土木工程材料第八章

1§8-4扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形

機(jī)械中的許多構(gòu)件在工作時(shí)往往發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形，而且它們多半是實(shí)心或空心圓截面桿，圖中所示傳動(dòng)軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭－彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。2本節(jié)講述圓截面桿發(fā)生扭－彎組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。

圖a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其AB桿的受力圖如圖b所示。該桿為直徑為d的圓截面桿。3

圖c、d示出了AB桿的彎矩圖（M圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭－彎組合變形情況下不考慮剪力對(duì)強(qiáng)度的影響，故未示出剪力圖（FS圖）。該AB桿的危險(xiǎn)截面為固定端處的A截面。4

危險(xiǎn)截面上彎曲正應(yīng)力在與中性軸C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。

由此可知危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1和C2。由于桿的材料是拉壓許用應(yīng)力相等的塑性材料，C1和C2兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度相同，故只需對(duì)其中的一個(gè)點(diǎn)作強(qiáng)度計(jì)算即可。5

圍繞點(diǎn)C1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應(yīng)力如圖g所示，而6點(diǎn)C1處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其三個(gè)主應(yīng)力為按第三強(qiáng)度理論作強(qiáng)度計(jì)算，相當(dāng)應(yīng)力為(a)按第四強(qiáng)度理論作強(qiáng)度計(jì)算，相當(dāng)應(yīng)力為(b)強(qiáng)度條件為或7究竟按哪個(gè)強(qiáng)度理論計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，在不同設(shè)計(jì)規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭－彎變形的圓截面桿，其危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)處：為便于工程應(yīng)用，將上式代入式(a)、(b)可得：式中，M和T分別為危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的彎曲截面系數(shù)。8

需要注意的是，以上所述對(duì)于傳動(dòng)軸的強(qiáng)度計(jì)算是靜力強(qiáng)度計(jì)算，只能用于傳動(dòng)軸的初步設(shè)計(jì)，此時(shí)[s]的值取得也比較低。事實(shí)上，傳動(dòng)軸由于轉(zhuǎn)動(dòng)，危險(xiǎn)截面任何一點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力是隨軸的轉(zhuǎn)動(dòng)交替變化的。這種應(yīng)力稱(chēng)為交變應(yīng)力（alternatingstress），工程設(shè)計(jì)中對(duì)于在交變應(yīng)力下工作的構(gòu)件另有計(jì)算準(zhǔn)則。9

圖a所示鋼制實(shí)心圓軸其上的兩個(gè)齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪C的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點(diǎn)構(gòu)成的圓）直徑dC=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。已知許用應(yīng)力

[s]=100MPa。試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。例題8-510

將作用在齒輪上的切向力向軸的形心簡(jiǎn)化，傳動(dòng)軸的受力圖如圖b所示，在水平荷載作用下，軸將在xy平面內(nèi)彎曲，彎矩Mz圖如圖c所示；在豎直荷載作用下，軸將在xz平面內(nèi)彎曲，彎矩My圖如圖d所示；彎矩圖均畫(huà)在受拉側(cè)，不注明正負(fù)。在兩個(gè)力偶矩作用下，軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，扭矩T圖如圖e所示。1.軸的受力圖和內(nèi)力圖例題8-5解:112.確定危險(xiǎn)截面及危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力由于圓截面的任何形心軸均為形心主慣性軸，且形心主慣性矩相同，故可將同一截面上的彎矩Mz和My按矢量相加，即B截面上的總彎矩MB(圖g)為：例題8-512并且由扭矩圖可見(jiàn)B截面上的扭矩與C截面上相同，TB＝-1000N·m，于是判定橫截面B為危險(xiǎn)截面。C截面的總彎矩為例題8-513

根據(jù)MB和TB按第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件為即亦即于是得3.求軸的直徑例題8-514§8-5連接件的實(shí)用計(jì)算法

圖a所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：Ⅰ.螺栓被剪斷(參見(jiàn)圖b和圖c)；Ⅱ.螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）(圖d)；Ⅲ.鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。

實(shí)用計(jì)算法中便是針對(duì)這些可能的破壞作近似計(jì)算的。15(1)剪切的實(shí)用計(jì)算

在實(shí)用計(jì)算中，認(rèn)為連接件的剪切面（圖b、c）上各點(diǎn)處切應(yīng)力相等，即剪切面上的名義切應(yīng)力為式中，F(xiàn)S為剪切面上的剪力，As為剪切面的面積。其中的許用應(yīng)力則是通過(guò)同一材料的試件在類(lèi)似變形情況下的試驗(yàn)（稱(chēng)為直接試驗(yàn)）測(cè)得的破壞剪力也按名義切應(yīng)力算得極限切應(yīng)力除以安全因數(shù)確定。強(qiáng)度條件16(2)擠壓的實(shí)用計(jì)算

在實(shí)用計(jì)算中，連接件與被連接件之間的擠壓應(yīng)力（bearingstress）是按某些假定進(jìn)行計(jì)算的。

對(duì)于螺栓連接和鉚釘連接，擠壓面是半個(gè)圓柱形面（圖b），擠壓面上擠壓應(yīng)力沿半圓周的變化如圖c所示，而最大擠壓應(yīng)力sbs的值大致等于把擠壓力Fbs除以實(shí)際擠壓面（接觸面）在直徑面上的投影。17故取名義擠壓應(yīng)力為式中，d為擠壓面高度，d為螺栓或鉚釘?shù)闹睆健?8擠壓強(qiáng)度條件為其中的許用擠壓應(yīng)力[sbs]也是通過(guò)直接試驗(yàn)，由擠壓破壞時(shí)的擠壓力按名義擠壓應(yīng)力的公式算得的極限擠壓應(yīng)力除以安全因數(shù)確定的。

應(yīng)該注意，擠壓應(yīng)力是連接件與被連接件之間的相互作用，因而當(dāng)兩者的材料不同時(shí)，應(yīng)校核許用擠壓應(yīng)力較低的連接件或被連接件。工程上為便于維修，常采用擠壓強(qiáng)度較低的材料制作連接件。19(3)拉伸的實(shí)用計(jì)算

螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強(qiáng)度應(yīng)以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實(shí)用計(jì)算中并且不考慮釘孔引起的應(yīng)力集中。被連接件的拉伸強(qiáng)度條件為式中：FN為檢驗(yàn)強(qiáng)度的釘孔中心處橫截面上的軸力；A為同一橫截面的凈面積，圖示情況下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd20

當(dāng)連接中有多個(gè)鉚釘或螺栓時(shí)，最大拉應(yīng)力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即FN=FN,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。21§8-6鉚釘和螺栓連接的計(jì)算螺栓連接示例22

鉚釘連接主要有三種方式：1.搭接（圖a），鉚釘受單剪；2.單蓋板對(duì)接（圖b），鉚釘受單剪；3.雙蓋板對(duì)接（圖c），鉚釘受雙剪。23

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的鉚釘連接都用一組鉚釘來(lái)傳力，在此情況下，由于鉚釘和被連接件的彈性變形，所以鉚釘組中位于兩端的鉚釘所傳遞的力要比中間的鉚釘所傳遞的力大。

但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，并考慮到鉚釘和被連接件都將發(fā)生塑性變形，在實(shí)用計(jì)算中如果作用于連接上的力其作用線(xiàn)通過(guò)鉚釘組中所有鉚釘橫截面的形心，而且各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤瑒t認(rèn)為每個(gè)鉚釘傳遞相等的力。24

搭接和單蓋板對(duì)接的鉚釘連接中，鉚釘會(huì)發(fā)生彎曲，被連接件會(huì)發(fā)生局部彎曲，在實(shí)用計(jì)算中對(duì)此不加考慮。

銷(xiāo)釘連接和螺栓連接的分析計(jì)算方法與鉚釘連接相同。至于在螺栓連接中使用高強(qiáng)度螺栓，將螺帽擰得很緊以利用螺栓的預(yù)緊力藉鋼板之間的摩擦力來(lái)傳遞連接所受外力，則不屬于這里討論的范圍。25Ⅰ.作用于連接上的力其作用線(xiàn)通過(guò)鉚釘組形心

此情況下每一鉚釘所傳遞的力可認(rèn)為相等，F(xiàn)i=F/n。據(jù)此進(jìn)行鉚釘剪切強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度的計(jì)算；對(duì)被連接件進(jìn)行擠壓強(qiáng)度計(jì)算，并按危險(xiǎn)截面進(jìn)行拉伸強(qiáng)度計(jì)算。26

某鋼桁架的一個(gè)節(jié)點(diǎn)如圖a所示。斜桿A由兩根63mm×6mm的等邊角鋼組成，受軸向力F=140kN作用。該斜桿用直徑為d=16mm螺栓連接在厚度為10mm的結(jié)點(diǎn)板上，螺栓按單行排列。已知角鋼、結(jié)點(diǎn)板和螺栓材料均為Q235鋼，許用應(yīng)力為[s]=170MPa,[t]=130MPa,[sbs]=300

MPa。試選擇所需的螺栓個(gè)數(shù)，并校核角鋼的拉伸強(qiáng)度。例題8-7271.按剪切強(qiáng)度條件選擇螺栓個(gè)數(shù)

由于此連接中各螺栓的材料和直徑相同，且斜桿上的軸向力其作用線(xiàn)通過(guò)該組螺栓的截面形心，故認(rèn)為每個(gè)螺栓所受的力相等，設(shè)螺栓個(gè)數(shù)為n，則每個(gè)螺栓所受的力為F/n。例題8-7解:28從而求得所需的螺栓個(gè)數(shù)：n=3取螺栓的剪切強(qiáng)度條件為

此連接中的螺栓受雙剪（圖b），每個(gè)剪切面上的剪力為例題8-7292.校核擠壓強(qiáng)度

由于結(jié)點(diǎn)板的厚度（10mm）小于兩根角鋼肢厚度之和（2×6mm）,所以應(yīng)校核螺栓與結(jié)點(diǎn)板之間的擠壓強(qiáng)度。每個(gè)螺栓所傳遞的力為

F/n，亦即每個(gè)螺栓與結(jié)點(diǎn)板之間的擠壓壓力為例題8-730而擠壓應(yīng)力為

其值小于許用擠壓應(yīng)力[sbs]=300MPa，滿(mǎn)足擠壓強(qiáng)度條件。例題8-731

斜桿上三個(gè)螺栓按單行排列（圖b）。圖c示出了該斜桿（含兩角鋼）的受力圖和軸力FN圖。3.校核角鋼的拉伸強(qiáng)度

該斜桿在圖c中所示的m-m截面上軸力最大，而凈截面面積又最小，故為危險(xiǎn)截面。例題8-732該截面上：FN,max=F=140kN由型鋼規(guī)格表可查得每根

63mm×6mm等邊角鋼的橫截面面積為7.29cm2，故危險(xiǎn)截面的凈面積為A=2×(729mm2－

6mm×16mm)=1266mm2從而得危險(xiǎn)截面上的拉伸應(yīng)力：其值小于許用拉應(yīng)力[s]=170MPa，滿(mǎn)足拉伸強(qiáng)度條件。例題8-733

在計(jì)算m-m截面上的拉應(yīng)力時(shí)應(yīng)用了軸向拉伸的正應(yīng)力公式，實(shí)際上，由于角鋼上的螺栓孔，使橫截面發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。但考慮到桿的材料為Q235鋼，具有良好的塑性，當(dāng)桿接近破壞時(shí)，危險(xiǎn)截面m-m上各部分材料均將達(dá)到屈服，各點(diǎn)處的正應(yīng)力趨于相等，故假設(shè)該截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力相等是可以的。例題8-734

由兩根鋼軌鉚接成的組合梁，其連接情況如圖a，b

所示。在所研究的梁段內(nèi)，剪力FS=50

kN為常值。試校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。

已知：(a)每根鋼軌橫截面的幾何性質(zhì)為:面積A1＝8000mm2，形心距軌底的高度c=80mm，對(duì)于自身形心軸z1的慣性矩Iz1=1600×104mm4；(b)鉚釘?shù)闹睆絛=20mm，縱向間距s=150mm，許用切應(yīng)力[t]=95MPa。不考慮上、下兩鋼軌間的摩擦。例題8-835圖d示出了長(zhǎng)度為鉚釘?shù)目v向間距s的一段梁，其

上面鋼軌的兩側(cè)橫截面上的彎曲正應(yīng)力和它們組成的合力FT和FT1。1.鉚釘所受剪力的分析例題8-8解:36

這兩個(gè)合力之差FT1-FT

就是兩個(gè)鉚釘所共同承受的剪力，它等于每個(gè)鉚釘承受的剪力的兩倍，。例題8-837

以A1表示一根鋼軌的橫截面面積。長(zhǎng)度為斜的一段梁的左、右兩個(gè)橫截面上的彎矩分別為M和M+FSs則FT

和FT1的算式為2.計(jì)算鉚釘所受的剪力例題8-838式中，為一根鋼軌的橫截面面積A1對(duì)于組合梁中性軸z的靜矩。從而有每個(gè)鉚釘承受的剪力為例題8-8393.為計(jì)算

的值，先計(jì)算和

Iz

的值。例題8-840于是有例題8-8414.鉚釘剪切面上的切應(yīng)力為故鉚釘滿(mǎn)足剪切強(qiáng)度條件。例題8-842

對(duì)于受偏心荷載F的鉚釘連接（或螺栓連接）（圖a），亦即作用于連接上的力其作用線(xiàn)不通過(guò)鉚釘組的形心O時(shí)，可如圖b所示，簡(jiǎn)化為通過(guò)形心O的力和力偶矩Me=F·e。II.作用于連接上的力其作用線(xiàn)不通過(guò)鉚釘組形心43

若鉚釘組中各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆蕉枷嗤?，則由于力F引起的作用在任意鉚釘i上的力均為(1)其方向垂直于該鉚釘中心與鉚釘組形心O的連線(xiàn)；(2)其大小與該連線(xiàn)的長(zhǎng)度成正比（將連接板視為剛體），即

而由于力偶矩Me引起的作用在鉚釘i上的力(圖b):44于是由靜力關(guān)系可導(dǎo)得：即故45

作用在鉚釘i上總的力Fi

則為的矢量和。進(jìn)行鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度和擠壓強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，應(yīng)對(duì)受力最大的鉚釘進(jìn)行。46

圖a所示鉚釘搭接的托架受集中力F=12kN作用，鉚釘直徑

d=20mm。試求受力最大的鉚釘其剪切面上的切應(yīng)力。例題8-9471.將外力F向鉚釘組的形心O簡(jiǎn)化，得力F和力偶矩MexyFO例題8-9解:482.確定鉚釘組形心O至每一鉚釘中心的距離ri（參見(jiàn)圖b）：例題8-949例題8-9503.確定鉚釘組的幾何量：例題8-9514.計(jì)算各鉚釘所受的力（圖b）由于力偶矩Me，產(chǎn)生的各鉚釘?shù)募袅Ψ謩e為由于力F通過(guò)鉚釘組形心O，所以每個(gè)鉚釘所受的力相等，即例題8-952