西安科技大學(xué) 研究生 數(shù)值分析課件

1緒論本章主要內(nèi)容：

1.1數(shù)值方法的必要性

1.2誤差與有效數(shù)字

1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則

1.4算法及數(shù)值穩(wěn)定性重點(diǎn)：誤差難點(diǎn)：有效數(shù)字、穩(wěn)定性1.1

數(shù)值方法的必要性某些數(shù)學(xué)問(wèn)題目前在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有求解方法。如一元高次多項(xiàng)式方程，一元超越方程。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題在理論上有解決方法，但實(shí)際中并不可用，如大規(guī)模線性方程組。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題在實(shí)踐中有解決的方法，但仍需要對(duì)算法進(jìn)行分析(誤差分析)，如求定積分的例子。

1.1

數(shù)值方法的必要性數(shù)值分析是通過(guò)構(gòu)造數(shù)值算法，并用高性能（速度快、精度高、存儲(chǔ)容量大）的計(jì)算工具（電子計(jì)算機(jī)）來(lái)求解給定數(shù)學(xué)問(wèn)題（模型）的數(shù)值解。并不過(guò)分關(guān)心問(wèn)題的數(shù)學(xué)解法及精確解。

高性能的計(jì)算工具僅是求解給定問(wèn)題數(shù)值解的物質(zhì)基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)給定問(wèn)題的進(jìn)行分析，按照一定的思想，制定出求解問(wèn)題的算法才是數(shù)值分析的主要工作，它包括對(duì)算法的構(gòu)造，對(duì)算法收斂性、穩(wěn)定性及時(shí)間和空間復(fù)雜性的分析等。

1.1

數(shù)值方法的必要性結(jié)合計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，迭代算法是構(gòu)造數(shù)值算法的最基本的方法，離散化是構(gòu)造數(shù)值算法的最常用的手段。數(shù)值算法有以下幾個(gè)特點(diǎn)：理論上的精確運(yùn)算與實(shí)際運(yùn)算之間存在差異理論上的解題方案與實(shí)際能用性之間存在著差異精確解法與近似解法往往沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.1誤差的來(lái)源與分類(lèi)通常，解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題需經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟。實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型計(jì)算結(jié)果數(shù)值算法分析、假設(shè)抽象、量化構(gòu)造數(shù)值計(jì)算方法編程、輸入計(jì)算、分析在以上環(huán)節(jié)中，不可避免的存在著誤差，分為以下幾種：模型誤差：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型時(shí)導(dǎo)致的誤差；觀測(cè)誤差：數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)值在觀測(cè)時(shí)所導(dǎo)致的誤差；方法誤差：針對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)造算法時(shí)所導(dǎo)致的誤差；舍入誤差：在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制所導(dǎo)致的誤差或由于計(jì)算次序所導(dǎo)致的誤差。1.2誤差與有效數(shù)字1.2.1誤差的來(lái)源與分類(lèi)方法誤差又稱(chēng)截?cái)嗾`差或余項(xiàng)。舍入誤差的積累可能對(duì)計(jì)算結(jié)果造成很大影響。在數(shù)值分析課程中我們不討論數(shù)學(xué)模型本身的模型誤差和觀測(cè)誤差，只研究為求解數(shù)學(xué)模型而產(chǎn)生的方法誤差和舍入誤差。針對(duì)不同的數(shù)值方法，誤差估計(jì)的側(cè)重點(diǎn)也不同，有些數(shù)值方法主要討論方法誤差，如數(shù)值積分/微分、函數(shù)插值/逼近等；有些數(shù)值方法主要討論舍入誤差及觀測(cè)誤差(輸入數(shù)據(jù)的誤差)，如線性方程組求解。兩個(gè)例子1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量1.絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差界（限）設(shè)x是某個(gè)精確值x*的近似值，則稱(chēng)為近似值x的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。如果能找到絕對(duì)誤差值的一個(gè)上界，使得，稱(chēng)是近似值x的絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差界。由于誤差界不唯一，通常取滿(mǎn)足的最小值。例1-1設(shè)的近似值及誤差界。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量2.相對(duì)誤差與相對(duì)誤差界（限）設(shè)x是某個(gè)非零精確值x*的近似值，則稱(chēng)為近似值x的相對(duì)誤差。如果能找到相對(duì)誤差值的一個(gè)上界，使得，稱(chēng)是近似值x的相對(duì)誤差界。由于精確值往往是未知的，通常令例1-2相對(duì)誤差（界）的例子。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字若近似值的絕對(duì)誤差界是某一數(shù)位上的半個(gè)單位，則稱(chēng)精確到該位，若從該位到的左起第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱(chēng)近似值有n位有效數(shù)字。從該定義可以看出，通常的“四舍五入”后得到的數(shù)字都是有效數(shù)字。而精確值被認(rèn)為有無(wú)窮多位有效數(shù)字。有效數(shù)字還有另一種定義方法。1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字設(shè)近似值可寫(xiě)成規(guī)格化的形式（1-1）其中，ai是0-9之間的整數(shù)，，k為整數(shù)。如果（1-2）則稱(chēng)為的具有n位有效數(shù)字的近似值。例1-3設(shè)1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.2誤差的度量3.有效數(shù)字這種定義方法實(shí)際上給出了有效數(shù)字與絕對(duì)誤差的關(guān)系。下面的定理揭示了有效數(shù)字與相對(duì)誤差的關(guān)系。定理1-1

設(shè)近似值x可寫(xiě)成（1-1）的規(guī)格化形式，若x至少有n位有效數(shù)字，則x的相對(duì)誤差滿(mǎn)足（1-3）反之，若的相對(duì)誤差滿(mǎn)足

（1-4）則至少有n位有效數(shù)字。（證明參[2]p5）例1-4求1/19的近似值的相對(duì)誤差不超過(guò)0.1﹪，應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

1.2

誤差與有效數(shù)字1.2.3誤差的傳播1.函數(shù)的誤差

例1-5P13習(xí)題31.2

誤差與有效數(shù)字1.2.3誤差的傳播

2.運(yùn)算的誤差例1-6測(cè)得某正方體的邊長(zhǎng)為20cm，計(jì)算其體積的誤差界及相對(duì)誤差界。(用兩種方法)1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則1.3.1機(jī)器數(shù)存放在計(jì)算機(jī)中的數(shù)稱(chēng)為機(jī)器數(shù)。實(shí)數(shù)有定點(diǎn)和浮點(diǎn)兩種形式表示。實(shí)數(shù)的機(jī)器數(shù)是有誤差的。范圍與誤差的大小與機(jī)器數(shù)的字長(zhǎng)有關(guān)。隨覺(jué)運(yùn)算的深入，誤差可能迅速膨脹，這種現(xiàn)象必須得到有效控制；也可能出現(xiàn)大數(shù)吃掉小數(shù)等現(xiàn)象，必須盡量避免。穩(wěn)定性1.3數(shù)值計(jì)算的若干原則1.3.2誤差處理的幾個(gè)原則避免兩個(gè)相近的數(shù)相減。避免絕對(duì)值太小的數(shù)做除數(shù)。防止大數(shù)吃掉小數(shù)。優(yōu)化計(jì)算步驟，提高計(jì)算效率。嚴(yán)格控制遞推公式中誤差的傳播簡(jiǎn)化計(jì)算步驟一些避免相近數(shù)相減示例當(dāng)|x|>>1時(shí)當(dāng)|x|<<1時(shí)1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.1算法及其相關(guān)概念算法是為解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題采取的確定的、有限的步驟。

算法具有有窮性、確定性、能行性、輸入和輸出算法的描述自然語(yǔ)言描述流程框圖/N-S圖描述偽代碼/某種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言描述算法復(fù)雜性時(shí)間復(fù)雜性空間復(fù)雜性好算法的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果正確邏輯清晰、結(jié)構(gòu)良好便于維護(hù)、可擴(kuò)充性強(qiáng)時(shí)、空復(fù)雜性?xún)?yōu)良算法的收斂性線性收斂超線性收斂平方收斂算法的分類(lèi)并行算法與串行算法數(shù)值算法與非數(shù)值算法1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.2算法的穩(wěn)定性與病態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題

1算法的穩(wěn)定性

算法的數(shù)值穩(wěn)定性是指算法對(duì)誤差的傳播（或積累）是否受到控制的問(wèn)題。如果算法的計(jì)算結(jié)果對(duì)初始數(shù)據(jù)的誤差及計(jì)算中的舍入誤差不敏感，則稱(chēng)該算法是穩(wěn)定的；否則該算法是不穩(wěn)定的。由于誤差不可避免，算法的穩(wěn)定性在數(shù)值計(jì)算中是不可回避的重要問(wèn)題。例1-6求定積分的例子（p6）1.4算法與數(shù)值穩(wěn)定性1.4.2算法的穩(wěn)定性與病態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題

2病態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題

病態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題是指這樣的問(wèn)題，當(dāng)它的