(guān)列，再加任意n-r個(gè)列，構(gòu)成非奇異變換T-1

其中1/6,40/45經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程寫為于是可得能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為2/6,41/45例已知試按能控性進(jìn)行規(guī)范分解解系統(tǒng)不完全能控，取能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為3/6,42/45系統(tǒng)按能觀測性分解

設(shè)不能觀測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其能觀測性矩陣的秩為l<n，選出其中l(wèi)個(gè)線性無關(guān)行，再加任意n-l個(gè)行，構(gòu)成非奇異變換T能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為4/6,43/45系統(tǒng)按能控性和能觀測性的標(biāo)準(zhǔn)分解

設(shè)系統(tǒng)（A、B、C）不能控、不能觀測，可先對(duì)系統(tǒng)按能控性分解，即令再分別對(duì)能控子系統(tǒng)、不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解最后得到5/6,44/45經(jīng)T-1變換后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

能控、能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：能控、不能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控、能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為不能控、不能觀測子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為6/6,45/45第5章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

5．1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性定義：稱一個(gè)系統(tǒng)的外部穩(wěn)定（BIBO）是指對(duì)任何一個(gè)有界輸入u(t),即：‖u(t)‖≤β1<∞的任意輸入u(t)，對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即結(jié)論1：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，t∈[t0,+∞）則t0時(shí)刻系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為，存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使對(duì)一切t∈[t0,+∞)脈沖響應(yīng)矩陣H(t,τ)所有元均滿足關(guān)系式證明考慮SISO情形充分性1/4,1/18必要性采用反證法，即系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，卻存在某個(gè)t1使可以取有矛盾結(jié)論2：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，令t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：存在一個(gè)有限正常數(shù)β，使脈沖響應(yīng)矩陣H(t)所有元均滿足關(guān)系式2/4,2/18結(jié)論3：對(duì)零初始條件p維輸入和q維輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，令初始時(shí)刻t0=0,則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部。定義：稱連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)在t0為內(nèi)部穩(wěn)定，是指由時(shí)刻t0任意非零初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)Xou(t)對(duì)t∈[t0,+∞)有界，并滿足漸近屬性，即：結(jié)論4：設(shè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變自治系統(tǒng)系統(tǒng)在t0時(shí)刻內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ф(t,t0)對(duì)所有t∈[t0,+∞]為有界，并滿足：結(jié)論5：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為或矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，即：Re{λi(A)}<0。3/4,3/18內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系結(jié)論6：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定→BIBO穩(wěn)定，反之不成立。若系統(tǒng)能控且能觀測，則內(nèi)部穩(wěn)定←→BIBO穩(wěn)定。4/4,4/185．2李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性的一些基本概念

李亞普諾夫第一方法：間接法李亞普諾夫第二方法：直接法自治系統(tǒng)：沒有輸入作用的一類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)平衡狀態(tài)：狀態(tài)空間中滿足的一個(gè)狀態(tài)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，如果對(duì)任給一個(gè)實(shí)數(shù)ε>0，都對(duì)應(yīng)存在另一依賴于ε和t0的實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)都滿足不等式：‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε⑴穩(wěn)定的幾何解釋⑵李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定⑶時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定屬性⑷李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)1/2,5/18漸近穩(wěn)定稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為漸近穩(wěn)定，如果ⅰ)Xe=0在時(shí)刻t0為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，ⅱ）對(duì)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0和任給實(shí)數(shù)μ<0，都存在實(shí)數(shù)T(μ,δ,t0)>0使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤μ，不穩(wěn)定

稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)Xe=0在時(shí)刻t0為不穩(wěn)定，如果不管取實(shí)數(shù)ε>0為多么大，都不存在對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)δ(ε,t0)>0，使得滿足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)Φ(t；x0,t0)滿足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的。不管初始偏差有多大，系統(tǒng)總是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)只能有一個(gè)平衡狀態(tài)。為了滿足穩(wěn)定條件，初始偏差有一定限制，則稱系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，若在小范圍穩(wěn)定，則必大范圍穩(wěn)定；若在小范圍漸近穩(wěn)定，則必大范圍漸近穩(wěn)定2/2,6/185．3李亞普諾夫第二方法的主要定理

結(jié)論7：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：?。￢(x,t)正定且有界，即存在兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)α(‖x‖)和β(‖x‖)，α(0)＝0，β(0)＝0，使對(duì)所有t∈[t0,∞)有：β(‖x‖)≥V(x,t)≥α(‖x‖)＞0ⅱ)V(x,t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界。ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x,t)→∞則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論8：對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)X=0為系統(tǒng)平衡狀態(tài)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，V(0)=0，且對(duì)狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)X滿足如下條件：ⅰ）V(x)為正定ⅱ)為負(fù)定ⅲ)當(dāng)‖x‖→∞，有V(x)→∞則系統(tǒng)原點(diǎn)的平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。1/4,7/18例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)，試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性解取一正定的標(biāo)量函數(shù)為一負(fù)定的標(biāo)量函數(shù)，且系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2/4,8/18結(jié)論9[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：V(x,t)為正定且有界；為負(fù)定且有界；則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為一致漸近穩(wěn)定。結(jié)論10[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω滿足如下條件：V(x)為正定；為負(fù)定則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定3/4,9/18結(jié)論11[小范圍漸近穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x),V(0)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω∈滿足如下條件：V(x)為正定；為負(fù)半定對(duì)任意非零x0∈Ω則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0在Ω域內(nèi)為漸近穩(wěn)定結(jié)論12[不穩(wěn)定性定理]對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)變自治系統(tǒng)，若可構(gòu)造對(duì)x和t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，以及圍繞狀態(tài)空間原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū)域Ω，使對(duì)所有非零狀態(tài)x∈Ω和所有t∈[t0,∞)滿足如下條件：（?。￢(x,t)為正定且有界；（ⅱ）為正定且有界；則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為不穩(wěn)定。4/4,10/185．4構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法變量梯度法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，(1)設(shè)V(x)的梯度為(2)設(shè)梯度▽V(x)對(duì)應(yīng)于有勢場，則旋度rot▽V(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)1/3,11/18(6)判斷V(x)計(jì)算結(jié)果的正定性克拉索夫斯基方法設(shè)連續(xù)時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)Xe=0為系統(tǒng)孤立平衡狀態(tài)，系統(tǒng)雅可比矩陣克拉索夫斯基指出：如果存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣B，使對(duì)稱陣S(x)=BF(x)+[BF(x)]T是負(fù)定的，那么平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為：V(x)=fT(x)

Bf(x)則平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。結(jié)論13：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),矩陣A為非奇異，若A+AT為負(fù)定，則原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。2/3,12/18如果例確定平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性解取B=I為對(duì)稱負(fù)定陣，所以平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的3/3,13/185．5連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)

線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)論14[特征值判據(jù)]對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)即x=0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的特征值均具有非正實(shí)部即實(shí)部為零或負(fù)，且零實(shí)部特征值只能為A的最小多項(xiàng)式的單根。結(jié)論15[特征值判據(jù)]對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)x=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部結(jié)論16[李亞普諾夫判據(jù)]對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，對(duì)任給一個(gè)n×n正定對(duì)稱矩陣Q，李亞普諾夫方程ATP+PA=-Q有唯一n×n正定對(duì)稱解陣P。結(jié)論17[李亞普諾夫判據(jù)推廣形式]對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)和任給實(shí)數(shù)σ≥0，令矩陣A特征值為λi(A),i=1,2,…,n，則系統(tǒng)所有特征值均位于s平面的直線－σ＋jω左半開平面上，即成立Reλi(A)<-σ,i=1,2,…,n，的充分必要條件為，對(duì)任給一個(gè)n×n正定對(duì)稱矩陣Q，推廣李亞普諾夫方程2σP＋ATP+PA=-Q有唯一正定解陣P。1/2,14/18線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)結(jié)論18[基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的判據(jù)]對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，表Φ（t,t0）為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0在時(shí)刻t0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，存在依賴于t0的一個(gè)實(shí)數(shù)β(t0)>0，使成立：‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞,

進(jìn)一步，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有t0都存在獨(dú)立實(shí)數(shù)β>0使上式成立，系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0為李亞普諾夫意義下一致穩(wěn)定。結(jié)論19[基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的判據(jù)]對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，表Φ（t,t0）為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)xe=0在時(shí)刻t0是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，存在依賴于t0的一個(gè)實(shí)數(shù)β(t0)>0，使同時(shí)成立：‖Φ(t,t0)‖≤β(t0)<∞,進(jìn)一步，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有t0∈[0,∞]都存在獨(dú)立實(shí)數(shù)β1>0和β2>0使成立：‖Φ(t,t0)‖≤β1e-β2(t-t0）系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)xe=0為一致漸近穩(wěn)定。2/2,15/185．6連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定自由運(yùn)動(dòng)的衰減性能估計(jì)

對(duì)漸近穩(wěn)定的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)衰減系數(shù)定義為最小衰減系數(shù)設(shè)則1/1,16/185．7離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性及其判據(jù)

結(jié)論20[大范圍漸近穩(wěn)定判據(jù)]對(duì)離散時(shí)間非線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，若存在一個(gè)相對(duì)于離散狀態(tài)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k))，使對(duì)任意x(k)∈Ｒn滿足：（ⅰ）V(x(k))為正定；（ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))為負(fù)定；（ⅲ）當(dāng)‖x(k)‖→∞，有V(x(k))→∞。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)即x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。結(jié)論21[大范圍漸近穩(wěn)定判據(jù)]對(duì)離散時(shí)間非線性時(shí)不變系統(tǒng)，若存在一個(gè)相對(duì)于離散狀態(tài)x(k)的標(biāo)量函數(shù)V(x(k))，使對(duì)任意x(k)∈Ｒn滿足：（?。￢(x(k))為正定；（ⅱ）表△V(x(k))＝V(x(k＋1))－V(x(k))，△V(x(k))為負(fù)半定；（ⅲ）對(duì)由任意非零初始狀態(tài)x(0)∈Ｒn確定的所有自由運(yùn)動(dòng)x(k)的軌線，△V(x(k))不恒為零；（ⅳ）當(dāng)‖x(k)‖→∞，有V(x(k))→∞。則原點(diǎn)平衡狀態(tài)即x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。1/2,17/18結(jié)論22[特征值判據(jù)]對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)即xe=0是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件為，G的全部特征值λi(G)（i=1,2,…,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能為G的最小多項(xiàng)式的單根。結(jié)論23[特征值判據(jù)]對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，G的全部特征值的幅值均小于1。結(jié)論24[李亞普諾夫判據(jù)]對(duì)n維離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為，對(duì)任一給定n×n正定對(duì)稱矩陣Q，離散型李亞普諾夫方程GTPG-P=-Q有唯一n×n正定對(duì)稱解陣P。結(jié)論25[擴(kuò)展李亞普諾夫判據(jù)]對(duì)n維離散時(shí)間線性時(shí)不變自治系統(tǒng)，原點(diǎn)平衡狀態(tài)以實(shí)數(shù)σ>0為冪指數(shù)穩(wěn)定，即G的特征值滿足：︱λi(G)︱<σ,0≤σ≤1,i=1,2,…,n的充分必要條件為：對(duì)任一給定n×n正定對(duì)稱矩陣Q，擴(kuò)展離散型李亞普諾夫方程（1/σ）2GTPG-P=-Q有唯一n×n正定對(duì)稱解陣P。2/2,18/18第六章線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合

6．1引言綜合問題的提法系統(tǒng)的綜合問題由受控系統(tǒng)，性能指標(biāo)和控制輸入三個(gè)要素組成所謂系統(tǒng)綜合，就是對(duì)給定受控系統(tǒng)，確定反饋形式的控制，使所導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為達(dá)到或優(yōu)于指定的期望性能指標(biāo)性能指標(biāo)的類型1/1,1/406．2狀態(tài)反饋和輸出反饋

狀態(tài)反饋設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)反饋下受控系統(tǒng)的輸入為：u=--Kx+υ，K∈Rp×n，反饋系統(tǒng)∑xf的狀態(tài)空間描述為：B∫CAK結(jié)論1：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)反饋保持能控性，不保持能觀測性。1/3,2/40輸出反饋設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出反饋下受控系統(tǒng)輸入u=--Fy+υ,F∈Rp×q

B∫CAF輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：結(jié)論2：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸出反饋保持能控性和能觀測性。2/3,3/40狀態(tài)反饋和輸出反饋的比較

反饋原理：狀態(tài)反饋為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的完全反饋，輸出反饋則是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)信息的不完全反饋。反饋功能：狀態(tài)反饋在功能上遠(yuǎn)優(yōu)于輸出反饋。改善輸出反饋的途徑：擴(kuò)展輸出反饋（動(dòng)態(tài)輸出反饋）反饋實(shí)現(xiàn)上，輸出反饋要優(yōu)越于狀態(tài)反饋。解決狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的途徑：引入狀態(tài)觀測器擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)反饋和擴(kuò)展輸出反饋的等價(jià)性。3/3,4/406．3狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置：單輸入情形

極點(diǎn)配置定理對(duì)單輸入n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)系統(tǒng)全部n個(gè)極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件為（A，b）完全能控。極點(diǎn)配置算法step1.判別（A，b）能控性step2.計(jì)算矩陣A特征多項(xiàng)式det(SI-A)=α(s)=Sn+αn-1Sn-1+…+α1S+α0step3.計(jì)算由期望閉環(huán)特征值決定的特征多項(xiàng)式step41/4,5/40step5step6.Q=P-1step7Step8.停止計(jì)算2/4,6/40例1連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變狀態(tài)方程為期望閉環(huán)極點(diǎn)為計(jì)算狀態(tài)反饋陣K解容易判斷系統(tǒng)能控計(jì)算由期望閉環(huán)極點(diǎn)組決定的特征多項(xiàng)式3/4,7/40計(jì)算4/4,8/406．4狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置：多輸入情況

極點(diǎn)配置定理：對(duì)多輸入n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)可通過狀態(tài)反饋任意配置全部n個(gè)極點(diǎn)的充分必要條件為{A,B}完全能控。極點(diǎn)配置算法：給定n維多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng){A,B}和一組任意期望閉環(huán)特征值要求確定一個(gè)p×n狀態(tài)反饋矩陣K，使step1.判斷A的循環(huán)性，若非循環(huán)，選取一個(gè)p×n實(shí)常陣K1，使為循環(huán)；若循環(huán)，表Step2:選取一個(gè)p×1實(shí)常量ρ，有b=Bρ使為完全能控Step3.對(duì)等價(jià)單輸入系統(tǒng)利用單輸入情形極點(diǎn)配置算法，計(jì)算狀態(tài)反饋向量k。Step4.對(duì)A為循環(huán)，K＝ρk對(duì)A為非循環(huán)，K＝ρk＋K11/2,9/40狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣零點(diǎn)的影響結(jié)論：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，引入狀態(tài)反饋任意配置傳遞函數(shù)全部n個(gè)極點(diǎn)的同時(shí)，一般不影響其零點(diǎn)。結(jié)論：對(duì)完全能控n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)反饋在配置傳遞函數(shù)矩陣全部n個(gè)極點(diǎn)同時(shí)，一般不影響其零點(diǎn)。定義：設(shè)完全能控多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)

其傳遞函數(shù)矩陣G(s)=C(SI-A)-1B,G(s)的極點(diǎn)為其特征方程式的根。

零點(diǎn)定義使得

的所有s值

2/2,10/406.5輸出反饋極點(diǎn)配置結(jié)論：對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)采用輸出反饋一般不能任意配置系統(tǒng)全部極點(diǎn)。結(jié)論：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)采用輸出反饋只能使用閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置到根軌跡上，而不能任意配置到根軌跡以外位置上。1/1,11/406.6狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定所謂狀態(tài)鎮(zhèn)定問題就是：對(duì)給定時(shí)間線性時(shí)不變受控系統(tǒng)，找到一個(gè)狀態(tài)反饋型控制律使所導(dǎo)出的狀態(tài)反饋型閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，即系統(tǒng)閉環(huán)特征值均具有負(fù)實(shí)部。結(jié)論：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)不能控部分為為漸近穩(wěn)定結(jié)論：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)可由狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的一個(gè)充分條件是系統(tǒng)完全能控狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定算法：Step1判斷(A.B)能控性，若完全能控，去Step4。Step2對(duì)(A.B)按能控性分解Step3對(duì)能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置Step4計(jì)算鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋矩陣Step5計(jì)算停止。1/1,12/406.7狀態(tài)反饋動(dòng)態(tài)解耦問題的提法：設(shè)多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)