自動控制-04f系統(tǒng)性能的分析

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系統(tǒng)性能的分析在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)設(shè)計的重要評價取決于系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。運用根軌跡法，可以迅速確定系統(tǒng)在某一開環(huán)增益或某一參數(shù)值下的閉環(huán)零、極點位置，從而得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。此時，可以采用拉氏反變換求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，進(jìn)一步求得系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)。系統(tǒng)的動態(tài)性能最終體現(xiàn)在時間響應(yīng)上，影響時間響應(yīng)的因素有兩個：閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入函數(shù)。在第三章中已經(jīng)得知，時間響應(yīng)的暫態(tài)分量主要取決于閉環(huán)零、極點，時間響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量主要取決于輸入函數(shù)。1、閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)如前所說，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于閉環(huán)極點，實際上時間響應(yīng)的暫態(tài)分量也主要取決于閉環(huán)極點。每一個閉環(huán)極點si對應(yīng)時間響應(yīng)中的一個因子sit——稱為系統(tǒng)的一個模態(tài)（Mode），si在S平面上的位置決定了它對應(yīng)的暫態(tài)分量的運動形式。圖4-20表示了si分布于S平面上不同位置所對應(yīng)的暫態(tài)分量，其規(guī)律可以總結(jié)為：

1)左右分布決定終值。具體講就是：si位于虛軸左邊時暫態(tài)分量最終衰減到零，si

位于虛軸右邊時暫態(tài)分量一定發(fā)散，si正好位于虛軸（除原點）時暫態(tài)分量為等幅振蕩。

2)虛實分布決定振型。具體講就是：si位于實軸上時暫態(tài)分量為非周期運動，si位于虛軸上時暫態(tài)分量為周期運動。

3)遠(yuǎn)近分布決定快慢。具體講就是：si位于虛軸左邊時離虛軸愈遠(yuǎn)過渡過程衰減得愈快。所以離虛軸最近的閉環(huán)極點主宰系統(tǒng)響應(yīng)的時間最長，被稱為主導(dǎo)極點。圖4-20閉環(huán)極點分布與暫態(tài)分量的運動形式σj——閉環(huán)極點位置的共軛———設(shè)計系統(tǒng)時合理配置閉環(huán)極點是十分重要的，根據(jù)上述規(guī)律，一般首先配置主導(dǎo)極點，然后配置非主導(dǎo)極點，非主導(dǎo)極點與虛軸的距離應(yīng)當(dāng)是主導(dǎo)極點與虛軸距離的2～5倍，這樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)就主要取決于一對主導(dǎo)極點。主導(dǎo)極點一般安排為一對共軛復(fù)數(shù)極點，位于如圖4-21虛軸左邊60°扇形區(qū)內(nèi)，且離虛軸有一定的距離，其理由在于：

1）閉環(huán)主導(dǎo)極點為共軛復(fù)數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與一個二階欠阻尼系統(tǒng)相似，二階系統(tǒng)的動態(tài)性能是分析得最透徹的，欠阻尼系統(tǒng)則具有較快的反應(yīng)速度。圖4-21

3）離虛軸一定的距離保證了足夠的穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度太小，在實際應(yīng)用時可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因為數(shù)學(xué)模型的參數(shù)不會絕對準(zhǔn)確——也就是說實際的主導(dǎo)極點位置與理論分析的位置有偏差。但也不是越遠(yuǎn)越好，因為系統(tǒng)總存在建模誤差，離虛軸很遠(yuǎn)的極點對應(yīng)很小的時間常數(shù)，如果主導(dǎo)極點與建模時忽略的小時間常數(shù)相當(dāng)，那么主導(dǎo)極點就不主導(dǎo)，設(shè)計的根基就動搖了。

2）阻尼系數(shù)太大太小都不合適，60°扇形區(qū)意味著阻尼系數(shù)不小于cos60°=0.5，一般認(rèn)為最佳阻尼系數(shù)是0.707。這里提出了一個重要的設(shè)計理念：魯棒性設(shè)計。理論分析與工程實際總是有差距的，不注意這種差距，有時會鬧出笑話。一個控制系統(tǒng)的設(shè)計，需要充分考慮工程實際中的非理想因素，比如：建模誤差、參數(shù)不準(zhǔn)、外部干擾等。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時，總要忽略一些非線性、小時間常數(shù)等因素，這叫建模誤差；建立數(shù)學(xué)模型時，對實際系統(tǒng)參數(shù)的測量或估計不可能百分之百的準(zhǔn)確，而且運行中系統(tǒng)參數(shù)也會變化，這說明參數(shù)不準(zhǔn)是普遍存在的；來自外部環(huán)境的干擾更是五花八門、難以統(tǒng)計，未建模的干擾會使運動偏離理論軌跡。所以，要使理論上設(shè)計的系統(tǒng)能夠真正用于實際，必須保證在上述非理想因素下設(shè)計目標(biāo)仍然能達(dá)到或基本達(dá)到，這樣的控制系統(tǒng)稱為具有魯棒性的系統(tǒng)。

現(xiàn)在再來看系統(tǒng)的閉環(huán)零點，應(yīng)該說閉環(huán)零點對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響，對系統(tǒng)的時間響應(yīng)沒有實質(zhì)影響，但對時間響應(yīng)的具體形狀是有影響的。考慮下面三個閉環(huán)傳遞函數(shù)：它們有完全相同的閉環(huán)極點，但閉環(huán)零點不同，它們的階躍響應(yīng)分別如圖4-22（a），（b），（c）所示。圖（a）（b）都是最小相位系統(tǒng)，但圖（b）代表的系統(tǒng)多了一個左半平面的零點，它加快了響應(yīng)速度（有利），也加大了超調(diào)量（不利）；圖（c）代表的是一個非最小相位系統(tǒng)，右半平面零點導(dǎo)致了特殊的反調(diào)節(jié)現(xiàn)象，這對系統(tǒng)的動態(tài)性能是不利的，水輪機調(diào)速系統(tǒng)就存在這種現(xiàn)象。（a）（b）（c）圖4-22

閉環(huán)零點對時間響應(yīng)的影響

1、開環(huán)偶極子對離它們較遠(yuǎn)的根軌跡形狀及根軌跡增益K*沒有影響。原因是從偶極子至根軌跡遠(yuǎn)處某點的向量基本相等，它們的模值條件及相角條件中可以互相抵消。

2、若開環(huán)偶極子位于平面原點附近，則由于閉環(huán)主導(dǎo)極點離坐標(biāo)原點較遠(yuǎn)，故它們對系統(tǒng)主導(dǎo)極點的位置及增益K*均無影響。但是，開環(huán)偶極子將顯著影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，從而在很大程度上影響系統(tǒng)的靜態(tài)性能，其原因如下：

*偶極子的影響

開環(huán)偶極子是指一對距離很近的開環(huán)零、極點，它們之間距離比它們的模值小一個數(shù)量級左右。當(dāng)系統(tǒng)增加一對開環(huán)偶極子時，其效應(yīng)有：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)用時間常數(shù)表示的通式為

該傳遞函數(shù)若寫成零、極點的表達(dá)式，則

式中，為系統(tǒng)的階數(shù)；K為系統(tǒng)的開環(huán)增益，又稱開環(huán)放大倍數(shù),與系統(tǒng)的誤差系數(shù)Kp、Kv及Ka有著密切的關(guān)系,K*為系統(tǒng)的根軌跡增益，比較上述兩式，不難看出

如果系統(tǒng)在原來零、極點的基礎(chǔ)上增加一對實數(shù)開環(huán)偶極子，則按上式求得增加開環(huán)偶極子后系統(tǒng)的傳遞系數(shù)為

式中為偶極子的零、極點；為原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例如選有上式表明，加入偶極子后，系統(tǒng)的傳遞系數(shù)提高了10倍，顯然對提高靜態(tài)性能大有好處。例

已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

若給此系統(tǒng)增加一個開環(huán)極點p=－2，或增加一個開環(huán)極點z=－2。試分別討論對系統(tǒng)根軌跡和動態(tài)性能的影響。

解

依據(jù)根軌跡的法則，制出的根軌跡如圖4-18圖a為原系統(tǒng)的根軌跡圖b為增加極點后的根軌跡圖C為增加零點后的根軌跡。

可見，增加極點后根軌跡及其分離點都向右移；增加零點后使根軌跡及其分離點都向左偏移。

圖4-18增加零點或極點的效應(yīng)增加零點后的軌跡原系統(tǒng)根軌跡增加極點后的軌跡2、系統(tǒng)性能的分析

本節(jié)將重點說明閉環(huán)極點、零點分布與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系，即找出誤差系數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系；誤差系數(shù)與開環(huán)放大倍數(shù)的關(guān)系；開環(huán)放大倍數(shù)與閉環(huán)極點、零點的關(guān)系；進(jìn)而說明穩(wěn)態(tài)性能與閉環(huán)極點、零點的關(guān)系。

設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

誤差閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則誤差系數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系為

而我們已知穩(wěn)態(tài)誤差的計算公式為

0型系統(tǒng)在階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

則

Ⅰ型系統(tǒng)在斜坡函數(shù)作用下，Ⅱ型系統(tǒng)在加速度函數(shù)作用下其穩(wěn)態(tài)誤差

則

由上我們可推導(dǎo)出

例1某單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點、零點求開環(huán)放大倍數(shù)。

解

當(dāng)時，系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點（無有限零點）

根據(jù)得

則，當(dāng)時

根據(jù)

可得