能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計

1第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計引言基于狀態(tài)空間描述的多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型的區(qū)別經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論的關(guān)系能控性和能觀性概念反映系統(tǒng)外部特性反映內(nèi)部狀態(tài)信息2問題已知某系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：試求：該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分析：哪些狀態(tài)變量與輸入信號有關(guān)？哪些無關(guān)？哪些狀態(tài)變量與輸出信號有關(guān)？哪些無關(guān)？傳遞函數(shù)與哪些系統(tǒng)特征值有關(guān)？與哪些特征值無關(guān)？發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3解：因而根據(jù)對角矩陣的逆矩陣性質(zhì)，有4所以傳遞函數(shù)為5分析結(jié)果：與系統(tǒng)輸入信號有關(guān)聯(lián)的狀態(tài)變量是x2,x4;與系統(tǒng)輸出信號有關(guān)聯(lián)的狀態(tài)變量是x2,x3；傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的特征值有關(guān)。狀態(tài)空間模型表現(xiàn)系統(tǒng)為4階系統(tǒng)，而傳遞函數(shù)則表現(xiàn)系統(tǒng)僅為1階系統(tǒng)規(guī)律：傳遞函數(shù)僅能反映出系統(tǒng)既能與輸入信號有關(guān)又能與輸出信號有關(guān)的那部分特性，不能反映出系統(tǒng)的全部特性。能控性與能觀性的概念6第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計設(shè)以定義在時間區(qū)間[t0,t1]上連續(xù)函數(shù)fij(t)為元素的矩陣時間函數(shù)向量無關(guān)性時間函數(shù)向量線性無關(guān)性定義7

對于n個列向量fj(t),j=1,2,…,n,其線性相關(guān)是指存在某些不全含為零的實常數(shù)j,j=1,2,…,n,使下式對區(qū)間[t0,t1]中所有t均成立：如果只有j,j=1,2,…n全為零時，上式才成立，則稱fj(t)，j=1,2,…,n為線性無關(guān)注意：時間函數(shù)行向量線性無關(guān)的定義，在前述列向量線性無關(guān)基礎(chǔ)上稍加改動即可上述定義中，令m=1,即為過去所學(xué)的時間函數(shù)（標(biāo)量）線性無關(guān)定義8時間函數(shù)向量線性無關(guān)性條件格蘭姆矩陣及其行列式設(shè)f1(t),f2(t),…,fn(t)為m維列向量，則矩陣稱為f1(t),…,fn(t)的格蘭姆矩陣，式中內(nèi)積n×n維實數(shù)陣9格蘭姆矩陣還可表示為格蘭姆行列式則為10時間函數(shù)向量線性無關(guān)的充要條件F(t)的列向量f1(t),f2(t),…fn(t)線性無關(guān)的充要條件是F(t)的格蘭姆矩陣非奇異，即detG

011第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計系統(tǒng)能控性定義若存在一個無約束的容許控制向量u(t),能在有限的時間間隔內(nèi)[t0,t1],將系統(tǒng)某一狀態(tài)xi(t)初始狀態(tài)xi(t0)轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)xi(t1),則稱該狀態(tài)xi(t)是能控的;若系統(tǒng)所有狀態(tài)(即狀態(tài)向量的所有分量)都能控,則稱該系統(tǒng)是完全能控的.123階系統(tǒng)狀態(tài)能控性概念示意圖13第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計一般能控性判據(jù)能控性格蘭姆矩陣非奇異對區(qū)間[0,∞)的時間t行線性無關(guān)能控性矩陣滿秩對A的每一個特征值的秩均為n.內(nèi)積14第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的能控性判據(jù)當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為對角型時,如果輸入矩陣B沒有全為零的行,則系統(tǒng)完全可控;若出現(xiàn)全為零的行,則該行對應(yīng)特征值不能控.當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型且每一個重特征值只對應(yīng)一個約當(dāng)塊時,如果各約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)的輸入矩陣B的相應(yīng)行不全為零時,則系統(tǒng)完全可控.非奇異線性變換不改變系統(tǒng)能控性15第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計系統(tǒng)能觀性及對偶原理定義設(shè)連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

如果在有限的時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi),根據(jù)量測的輸出向量y(t)和輸入向量u(t),能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的狀態(tài)xi(t0),則稱xi(t)在[t0,t1]上是能觀的;若系統(tǒng)所有狀態(tài)x(t)都在[t0,t1]上能觀,則稱系統(tǒng)是完全能觀的.16第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計能觀性判據(jù)一般能觀性判據(jù)能觀性矩陣格蘭姆矩陣非奇異對區(qū)間[0,∞)上的時間t列線性無關(guān)能觀性矩陣滿秩內(nèi)積17第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計對于A的每一特征值

滿秩18第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型的能觀性判據(jù)當(dāng)A具有互異的特征值,因而是對角陣時,則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是矩陣C沒有全為零的列.若A具有重特征值,且A中每一個重特征值只對應(yīng)一個約當(dāng)塊時,則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是:各約當(dāng)塊第一列所對應(yīng)的C陣相應(yīng)列不全為零.若A中某一特征值對應(yīng)于n個約當(dāng)塊時,系統(tǒng)完全能觀的充要條件是:各約當(dāng)塊第一列所對應(yīng)的C陣相應(yīng)列均不全為零且相同特征值的各約當(dāng)塊第一列所對應(yīng)的C陣各相應(yīng)列線性無關(guān)對單輸出系統(tǒng),只要同一特征值對應(yīng)兩個或兩個以上約當(dāng)塊時,系統(tǒng)必不完全能觀.非奇異線性變換不改變系統(tǒng)能觀性19第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)能控性與能觀性只是系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的一種內(nèi)在屬性,而不是系統(tǒng)本身的內(nèi)在屬性.若系統(tǒng)不同狀態(tài)變量的選取之間是非奇異線性變換的話,則能控性與能觀性不變.20第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計對偶性原理對偶系統(tǒng)對偶關(guān)系是相互的互為對偶的系統(tǒng),其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置對偶性原理互為對偶的兩系統(tǒng)S1和S2,S1的能控性等價于S2系統(tǒng)的能觀性,系統(tǒng)S1的能觀性等價于系統(tǒng)S2的能控性21第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計有關(guān)能控能觀性的進(jìn)一步討論標(biāo)準(zhǔn)形特征值標(biāo)準(zhǔn)形對角陣標(biāo)準(zhǔn)陣約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形22第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計表征系統(tǒng)狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)型能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)形能控標(biāo)準(zhǔn)形（單變量系統(tǒng)）

能控標(biāo)準(zhǔn)型不僅能表示系統(tǒng)狀態(tài)可控，而且和系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)ai相關(guān)聯(lián)，因而在分析與綜合中應(yīng)用較多23能控標(biāo)準(zhǔn)形（單變量系統(tǒng)）設(shè)一個狀態(tài)能控的單輸入單輸出線性定長系統(tǒng)由于系統(tǒng)能控，故又設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為24則可構(gòu)造變換陣使得經(jīng)過線性變換，可將原系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形25第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計能觀標(biāo)準(zhǔn)形而其變換陣的逆26第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計系統(tǒng)的規(guī)范分解一個不完全能控不完全能觀系統(tǒng)，可將其狀態(tài)空間劃分為四部分：能控能觀子空間能控不能觀子空間能觀不能控子空間不能控不能觀子空間27按能控性典范分解第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計28能控性分解結(jié)構(gòu)圖第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計29第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計按能觀性分解30能觀性分解結(jié)構(gòu)圖第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計31第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計能控能觀性與傳遞函數(shù)關(guān)系系統(tǒng)能控且能觀的充要條件是其傳遞函數(shù)不存在可對消的零極點(diǎn)最小實現(xiàn)問題

狀態(tài)空間模型的維數(shù)等于既約傳遞函數(shù)分母的階次BIBO穩(wěn)定性與能控能觀性關(guān)系另一種穩(wěn)定性定義，它不僅與系統(tǒng)矩陣A的特征值有關(guān)，還與系統(tǒng)的能控能觀性有關(guān)32第六章能控能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計

BIBO穩(wěn)定性概念如果在有界輸入作用下，系統(tǒng)輸出有界。

該穩(wěn)定性定義不僅與系統(tǒng)矩陣A的特征值有關(guān)，還與系統(tǒng)的能控能觀性有關(guān)充要條件系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均在s平面的左半平面系統(tǒng)能控能觀性與BIBO穩(wěn)定性的關(guān)系充要條件A矩陣的特征值實部不為負(fù)的特征值均為不能控振型或不能觀振型，其余特征值的實部均為負(fù)數(shù)。若系統(tǒng)完全能控能觀，則BIBO穩(wěn)定與平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定是等價的33第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置設(shè)計法輸出反饋與狀態(tài)反饋

狀態(tài)反饋有可能獲得比輸出反饋更好的控制效果，甚至可以做到閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置閉環(huán)極點(diǎn)只能沿根軌跡變動極點(diǎn)可以任意變動34控制系統(tǒng)狀態(tài)空間模型：輸出反饋：狀態(tài)反饋：凡是輸出反饋L所能達(dá)到的控制效果，只要取狀態(tài)反饋矩陣F=LC則可達(dá)到同樣控制效果但由F和C則從F=LC中并不一定能解出矩陣L來35第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置一組零、極點(diǎn)的分布對應(yīng)一個系統(tǒng)的響應(yīng)

而希望的極點(diǎn)組的選取是一個確定綜合目標(biāo)問題，一般講是一個復(fù)雜的問題，是工程與理論相結(jié)合的問題。一般方法的設(shè)計待定系數(shù)法36第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計一般方法的設(shè)計步驟：判斷受控系統(tǒng)是否能控由給定的動態(tài)指標(biāo)或閉環(huán)極點(diǎn)要求確定希望的閉環(huán)特征多項式的n個系數(shù)確定原受控系統(tǒng)的特征多項式系數(shù)確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣的諸元素37第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計確定原受控系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣的逆確定受控系統(tǒng)完成閉環(huán)極點(diǎn)配置任務(wù)的狀態(tài)反饋陣38第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計待定系數(shù)法設(shè)計步驟將狀態(tài)反饋矩陣代入求出的特征多項式根據(jù)性能指標(biāo)要求所決定的一組特征值計算出39第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計令的特征多項式與中對應(yīng)冪次項的系數(shù)相等，得n個方程求解聯(lián)立n個方程，得到狀態(tài)反饋矩陣F40第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計鎮(zhèn)定問題如果采用某種方法能將系統(tǒng)不穩(wěn)定的特征值改變?yōu)榉€(wěn)定的特征值，則稱系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的如果系統(tǒng)不可控部分中包含有不穩(wěn)定特征值，則無法用狀態(tài)反饋方式將其改變?yōu)榉€(wěn)定特征值系統(tǒng)無法鎮(zhèn)定

系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定的充要條件：其不可控特征值（振型）是穩(wěn)定的。41第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計調(diào)節(jié)器問題,非零給定值與常值干擾問題當(dāng)給定值v=0時，即為調(diào)節(jié)器問題在干擾作用下系統(tǒng)狀態(tài)或輸出偏離零平衡狀態(tài)后，利用狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)特征值所決定的調(diào)整時間恢復(fù)到零平衡狀態(tài)的能力問題在上述要求之外，還要求通過改變r值使穩(wěn)態(tài)值（輸出）為一給定值，則為非零給定值問題如果系統(tǒng)受到未知常值干擾，如何使受到干擾的系統(tǒng)恢復(fù)到零平衡狀態(tài)（或使輸出達(dá)到非零給定值），則為常值干擾問題42第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計穩(wěn)態(tài)時引入積分反饋?zhàn)饔?，即增加一個新的狀態(tài)變量，滿足增廣系統(tǒng)狀態(tài)方程43第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計若引入增廣狀態(tài)反饋向量增廣系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程變?yōu)檫x擇狀態(tài)反饋向量，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則穩(wěn)態(tài)時有即均為零，且與干擾w無關(guān)44第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)觀測器設(shè)計及分離原理狀態(tài)觀測器設(shè)計漸進(jìn)等價指標(biāo)：觀測誤差45第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計全維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)圖問題：觀測誤差衰減快慢完全取決于矩陣A的特征值如A是非漸進(jìn)穩(wěn)定的，則不能實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)46第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計修正前述方案重構(gòu)狀態(tài)部分的狀態(tài)方程為故只要A-HC是漸進(jìn)穩(wěn)定矩陣，則就是的重構(gòu)狀態(tài)47第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計

由于觀測誤差的衰減速度由A-HC的特征值決定，故可選擇H陣，以調(diào)整A-HC矩陣的特征值大小，以達(dá)到合適的衰減速度。

基本觀測器進(jìn)行極點(diǎn)任意配置的條件：

完全可觀測系統(tǒng)的基本觀測器的極點(diǎn)配置的設(shè)計方法，可完全仿照完全可控系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置的方法進(jìn)行。充要條件是原系統(tǒng)完全可觀測的48第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計直接狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)：帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的階次是直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的兩倍49第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計簡化的結(jié)構(gòu)圖50第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計作為狀態(tài)變量故狀態(tài)方程：51第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計

由前圖及狀態(tài)方程可見：帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的2n個極點(diǎn)具有分離特性特征多項式det(SI-A+BF)的n個根（與直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的n個極點(diǎn)一致）觀測器特征多項式det(sI-A+HC)的n個根按可控性分解的概念看：（A-BF）部分的極點(diǎn)形成由參考輸入v完全可控的模態(tài)，另一部分(A-HC)的極點(diǎn)就是觀測器極點(diǎn)，它們形成由v不可控的模態(tài)52第六章能控性能觀性與極點(diǎn)配置設(shè)計系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分離性質(zhì)是一個很好的特性，利用閉環(huán)極點(diǎn)的分離特性可以分別設(shè)計受控系統(tǒng)控制與觀測問題