賈俊平《統(tǒng)計學》第五版第10章 方差分析

第10章方差分析10.1方差分析引論10.1.1方差分析及其有關術(shù)語檢驗多個總體均值是否相等通過對各觀察數(shù)據(jù)誤差來源的分析來判斷多個總體均值是否相等2. 變量一個定類尺度的自變量2個或多個(k個)處理水平或分類一個定距或比例尺度的因變量3. 用于分析完全隨機化試驗設計什么是方差分析?

（一個例子）該飲料在五家超市的銷售情況超市無色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無色透明。這四種飲料的營養(yǎng)含量、味道、價格、包裝等可能影響銷售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營規(guī)模相仿的五家超級市場上收集了前一時期該飲料的銷售情況。試分析飲料的顏色是否對銷售量產(chǎn)生影響。什么是方差分析?

（例子的進一步分析）檢驗飲料的顏色對銷售量是否有影響，也就是檢驗四種顏色飲料的平均銷售量是否相同設1為無色飲料的平均銷售量，2粉色飲料的平均銷售量，3為橘黃色飲料的平均銷售量，4為綠色飲料的平均銷售量，也就是檢驗下面的假設H0:123

4

H1:1,2,3,4

不全相等檢驗上述假設所采用的方法就是方差分析因素或因子所要檢驗的對象稱為因子要分析飲料的顏色對銷售量是否有影響，顏色是要檢驗的因素或因子水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平A1、A2、A3、A4四種顏色就是因素的水平觀察值在每個因素水平下得到的樣本值每種顏色飲料的銷售量就是觀察值試驗這里只涉及一個因素，因此稱為單因素四水平的試驗總體因素的每一個水平可以看作是一個總體比如A1、A2、A3、A4四種顏色可以看作是四個總體樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是從這四個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)10.1.2方差分析的基本思想和原理1.兩類誤差（1）組內(nèi)誤差來自水平內(nèi)部的數(shù)據(jù)誤差比如，同一種顏色的飲料在不同超市上的銷售量的差異。（2）組間誤差來自不同水平之間的數(shù)據(jù)誤差比如，同一家超市，不同顏色飲料的銷售量的差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于顏色本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差2.兩類方差（1）組內(nèi)方差（誤差平方和、殘差平方和、

SSE）因素的同一水平(同一個總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，無色飲料A1在5家超市銷售數(shù)量的方差組內(nèi)方差只包含隨機誤差（2）組間方差（因素平方和、SSA）因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，四種顏色飲料銷售量之間的方差組間方差既包括隨機誤差，也包括系統(tǒng)誤差3.誤差分析如果顏色(水平)對銷售量(結(jié)果)沒有影響，那么在SSA中只包含有隨機誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，SSA與SSE就應該很接近，兩個方差的比值就會接近1如果不同的水平對結(jié)果有影響，在SSA中除了包含隨機誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時SSA就會大于SSE，SSA與SSE的比值就會大于1當這個比值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異10.1.3方差分析中的基本假定1.每個總體都應服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本。比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布2.各個總體的方差必須相同對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同3.觀察值是獨立的比如，每個超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨立在上述假定條件下，判斷顏色對銷售量是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的四個正態(tài)總體的均值是否相等的問題如果四個總體的均值相等，可以期望四個樣本的均值也會很接近四個樣本的均值越接近，我們推斷四個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分如果原假設成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷售的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差

這意味著每個樣本都來自均值為、差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

如果備擇假設成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個樣本分別來自均值不同的四個正態(tài)總體

Xf(X)3

1

2

4

10.1.4問題的一般提法H0:1=2=…=4

自變量對因變量沒有顯著影響H1:1,2,…,4

不全相等

自變量對因變量有顯著影響10.2單因素方差分析10.2.1數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)觀察值(j)因素(A)i

水平A1水平A2

…水平Ak12::n

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xn1

xn2…xnk10.2.2分析步驟1.提出假設一般提法

H0:m1=m2=…=mk(因素有k個水平）

H1:m1

，m2

，…，mk不全相等對前面的例子

H0:m1=m2=m3=m4顏色對銷售量沒有影響 H0:m1

，m2

，m3，m4不全相等顏色對銷售量有影響2.構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量（1）計算各樣本的均值假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)；xij為第i個總體的第j個觀察值（2）計算全部觀測值的總均值四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695（3）計算各誤差平方和三個平方和的關系總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)之間的關系SST=SSE+SSA三個平方和的作用

SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映了隨機誤差的大??；SSA反映了隨機誤差和系統(tǒng)誤差的大小如果原假設成立，即1=2=…=k為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機誤差，還有系統(tǒng)誤差判斷因素的水平是否對其觀察值有影響，實際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗這種差異，需要構(gòu)造一個用于檢驗的統(tǒng)計量（4）計算統(tǒng)計量各離差平方和的大小與觀察值的多少有關，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計算方法是用離差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k

SSA的均方也稱組間方差，記為MSA，計算公式為

SSE的均方也稱組內(nèi)方差，記為MSE，計算公式為將MSA和MSE進行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即F分布與拒絕域如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F3.統(tǒng)計決策將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進行比較，作出接受或拒絕原假設H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k相應的臨界值F

若F>F

，則拒絕原假設H0

，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗的因素(A)對觀察值有顯著影響若FF

，則不能拒絕原假設H0

，表明所檢驗的因素(A)對觀察值沒有顯著影響單因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值組間(因素影響)

組內(nèi)(誤差)

總和SSASSESSTk-1n-kn-1MSAMSEMSAMSE【例】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的樣本，其中零售業(yè)抽取7家，旅游業(yè)抽取了6家，航空公司抽取5家、家電制造業(yè)抽取了5家，然后記錄了一年中消費者對總共23家服務企業(yè)投訴的次數(shù)，結(jié)果如表9.7。試分析這四個行業(yè)的服務質(zhì)量是否有顯著差異？(＝0.05)消費者對四個行業(yè)的投訴次數(shù)

觀察值(j)行業(yè)(A)零售業(yè)旅游業(yè)航空公司家電制造業(yè)12345675755464554534762496054565551494855477068636960單因素方差分析

（計算結(jié)果）解：設四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值分別為，m1、m2

、m3、m4

，則需要檢驗如下假設

H0:m1=m2=m3

=

m4(四個行業(yè)的服務質(zhì)量無顯著差異)H1:m1

，m2

，m3，m4不全相等(有顯著差異)Excel輸出的結(jié)果如下

結(jié)論：拒絕H0。四個行業(yè)的服務質(zhì)量有顯著差異10.2.4方差分析中的多重比較多重比較是通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異多重比較方法有多種，這里介紹Fisher提出的最小顯著差異方法，簡寫為LSD，該方法可用于判斷到底哪些均值之間有差異

LSD方法是對檢驗兩個總體均值是否相等的t檢驗方法的總體方差估計加以修正(用MSE來代替)而得到的提出假設H0:mi=mj

(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1:mi

mj

(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)檢驗的統(tǒng)計量為若|t|t，拒絕H0；若|t|<t，不能拒絕H0通過判斷樣本均值之差的大小來檢驗H0檢驗的統(tǒng)計量為：xi–xj檢驗的步驟為

提出假設H0:mi=mj(第i個總體的均值等于第j個總體的均值)H1:mi

mj(第i個總體的均值不等于第j個總體的均值)計算LSD若|xi-xj|LSD，拒絕H0，若|xi-xj|<LSD

，不能拒絕H0根據(jù)前面的計算結(jié)果:x1=27.3;x2=29.5;x3=26.4;x4=31.4提出假設H0:mi=mj

；H1:mi

mj計算LSD|x1-x2|=|27.3-29.5|=2.2>2.096

顏色1與顏色2的銷售量有顯著差異|x1-x3|=|27.3-26.4|=0.9<2.096

顏色1與顏色3的銷售量沒有顯著差異|x1-x4|=|27.3-31.4|=4.1>2.096

顏色1與顏色4的銷售量有顯著差異|x2-x3|=|29.5-26.4|=3.1>2.096

顏色2與顏色3的銷售量有顯著差異|x2-x4|=|29.5-31.4|=1.9<2.096

顏色2與顏色4的銷售量沒有顯著差異|x3-x4|=|26.4-31.4|=5>2.096

顏色3與顏色4的銷售量有顯著差異10.3雙因素方差分析10.3.1雙因素方差分析及其類型分析兩個因素(因素A和因素B)對試驗結(jié)果的影響同時對兩個因素進行檢驗，分析是一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，還是兩個因素都不起作用如果A和B對試驗結(jié)果的影響是相互獨立的，分別判斷因素A和因素B對試驗指標的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對試驗結(jié)果的單獨影響外，因素A和因素B的搭配還會對銷售量產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析

對于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對每個因素分別進行單因素方差分析的結(jié)果相同10.3.2無交互作用的雙因素方差分析因素A(i)因素(B)j平均值

B1B2…BrA1A2::Ak

x11x12…x1kx21x22…x2k::::::::xr1

xr2…

xrk

::平均值…雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

是因素A的第i個水平下各觀察值的平均值是因素B的第j個水平下的各觀察值的均值是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值2.分析步驟（1）提出假設對因素A提出的假設為H0:μ1=μ2=…=μi=…=μkμi為第i個水平的均值)

H1:μi

(i=1,2,…,k)不全相等對因素B提出的假設為H0:μ1=μ2=…=μj=…=μr(μj為第j個水平的均值)

H1:μj

(j=1,2,…,r)不全相等（2）構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為檢驗H0是否成立，需確定檢驗的統(tǒng)計量

構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算總離差平方和水平項平方和誤差項平方和均方

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總離差平方和

SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算SSR、SSC和SSE)因素A的離差平方和SSR因素B的離差平方和SSC誤差項平方和SSE構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(各平方和的關系)總離差平方和(SST)、水平項離差平方和(SSR和SSC)、誤差項離差平方和(SSE)之間的關系SST=SSR+SSC+SSE

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方

MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關，為消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計算方法是用離差平方和除以相應的自由度三個平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)因素A的均方，記為MSR，計算公式為因素B的均方，記為MSC

，計算公式為隨機誤差項的均方，記為MSE

，計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗的統(tǒng)計量

F)為檢驗因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計量為檢驗因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計量（3）統(tǒng)計決策根據(jù)給定的顯著性水平α和兩個自由度，查表得到臨界值Fα如果，則拒絕H0:μ1=μ2=…=μi=…=μkμi為第i個水平的均值)，即行因素對觀測值有顯著影響如果

，則拒絕H0:μ1=μ2=…=μj=…=μrμj為第i個水平的均值)，即列因素對觀測值有顯著影響雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值

因素A

因素B誤差總和SSRSSCSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSRMSCMSEFRFC雙因素方差分析

（一個例子）不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌(因素A)銷售地區(qū)(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有四個品牌的彩電在五個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(因素A)和銷售地區(qū)(因素B)對銷售量是否有影響，對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)，見下表。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？雙因素方差分析

（提出假設）對因素A提出的假設為H0:m1=m2=m3=m4

(品牌對銷售量沒有影響)H1:mi

(i=1,2,…,4)

不全相等